Was sind lineare Funktionen? - Definition und Erklärung
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Funktionen sind ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. Eine Art sind die linearen Funktionen (lineare Zuordnungen), diese Art von Funktionsgleichungen werden wir dir hier im Detail erklären.
Was ist eine lineare Funktion? - Definition
Eine Funktion stellt immer das Verhältnis zweier Variablen dar. Meist werden die zwei Variablen
Lineare Funktionen beschreiben immer ein lineares Verhältnis, bzw. eine lineare Zuordnung zwischen zwei Variablen. Daher sind ihre Graphen eine gerade Linie im Koordinatensystem.
Mathematisch ausgedrückt geht es um folgenden Zusammenhang:
Merke
Dabei sind alle Variablen, also
Schauen wir uns ein Beispiel an.
Beispielaufgabe zu linearen Funktionen
Kosten pro gekaufter Kugel Eis
Wir wollen eine Funktion erstellen, welche das Verhältnis zwischen der Anzahl gekaufter Kugeln Eis zum Preis abbildet.
Nehmen wir an, eine Kugel Eis kostet
Anzahl der Kugeln | Kosten (in €) |
0 | 0 |
1 | 0,80 |
2 | 1,60 |
3 | 2,40 |
4 | 3,20 |
5 | 4,00 |
6 | 4,80 |
7 | 5,60 |
Wir haben die Kosten im Verhältnis zur Anzahl der Kugeln in eine Tabelle eingetragen. Somit erhalten wir die dazugehörige Wertetabelle.
Dieses Verhältnis zwischen Kosten und Anzahl können wir nun in einer Funktion abbilden. Da die Kosten proportional ansteigen, erhalten wir eine lineare Funktion.
Zeichne die dazugehörige Funktion zuerst einmal selbst! Du kannst die Werte aus der Tabelle einfach ablesen und in ein passendes Koordinatensystem einzeichnen.
Methode
In der Wertetabelle stehen die x-Werte links und die dazugehörigen y-Werte rechts. Bei unserem Beispiel ordnen wir die Anzahl der Kugeln den Kosten zu. Somit muss die Anzahl der Kugeln dem
In einem Koordinatensystem verläuft immer von links nach rechts die
Wir nehmen nun z.B den Punkt
Dies machen wir nun mit mehreren Punkten, verbinden diese und erhalten eine Funktion.
So sollte die Funktion aussehen:
Auf der
Wir können sehen, dass die Funktion die Punkte der Wertetabelle miteinander verbindet und eine gerade Linie entsteht.
Lineare Funktionen - Welche Besonderheiten haben die Variablen?
Allgemein zeigt der y-Achsenabschnitt das Verhältnis zwischen keinem
Die Steigung kann auch negativ sein. Dann ist
Wie bestimmt man lineare Funktionsgleichungen?
Wir können die Funktionsgleichung, die das Verhältnis zwischen Kugeln Eis und Preis wiedergibt, bestimmen.
Dies hat den Vorteil, dass man sowohl für jede beliebe Anzahl an Kugeln den Preis ausrechnen kann, als auch für jeden beliebigen Preis die Anzahl der Kugeln ermitteln kann.
Dafür nehmen wir uns zwei beliebige Punkte, zum Beispiel
1.
Dieser Punkt besagt, dass der y-Achsenabschnitt, also
Mathematisch können wir den Punkt einfach einsetzen. Dann erhalten wir die Gleichung:
Also fällt das
2.
Nun zum zweiten Punkt
Schauen wir uns dies mathematisch an, indem wir den Punkt in die Gleichung einsetzen.
Somit haben wir nun auch mathematisch gezeigt, dass die Steigung
Nun müssen wir die zwei errechneten Variablen noch in unsere Gleichung einsetzen.
Daraus folgt, dass unsere lineare Funktionsgleichung
Nun kennst du die Definition und Anwendung linearer Funktionen und Funktionsgleichungen. Ob du diese Erklärungen verstanden hast, kannst du mit den Übungsaufgaben überprüfen. Viel Spaß und Erfolg dabei!
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