Wie bestimme ich quadratische Funktionen? - Erklärung
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In diesem Lerntext zeigen wir dir, wie du mithilfe von drei Punkten, die auf einer Funktion liegen, die Funktionsgleichung dieser Funktion ermitteln kannst.
Qudratische Funktion - Wieviele Variabeln müssen bestimmt werden?
Bei einer linearen Funktion - Funktion 1. Grades - gibt es zwei Variablen
Um eine Funktion 2. Grades - also eine quadratische Funktion - bestimmen zu können, brauchen wir drei Punkte. Dies liegt daran, dass drei Variablen bestimmt werden müssen.
Bei einer Funktion 3. Grades brauchen wir vier Punkte. Und so geht es immer weiter.
Wir benötigen, um die quadratische Gleichung bestimmen zu können, also drei Punkte.
Merke
Eine quadratische Funktion bestimmen - Schritt für Schritt
Methode
1. Y-Achsenabschnitt bestimmen. Dafür benötigen wir den Punkt, bei dem
2. Einen beliebigen zweiten Punkt in die Gleichung einsetzen und zu einer Variable umformen.
3. Die im zweiten Schritt erhaltene Variable in den übrig gebliebenen Punkt einsetzen und ausrechnen. In diesem Schritt haben wir schon die zweite Variable bestimmt.
4. Nun müssen wir nur noch die letzte Variable bestimmen, indem ein beliebiger Punkte eingesetzt und ausrechnet wird.
5. Die Werte von
6. Wenn noch genügend Zeit ist, kannst du die erhaltene Gleichung mit einem beliebigen Punkt noch einmal überprüfen. Setze dafür einen x-Wert ein und schaue, ob der dazugehörige y-Wert herauskommt.
Um diese Vorgehensweise zu veranschaulichen, schauen wir uns ein Beispiel an:
Eine Funktionsgleichung bestimmen - Beispielaufgabe
Gegeben sind die Punkte:
1. Y-Achsenabschnitt bestimmen:
Als erstes nehmen wir den Punkt, an dem der x-Wert null ist. Damit können wir den Wert von
Also nehmen wir als erstes den Punkt
2. Punkt einsetzen und zu einer Variable umformen:
Wir nehmen nun einen der beiden Punkte und setzen die x- und y-Werte in die Funktion ein. Der herausgefundene Wert für
3. Umgeformte Variable in anderen Punkt einsetzen:
Die Variable, die wir oben ausgerechnet haben (
Wir haben für die Variable
4. Ausgerechnete Variable einsetzen:
Den Wert von
5. Alle Punkte in die Formel einsetzen:
6. Probe:
Du solltest wenn möglich immer eine Probe machen. Dafür nimmst du einen Punkt, der auf der Funktion liegt (du kannst auch die gegebenen dafür nehmen) und setzt ihn in die Gleichung ein. Wenn zu dem x-Wert, der passende y-Wert herauskommt, ist die Gleichung richtig.
Die Punkte
Es kann auch sein, dass in einer Aufgabe kein Punkt gegeben ist, an dem der x-Wert gleich null ist. Dann können wir leider nicht direkt den y-Achsenabschnitt bestimmen, sondern müssen ein lineares Gleichungssystem dazu aufstellen.
Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Scheitelpunkt gegeben ist. Dann musst du diesen einfach in die Scheitelpunktform einsetzen und gegebenenfalls ausrechnen. Wenn du dies zweimal an einem Beispiel geübt hast, wirst du sehen, dass es gar nicht so schwer ist. Hierbei helfen dir die Übungsaufgaben.
Du kannst nun dies und das Bestimmen von quadratischen Funktionen in den Übungsaufgaben üben. Viel Erfolg und Spaß dabei!
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