Wie löse ich Logarithmusgleichungen? - Anleitung
This browser does not support the video element.
Gleichungen, in denen die Unbekannte
Was ist ein Logarithmus? - Wiederholung
Zunächst sollten wir allerdings noch einmal einen Blick darauf werfen, was der Logarithmus eigentlich ist und was er bedeutet.
Der Zusammenhang zwischen Logarithmus und Potenz ist wichtig, da wir erst dann verstehen, was der Logarithmus überhaupt bedeutet. Wenn wir den Logarithmus anwenden, stellen wir uns folgende Frage: Mit was muss man
Hinweis
Beim Lösen von Logarithmusgleichungen muss man sehr oft Logarithmen in Potenzen umwandeln.
Unbekannte im Logarithmand
Betrachten wir zuerst den Fall, dass die Unbekannte
Im ersten Schritt wandeln wir den Logarithmus in eine Potenz um. Dazu wenden wir die allgemeine Form des Logarithmus auf unsere Gleichung an.
Durch das Umwandeln des Logartihmus erhalten wir eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten, die wir mithilfe der Äquivalenzumformung lösen können.
Methode
Vorgehensweise
1. Logarithmus in eine Potenz umwandeln
2. Lineare Gleichung ausrechnen
Unbekannte in der Basis
Befindet sich die unbekannte Variable in der Basis des Logarithmus, gehen wir zunächst ähnlich vor wie im obigen Fall: Wir wandeln den Logarithmus in eine Potenz um.
Durch das Umwandeln des Logarithmus erhalten wir :
Methode
Vorgehensweise
1. Logarithmus in eine Potenz umwandeln
2. Gleichung ausrechnen, indem man die Wurzel zieht
Unbekannte als Exponent im Logarithmus
Ist die unbekannte Variable Teil eines Exponenten in einem Logarithmus, haben wir zwei Möglichkeiten die Logarithmusgleichung zu lösen.
1. Möglichkeit: Logarithmus in eine Potenz umwandeln
Wir können diese Logarithmusgleichung auf dieselbe Art und Weise lösen, wie die obigen Beispiele. Auch hier wandeln wir den Logarithmus in einem ersten Schritt in eine Potenz um.
Wir erhalten eine Exponentialgleichung, die wir lösen können, indem wir die Gleichung wieder logarithmieren. Dieses mal allerdings mit
2. Möglichkeit: Lösen mithilfe des dritten Logarithmusgesetzes
Um das Rechnen mit der Exponentialgleichung zu umgehen, können wir im ersten Schritt auch das dritte Logarithmusgesetz anwenden. Dieses besagt, dass der Logarithmus einer Potenz dem Exponenten mal dem Logarithmus entspricht.
Merke
3. Logarithmusgesetz:
Die Gleichung lässt sich nun einfach nach
Beide Methoden führen also zum selben Ergebnis. Letztendlich kann jeder für sich entscheiden, welche Variante er nutzt.
Logarithmusgleichungen mit mehreren Logarithmen
Logarithmusgleichungen können aus mehr als einem Logarithmus bestehen. Die unbekannte Variable
Im ersten Schritt müssen wir die Logarithmen zu einem Logarithmus zusammenfassen. Dabei helfen uns die Logarithmusgesetze. In diesem Fall wenden wir das erste Logarithmusgesetz an.
Merke
1. Logarithmusgesetz:
Wir erhalten eine Logarithmusgleichung mit einer Unbekanntem im Logarithmand und lösen diese nach bekanntem Verfahren auf.
Wir erhalten eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der p-q-Formel lösen können.
Merke
p-q Formel:
Für eine Gleichung der Form
Wir erhalten zwei Lösungen für die quadratische Gleichung.
Methode
Vorgehensweise
1. Logarithmen zu einem Logarithmus zusammenfassen
2. Logarithmus in eine Potenz umwandeln
3. Quadratische Gleichung mithilfe der p-q-Formel auflösen
Teste dein neu erlerntes Wissen in unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Logarithmusfunktionen
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Logarithmusfunktionen (Funktionsklassen) aus unserem Online-Kurs Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2) interessant.
-
Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) aus unserem Online-Kurs Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2) interessant.