e-Funktion - Ableitung, Stammfunktion und Eigenschaften

In diesem Text erklären wir dir ganz leicht, was eine e-Funktion ist, wie du eine e-Funktion ableiten kannst, wie die Stammfunktion gebildet wird und welche Eigenschaften die e-Funktion hat. Schau dir als Grundlage am Besten unsere Seite zur Kettenregel an, denn diese Ableitungsregel kannst du für dieses Thema gut gebrauchen.

Was sind e-Funktionen? 

Die e-Funktion, auch natürliche Exponentialfunktion genannt, hat die Gleichung: (ausgesprochen: e hoch x). Die Basis ist die eulersche Zahl. Der Exponent ist die Variable (hier ). Daher gehört die e-Funktion auch zu der Kategorie der Exponentialfunktionen.

Die Ableitung der e-Funktion ist gleich der Funktion, daher gilt: .
Wenn man die e-Funktion ableitet, das heißt die Steigung der Funktion in einer Funktion darstellt, ergibt sich die gleiche Funktion! Das ist die Besonderheit der e-Funktion.

e-Funktion - Was sind wichtige Eigenschaften?

Monotonie

Die e-Funktion ist streng monoton wachsend und das Wachstum ist exponentiell. Das bedeutet, dass die Funktion sehr schnell ansteigt. Je größer wird, desto größer wird auch der -Wert, wie wir auf der Abbildung erkennen können:

Schnittpunkte mit den Achsen

Die e-Funktion hat keine Nullstellen , da nicht definiert ist. Somit schneidet die e-Funktion die x-Achse nicht, sie nähert sich dieser asymptotisch an. Dies können wir auch an der Abbildung erkennen: Je kleiner der -Wert, desto näher kommt die Funktion der -Achse.
Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle , da ist. 

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. ,

Definitions- und Wertemenge

Für die x-Werte dürfen wir jede beliebige rationale Zeit einsetzen. Das bedeutet, die Definitionsmenge ist:

Die Wertemenge sind die y-Werte, die beim Einsetzen der jeweiligen Definitionsmenge herauskommen. Diese sind bei der e-Funktion alle positiven Zahlen, denn wie wir an der Funktion sehen, verläuft sie oberhalb der x-Achse.

e-Funktion - Ableitung und Stammfunktion bilden

Die Ableitung und auch die Stammfunktion der e-Funktion bildet wieder die e-Funktion:

Doch wieso ist dies bei der e-Funktion der Fall?

Die allgemeine Ableitung von Exponentialfunktionen ist :

Wenden wir dies auf an, erhalten wir:

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen zum Ableiten von Exponentialfunktionen prüfen. Ich wünsche dir viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle