Logarithmusfunktionen
Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Umkehrfunktionen erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.
Exponentialfunktionen haben die Form:
Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestellt
entsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)
Merke
Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion
Die Logarithmusfunktion und die e-Funktion grafisch
In dem unteren Bild ist in schwarz die e-Funktion
Merke
Aufgrund ihrer Definition als Umkehrfunktion der Exponentialfunktionen haben alle Logarithmusfunktionen einen gemeinsamen Punkt und zwar
Logarithmusgesetze
Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmusgesetze. Sie entstehen ebenfalls als Konsequenz aus den Potenzgesetzen.
Merke
Wenn b,n, u und v positive reelle Zahlen sind und
- Ist zusätzlich
gilt: , b kann beliebig gewählt werden, z.B. b=e so dass gilt.
Das fünfte Gesetz ist besonders hilfreich, da es das Umrechnen zwischen verschieden Basen ermöglicht. Auch beim Eingeben von Logarithmen in den Taschenrechner wird dieses Gesetzt benötigt, da in den Taschenrechner nur ln oder lg eingegeben werden kann, aber keine beliebige Basis.
Merke
Die Ableitungfunktion von
Ist
Merke
Logarithmusfunktionen haben keine Extrem- oder Wendestellen.
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