Relativistische Massenformel
Der Versuch von Bucherer & Co. zeigt, dass die Masse
Im obigen Diagramm sieht man die Messergebnisse, die als farbige Punkte markiert wurden. Die schwarze durchgezogene Kurve entspricht der von Einstein vorhergesagten Geschwindigkeitsabhängigkeit.
Herleitung
Schreiben wir also
Diese Erkenntnis sowie die Formel für den Impuls schreiben wir als Voraussetzungen nieder:
- Masse ist geschwindigkeitsabhängig:
- Impuls ist (wie üblich) gleich Masse mal Geschwindigkeit; nun aber lautet die Formel wegen der 1. Voraussetzung:
Betrachten wir den unelastischen Stoß zweier gleichartiger Teilchen in zwei unterschiedlichen Inertialsystemen. Dabei bedeutet unelastisch, dass die Teilchen nach dem Stoß verkleben und sich als eine Masse weiterbewegen. Zur Darstellung der Situation wählt man sinnvollerweise das Schwerpunktsystem und das Laborsystem. Die beiden Inertialsysteme kann man wie folgt so beschreiben:
Schwerpunktsystem: Die Summe der Impulse der beiden Teilchen ist gleich Null. Dies ist äquivalent zu der Aussage ist, dass man ein Bezugssystem betrachtet, in dem der Schwerpunkt ruht.
Laborsystem: Ein Teilchen ruht und das andere bewegt sich auf das ruhende Teilchen zu.
Stellen wir zunächst die Situation im Laborsystem, das wir als Inertialsystem
vor dem Stoß in | Geschwindigkeit | Masse |
Stoßpartner 1 | ||
Stoßpartner 2 |
nach dem Stoß in | Geschwindigkeit | Masse |
verklebtes Teilchen |
Aufgrund der Erhaltung der Masse und der Impulserhaltung müssen die Massen und die Impulse vor dem Stoß mit denen nach dem Stoß übereinstimmen. Es gilt im Laborsystem
Durch eine einfache algebraische Umformung kann man nach
Wir betrachten nun das Inertialsystem
Die dafür notwendige Formel lautet
Folglich erhält man der Reihe nach folgende Resultate für die Geschwindigkeiten:
Die Situation in
vor dem Stoß in | Geschwindigkeit | Masse |
Stoßpartner 1 | ||
Stoßpartner 2 |
nach dem Stoß in | Geschwindigkeit | Masse |
verklebtes Teilchen |
Auch in
Wir erkennen, dass die Summe der Impulse in
gilt.
Wir nutzen nun die Umkehrformel für Geschwindigkeiten (siehe Abschnitt Relativistische Geschwindigkeitsaddition), wonach gilt
Setzen wir das soeben erhaltene Ergebnis
Merke
Zwischenergebnisse
Zwei wesentliche Formeln für die weitere Herleitung sollte man besonders hervorheben. Die erste Formel wurde oben als 1. Resultat für eine mögliche Massenformel bezeichnet
Die zweite Formel betrifft den Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten
Mit Hilfe der Gleichung (2) können wir
Die Lösung der quadratischen Gleichung unter Berücksichtigung der Tatsache, dass
wegen der Gleichung (2)
Eingesetzt in die Gleichung (1) erhalten wir die gesuchte Massenformel
Merke
Massenformel
Die Relativitätstheorie impliziert, dass die Masse geschwindigkeitsabhängig ist. Setzt man
worin
Die Formel ist in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen von Bucherer & Co.
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