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Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme

Funktionen / Wachstums- und Abnahmeprozesse

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In diesem Text erklären wir dir, was die exponentielle Zunahme und die exponentielle Abnahme sind und lösen dazu Rechenbeispiele.

Expnentielles Wachstum und exponentielle Abnahme - Definition

Die exponentielle Zunahme wird auch als exponentielles Wachstum und die exponentielle Abnahme wird auch als exponentieller Zerfall bezeichnet. Es handelt sich um Prozesse, bei denen ein Anfangsbestand pro Zeiteinheit mit dem Faktor vervielfacht wird. 
Ein Beispiel für die exponentielle Zunahme ist die Vermehrung von Bakterien. Zu Beginn gibt es ein () Bakterium, welches sich nach einer Stunde verdoppelt hat. Nach Ablauf der zweiten Stunde haben sich die beiden Bakterien wieder jeweils verdoppelt; es sind nun vier Bakterien. Nach fünf Stunden ist die Anzahl der Bakterien auf gestiegen und nach zehn Stunden auf insgesamt Bakterien. Wie du siehst, wächst die Anzahl sehr schnell. Schauen wir uns den Funktionsgraphen dazu an:

Abbildung: exponentielles Wachstum (Bakterienwachstum)

Wie sieht die Funktionsgleichung dieser Funktion aus? Schauen wir uns zuerst die allgemeine Form an:

Methode

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Bei der exponentiellen Zunahme und Abnahme ist die Variable (-Wert) im Exponenten. Die Basis ist die Änderungsrate, . Die Variable steht meistens für die Zeit und wird daher meistens mit abgekürzt. Die entsprechende Formel zum exponentiellen Wachstum bzw. Verfall sieht dann so aus:

Dabei ist:

 Wert zum Zeitpunkt
 Anfangswert; ursprünglicher Bestand (zum Zeitpunkt t=0)
 Änderungsrate
 Zeit

Wenden wir dies auf unser Beispiel des Bakterienwachstums an: Der Anfangswert () beträgt und die Änderungsrate ist , da sich die Bakterien verdoppeln. Damit können wir die Funktionsgleichung aufstellen:

    

oder kürzer geschrieben:

Exponentielles Wachstum/Zunahme - Erklärung

Weitere Beispiele für das exponentielle Wachstum sind: das Wachstum von Bevölkerungen oder auch das Wachstum von Zinsen bei der Zinseszinsrechnung .

Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate größer als 1:

Je größer die Änderungsrate, desto schneller wächst die Funktion.

Die Zunahme kann übrigens auch in Prozent angegeben werden:

, wobei gilt:

Dabei ist der Prozentsatz. Der Prozentsatz beschreibt das Wachstum prozentual.

Bezogen auf das Beispiel zum exponentiellen Wachstum der Bakterien:

Die Anzahl der Bakterien hat sich hier stündlich verdoppelt, also:

Die Bakterien vermehren sich stündlich um 100%.

Exponentielle Abnahme/Zerfall - Erklärung

Beim exponentiellen Zerfall muss die Änderungsrate zwischen und liegen:

app=20a = 1 - 0,2 = 0,8$.

Beispiel

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Bei einem chemischen Stoff zerfällt jedes Jahr der Masse. Anfangs ist der Stoff schwer.
Wie viel Masse ist jeweils nach , und Jahren noch vorhanden?

Zunächst müssen wir die Funktionsgleichung aufstellen. Es gilt:


Es handelt sich um eine Abnahme von jährlich :  

Wir erhalten die Funktionsgleichung: 

Mit Hilfe der Funktionsgleichung können wir die Fragen beantworten:

Nach 2 Jahren:

Nach Jahren:

Nach Jahren:

Die entsprechende Funktion sieht so aus:

Abbildung: exponentielle Abnahme (Zerfall der Masse)

In den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen über exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme vertiefen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle