Natürlicher Exponent in Potenzfunktionen
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Hier behandeln wir das Thema Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten.
In der Mathematik triffst du schon früh auf Funktionen. Diese haben zu Anfang keinen Exponenten. Das ändert sich aber recht schnell und die Funktion wird auf einmal nicht mehr nur durch x, sondern durch
Was ist ein Exponent?
Merke
Beim Potenzieren wird der Wert x mehrfach mit sich selbst multipliziert (malgenommen). Das heißt, wir rechnen
Natürlicher Exponent - 2 Varianten
Abhängig vom Exponenten hat die Potenzfunktion bestimmte Eigenschaften. Diesbezüglich unterscheidet man insbesondere Potenzfunktionen mit geraden und Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten. Hierzu nun ein Beispiel:
Beispiel
Die Funktion
Wie wir aus der Abbildung erkennen können, gibt es bei Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten keinen Bereich, der nicht definiert ist. Die Funktion hat also keinen Punkt, an dem sie unterbrochen ist und könnte theoretisch einfach so durchgezeichnet werden. Auch ähneln sich die Graphen der Funktionen
Gerader, natürlicher Exponent
Die am häufigsten vorkommende Funktion im Bereich der Potenzfunktionen ist die Funktion
Alle Potenzfunktionen mit einem geraden natürlichen Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Auch verlaufen alle Potenzfunktionen mit einem geraden natürlichen Exponenten durch die folgenden drei Punkte: P1(-1|1), P2(0|0) und P3(1|1)
Ein Spezialfall der geraden positiven Exponenten ist der Exponent 0, also die Funktion
Merke
Funktionen wie
...sind achsensymmetrisch zur y-Achse (Parabel),
...sind nach oben geöffnet,
...haben nur eine Nullstelle bei N(0|0),
...haben die Punkte P1(-1|1), P2(0|0) und P3(1|1) gemeinsam.
Ungerader, natürlicher Exponent
Bei den Funktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten begegnet dir vor allem die Funktion
Ein Punkt, durch den nur Potenzfunktionen mit ungeradem, natürlichen Exponenten verlaufen, ist der Punkt P1(-1|-1). Wenn wir uns den negativen Bereich der x-Werte anschauen, dann stellen wir fest, dass die Funktion auch im negativen Bereich verläuft. Sie sieht in diesem Bereich ungefähr wie die Spiegelung von
Merke
Funktionen wie
...sind punktsymmetrisch zum Ursprung (Hyperbel),
...besitzen nur eine Nullstelle bei P1(0|0),
...haben die Punkte P1(-1|-1), P2(0|0) und P3(1|1) gemeinsam.
Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten erhalten. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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