exponentielles Wachstum
Dieser Text betrachtet das exponentielle Wachstum und erklärt die, in diesem Zusammenhang wichtigen, Begriffe Halbwertzeit und Verdopplungszeit.
Merke
Exponentielles Wachstum
- momentaner Bestand ~ Änderungsrate, d.h. u(t)~u´(t)
- DGL:
mit Lösungsmenge - Folgendarstellung:
Merke
Die Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:
k>0 Wachstumsprozess
k<0 Zerfallsprozess
Halbwertszeit und Verdopplungszeit
Wichtige Begriffe beim exponentiellen Wachstum sind die Halbwertzeit bei Zerfallsprozessen und Verdopplungszeit bei Wachstumsprozessen.
Merke
Die Halbwertszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die Menge an Uran c, um die Hälfte sinkt c/2.
Wenn
Das kann vereinfacht werden zu:
Wenn wir jetzt nach
Beachte: Hier ist k positiv, da das Vorzeichen von k negativ ist!
Merke
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die die Menge an Algen c, sich verdoppelt 2c.
Wenn
Das kann vereinfacht werden zu:
Wenn wir jetzt nach
Beispielaufgabe zum exponentiellen Wachstum
Beispiel
Eine typische Aufgabe für exponentielles Wachtum ist:
Auch in klaren Gewässern nimmt die Beleuchtungsstärke B, gemessen in Lux, mit zunehmender Tiefe x (in Metern) exponentiell ab. Nach einem Meter beträgt sie in einem See nur noch 85 % des Wertes an der Oberfläche.
- Bestimme eine Funktion B(x), wenn die Beleuchtungsstärke an der Oberfläche 3000 LUX beträgt.
- Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
- In welcher Tiefe beträgt die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke -15 Lux/m?
- Wie hoch ist die Halbwertstiefe?
- In welcher Tiefe beträgt die Beleuchtungsstärke 2000 Lux?
- Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.
Lösung:
- Die allgemeine Funktionsgleichung einer exponentiellen Funktion lautet:
.Es müssen als c und k berechnet werden.
c ist immer B(0), daist, also ist c=3000 Lux.
Um k zu berechnen, müssen alle gegebenen Größen in die Gleichung einsetzt werden und dann nach k umgestellt werden. Nach einem Meter beträgt=2550. , umstellen ergibt: , k=ln 0,85=-0,1625=k
Die Gleichung lautet dann: - Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
gesucht: B(x=10m) ,B´(x)=-487,5e^{-0,1625 \cdot x} x=\frac{ln(0,5){-0,1625}=4,26m 2000=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot x} \frac{2}{3}=e^{-0,1625 \cdot x} x=\frac{ln (0,667)}{-0,1625}$=2,5m - Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.
siehe Bild unten
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