Lorentz-Transformationen

Mit Hilfe der gewonnenen Erkenntnis über die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit können wir nun versuchen, das relativistische Analogon zu den sogenannten Galilei-Transformationen der klassischen Physik zu finden.

Es bewege sich dazu das System mit der konstanten Geschwindigkeit in positive -Richtung relativ zum System . Für die anderen beiden Koordinaten gelte zur Vereinfachung der Herleitung

.

Es soll nun die Transformationsformel für im Inertialsystem gefunden werden. Zu beachten sind dabei gewisse Bedingungen, welche die möglichen mathematischen Formen für eine solche Transformation einschränken. Folgende Bedingungen könnten wir formulieren:

• Linearität der Transformation (d.h., dass als Linearkombination von den Variablen und darstellbar ist)
• Gültigkeit der Galiliei-Transformationen nur bei kleinen Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ()

Wir machen daher den folgenden Ansatz, der bis auf einen Faktor einer Galiliei-Transformation ähnelt

,

und bezeichnen hier natürlich Ort und Zeit im System . Entsprechend sind und Orts- und Zeitkoordinaten im System .

Wegen des Relativitätsprinzips sind beide Inertialsysteme gleichberechtigt und man kann die obige Transformationsformel für das System auf äquivalente Weise formulieren, wobei man das Vorzeichen von umkehren muss. Man erhält

.

Wir setzen nun die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und erhalten

,

woraus durch Division beider Seiten durch

folgt. Damit erhalten wir auch die Transformationsformel für die Zeitkoordinate im System .

Gehen wir nun dazu über, den Faktor explizit zu bestimmen.

Bestimmung des relativistischen Faktors

Macht man sich nun die Mühe und setzt die abgleitete Formel für den Faktor in die weiter oben angegebene Transformationsformel für die Zeit im System ein, so gewinnt man nach einigen algebraischen Umformungen (die Du als Übung durchführen kannst) den Ausdruck

.

Wir formulieren nun den Merksatz über die neuen relativistischen Transformationen.

Lorentz-Transformationen

Diese sogenannten Raum-Zeit-Transformationen geben Anlass von einer Raum-Zeit zu sprechen. Die hier und im Abschnitt zur Zeitdilatation vermittelten Aspekte zeigen sich nicht nur auf der Erde, sondern insbesondere in Phänomenen, die sich im Universum abspielen.