Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
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In diesem Text erklären wir dir, was die exponentielle Zunahme und die exponentielle Abnahme sind und lösen dazu Rechenbeispiele.
Expnentielles Wachstum und exponentielle Abnahme - Definition
Die exponentielle Zunahme wird auch als exponentielles Wachstum und die exponentielle Abnahme wird auch als exponentieller Zerfall bezeichnet. Es handelt sich um Prozesse, bei denen ein Anfangsbestand pro Zeiteinheit mit dem Faktor
Ein Beispiel für die exponentielle Zunahme ist die Vermehrung von Bakterien. Zu Beginn gibt es ein (
Wie sieht die Funktionsgleichung dieser Funktion aus? Schauen wir uns zuerst die allgemeine Form an:
Methode
Bei der exponentiellen Zunahme und Abnahme ist die Variable (
Dabei ist:
Wert zum Zeitpunkt | |
Anfangswert; ursprünglicher Bestand (zum Zeitpunkt t=0) | |
Änderungsrate | |
Zeit |
Wenden wir dies auf unser Beispiel des Bakterienwachstums an: Der Anfangswert (
oder kürzer geschrieben:
Exponentielles Wachstum/Zunahme - Erklärung
Weitere Beispiele für das exponentielle Wachstum sind: das Wachstum von Bevölkerungen oder auch das Wachstum von Zinsen bei der Zinseszinsrechnung .
Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate größer als 1:
Je größer die Änderungsrate, desto schneller wächst die Funktion.
Die Zunahme kann übrigens auch in Prozent angegeben werden:
Dabei ist
Bezogen auf das Beispiel zum exponentiellen Wachstum der Bakterien:
Die Anzahl der Bakterien hat sich hier stündlich verdoppelt, also:
Die Bakterien vermehren sich stündlich um 100%.
Exponentielle Abnahme/Zerfall - Erklärung
Beim exponentiellen Zerfall muss die Änderungsrate zwischen
Beispiel
Bei einem chemischen Stoff zerfällt jedes Jahr
Wie viel Masse ist jeweils nach
Zunächst müssen wir die Funktionsgleichung aufstellen. Es gilt:
Es handelt sich um eine Abnahme von jährlich
Wir erhalten die Funktionsgleichung:
Mit Hilfe der Funktionsgleichung können wir die Fragen beantworten:
Nach 2 Jahren:
Nach
Nach
Die entsprechende Funktion sieht so aus:
In den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen über exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme vertiefen. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
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