Das Ableiten von Funktionen - Beispiele mit Lösungen
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In diesem Text schauen wir uns zwei Beispiele und eine Anwendungsaufgabe zum Thema Ableitungen an.
Sechs Ableitungsregeln - Überblick
Um Funktionen ableiten zu können, solltest du alle Ableitungsregeln auswendig können. Im Folgenden erhältst du eine kurze Übersicht zu den verschiedenen Ableitungsregeln. Wenn du mehr über die Ableitungsregeln erfahren möchtest, kannst du dir die Ableitungsregeln auch nochmal anschauen.
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Potenzregel | ||
Faktorregel | ||
Summenregel | | |
Produktregel | ||
Kettenregel | ||
Quotientenregel |
Funktionen ableiten - Beispiel 1
Beispiel
Die Funktion
Es fällt sofort auf, dass wir die Quotientenregel anwenden müssen. Deshalb identifizieren wir zunächst die einzelnen Teilfunktionen und leiten diese dann einzeln ab:
Nun setzten wir dies in die Formel der Quotientenregel ein:
Der Term sollte noch vereinfacht werden:
Also:
Wir hätten das Beispiel am Anfang vereinfachen können, indem wir zunächst die Klammer im Zähler ausmultiplizieren.
Dies hat den Vorteil, dass wir die Produktregel nicht beachten müssen.
Generell solltest du immer darauf achten, die Funktion soweit wie möglich zu vereinfachen bevor du die Ableitung berechnest.
Dies wird an diesem Beispiel noch deutlicher:
Wir können den Bruch mit
Funktionen ableiten - Beispiel 2: Baumwachstum
Das Wachstum eines Baumes kann mit der Funktion
Frage:
Wie schnell wächst der Baum am ersten Tag und wie schnell am zehnten Tag?
Antwort:
Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der Steigung. Diese kann mit der ersten Ableitung bestimmt werden. Berechnen wir daher zuerst die Ableitung:
Diese Funktion beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit. Setzten wir für den ersten Tag
Am ersten Tag hat der Baum eine Wachstumsgeschwindigkeit von
Am zehnten Tag wächst der Baum viel schneller. Er hat eine Wachstumsgeschwindigkeit von
Funktionen ableiten - Beispiel 3
Versuche zunächst selbst, die Funktion abzuleiten und vergleiche dann dein Ergebnis mit den Lösungen:
Vertiefung
Lösung
Die Funktion hat die Variable
Nun hast du ein paar Beispiele zu den Ableitungsregeln kennengelernt. Überprüfe mit den Übungsaufgaben dein Wissen! Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
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