Formel von Bernoulli

Frage:  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette der Länge n genau k Erfolge zu erzielen ?

Betrachtet man das zugehörige Baumdiagramm stellt man fest, dass man dazu die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade aufsummieren muss, die k Kanten mit der Wahrscheinlichkeit p und  Kanten mit der Wahrscheinlichkeit aufweisen.

Jeder diese Pfade besitzt die Wahrscheinlichkeit

( 1. Pfadregel )

Es bleibt noch herauszufinden, wie viele solche Pfade es in dem Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Die Anzahl dieser Pfade kann man mit dem Binomialkoeffizienten bestimmen. Dieser gibt nämlich an, auf wie viele Arten man die k Erfolge auf die n Stufen der Bernoulli-Kette verteilen kann.

Bernoulli-Formel

Es ergibt sich insgesamt: Ist die Anzahl der Erfolge bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und Erfolgswahrscheinlichkeit p, dann ist

(Bernoulli-Formel)

die Wahrscheinlichkeit genau k Erfolge zu erzielen und

die Wahrscheinlichkeit höchstens k Erfolge zu erzielen.

Binomialverteilte Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße , die die Werte  mit den Wahrscheinlichkeiten annimmt heißt binomialverteilt.