Zufallsexperiment - Schnittmenge und Vereinigungsmenge
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Du kennst bereits Begriffe wie Ereignis und Gegenereignis. In diesem Lerntext führen wir zwei neue Begriffe ein, die dir in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft begegnen werden: Schnittmenge und Vereinigungsmenge. Im Gegensatz zum Ereignis/Gegenereignis wirst du auf den Durchschnitt bzw. die Vereinigung erst bei schwierigeren Zufallsversuchen stoßen.
Schnittmenge berechnen
Ereignisse eines komplexen Zufallsversuchs können von mehr als nur einer Eigenschaft abhängen. Was genau soll das heißen?
Du kennst wahrscheinlich bereits Zufallsversuche, die sich auf eine Eigenschaft konzentrieren:
- beim Werfen eines Würfels geht es um die Augenzahl
- beim Ziehen einer Kugel geht es um die Farbe
- beim Münzwurf geht es um das Symbol
Betrachten wir folgendes Beispiel: In einem Behältnis liegen grüne und rote Kugeln, auf denen die Zahlen von 0 bis 9 stehen. Beim zufälligen Ziehen einer solchen Kugel kannst du jetzt zwei Eigenschaften untersuchen: Farbe und Zahl.
Wir können für das einmalige Ziehen einer Kugel also zwei Ereignisse formulieren, die sich auf unterschiedliche Eigenschaften beziehen:
- Ereignis 1: E = Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5.
- Ereignis 2: F = Es ist eine rote Kugel.
Die Ereignismengen sehen wie folgt aus:
Nun könnten wir die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse
Die zwei Ereignisse
Wir führen die beiden Ereignisse zusammen und verknüpfen sie mit einem "mathematischen und." In der Mathematik haben wir für "und" ein eigenes Symbol:
Wir schreiben also:
Dies ist die Schnittmenge der beiden Ereignisse
Wir müssen also erst beide Ereignisse zusammenführen, indem wir die Schnittmenge bilden, um nun die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge berechnen zu können.
Merke
Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:
Alle Ergebnisse, die sowohl in der einen Ereignismenge (
Vereinigungsmenge berechnen
Betrachten wir noch einmal unser Beispiel:
- Ereignis 1 (Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5.):
- Ereignis 2 (Es ist eine rote Kugel.):
Wir kennen bereits die Schnittmenge, bei der die beiden Ereignisse mit einem "und" verknüpft werden.
Bei der Vereinigungsmenge setzen wir an die Stelle des "und" ein "oder." Diese "oder" wird in der Mathematik so abgekürzt:
Die Kombination der beiden Ereignisse
Wie schon bei der Schnittmenge können wir erst durch das Kombinieren der beiden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit rechnerisch ermitteln:
WICHTIG: Die Vereinigungsmenge enthält auch die Elemente der Schnittmenge
Merke
Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:
Alle Ereignisse, die in der einen Ereignismenge (
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