senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
Nicht jede gebrochenrationale Funktion hat eine senkrechte Asymptote. Es gibt auch Funktionen bei denen der Nenner keine Nullstelle hat z.B.
Merke
Wenn der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare Definitionslücke existiert, sind die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken (genauer Polstellen) von der Funktion. Diese Polstelle wird auch senkrechte Asymptote genannt. Asymptoten sind Funktionen die von der Funktion im Grenzverhalten nicht erreicht werden.
Berechnung am Beispiel
Beispiel
Nullstellen des Zählers:
Nullstellen des Nenners:
Damit ändert sich hier der Definitionsbereich ID = IR \ {-2}.
Senkrechte Asymptoten müssen immer aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel
Nähert man sich der Polstelle von links und rechts mithilfe von Grenzwerten, so kann man beobachten, dass manche Polstellen einen Vorzeichenwechsel verursachen, andere jedoch nicht.
Merke
Nullstellen des Nenners 1., 3. , 5. usw. Ordnung = Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Nullstellen des Nenners 2., 4. , 6. usw. Ordnung = Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
Um die Ordnung der Polstelle zu erkennen muss der Nenner als Linearfaktorzerlegung vorliegen.
Beispiel
Hier ein Video zur Polynomdivision.
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