abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung

Monotonieverhalten von Funktionen bestimmen

Funktionen / Grundlagen zum Thema Funktionen

This browser does not support the video element.

In diesem Text erklären wir dir, was monoton steigend bzw. fallend ist und wie du mithilfe einer Funktionsgleichung herausfinden kannst, an welchen Stellen die Funktion steigt bzw. fällt.

Was ist die Monotonie einer Funktion? - Definition

Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Somit hat die Monotonie viel mit der Steigung der Funktion zu tun.
Es gibt Funktionen, die ausschließlich monoton steigend/ zunehmend /wachsend sind und Funktionen, die ausschließlich monoton fallend/ abnehmend sind. 

Abbildung: streng monoton steigende Funktion und streng monoton fallende Funktion

Monotonieverhalten von Funktionen

monoton steigend

Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der -Wert, der Funktionswert , mit dem -Wert. Das heißt, wenn der -Wert größer wird, wir auch der -Wert größer. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass die Funktion an jeder Stelle steigt.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

streng monoton steigend:

In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn kleiner ist als , also der -Wert größer wird, dann ist auch der Funktionswert von kleiner als der Funktionswert von , also auch der -Wert wird größer.

Wenn eine Funktion streng monoton steigend verläuft, gilt:

Die Ableitung ist größer als null. Egal, welchen -Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv.

Es gibt auch Funktionen, die nur monoton steigend sind, nicht streng monoton steigend. Diese Funktionen steigen nicht an jedem Punkt an, sondern verlaufen zum Teil auch gerade, also parallel zur -Achse. Jedoch dürfen sie nicht fallen. Eine solche Funktion könnte dann zum Beispiel so aussehen:

Abbildung: monoton steigende Funktion

Die Funktion steigt entweder oder verläuft konstant, parallel zur -Achse. Die Steigung der Funktion ist also entweder positiv oder null. Wenn der -Wert größer wird, wird der -Wert also entweder größer oder bleibt unverändert.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

monoton steigend:

In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn kleiner ist als , also der -Wert steigt, dann ist auch der Funktionswert von kleiner oder gleich dem Funktionswert von .

Wenn eine Funktion monoton steigend verläuft, gilt:

Die Ableitung ist größer als null oder gleich null. Die Steigung wird also nicht negativ. Egal, welchen -Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv oder gleich null.

monoton fallend

Bei streng monoton fallenden Funktionen nimmt der -Wert () ab, wenn der -Wert größer wird.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

streng monoton fallend:

In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn kleiner ist als ist, also der -Wert größer wird, dann wird der -Wert kleiner. Also ist der Funktionswert von kleiner als der Funktionswert von .

Wenn eine Funktion streng monoton fallend verläuft, gilt:

xx_2xyx_1x_2 einen Hochpunkt. Das bedeutet, dass die Funktion links von diesem Punkt steigen muss und recht von diesem Punkt fallen muss. Also:

Für streng monoton fallend.

In den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle