Komplexe Funktionen ableiten
Die schwierigsten Funktionen sind Funktionen bei denen die Produkt- und die Kettenregel angewendet werden muss.
(Die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel muss bei fast jeder normalen Funktion angewendet werden.)
z.B.
Hier ist es gut, sich die einzelnen Funktionen aufzuschreiben, aus denen die Funktion zusammengesetzt ist, um den Überblick zu behalten.
nach der Produktregel gilt: f´(x)=u´v+uv´
u(x) und v(x) müssen jeweils nach der Kettenregel abgeleitet werden.
Hinweis: Im Folgenden werden die Begriffe "innere/äußere Funktion" sowie "innere/äußere Ableitung" sehr umgangsprachlich benutzt. Das soll dem besseren Verständnis dienen - aber besser nicht in der Prüfung nachgemacht werden!
Ableitung von u(x)
Die Funktion
der "äußeren Funktion"
Also mit der "äußeren Ableitung"
Es gilt:
Ableitung von v(x)
Die Funktion
der "äußeren Funktion"
Als Ableitungen ergeben sich
Es gilt:
Ableitung von f(x) nach der Produktregel
Das sind unsere benötigten "Bauteile":
(1): f´(x)=[u´v]+[uv´] hier setzen wir diese Bauteile jetzt ein:
(2): f´(x)=
Dann wird ausmultipliziert:
(3): f´(x)=
Jetzt
(4): f´(x)=
Dann noch
(5): f´(x)=
Und schließlich die letzte Klammer auflösen:
(6): f´(x)=
Ist zwar immer noch nicht wirklich "schön", aber zumindest mal etwas kompakter als in Zeile (2)!
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