Mit Höhensatz des Euklid rechnen - Regeln einfach erklärt
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Der Höhensatz des Euklid gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie der Kathetensatz und der Satz des Pythagoras, befasst sich der Höhensatz mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken.
Hinweis
Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.
Was berechnet man mit dem Höhensatz?
Wie der Name bereits vermuten lässt, benötigen wir die Höhe eines Dreiecks, um den Höhensatz anwenden zu können. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein Lot, das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Die Höhe teilt die Hypotenuse (
Der Höhensatz bringt die Strecken
Merke
Höhensatz
Richtig gerechnet? - Beweis des Höhensatzes
Um den Höhensatz zu beweisen, benötigen wir den Satz des Pythagoras sowie die erste binomische Formel.
Hinweis
- Satz des Pythagoras:
- 1. Binomische Formel:
Ein rechtwinkliges Dreieck wird durch das Einzeichnen der Höhe in zwei kleinere, rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Insgesamt können wir also drei rechtwinklige Dreiecke erkennen: Ein Dreieck mit den Seitenlängen
Jedes dieser Dreiecke ist rechtwinklig und daher können wir jeweils den Satz des Pythagoras anwenden:
1.
2.
3.
Außerdem können wir eine weitere Beziehung aufstellen:
Dies lässt sich auch als Quadrat schreiben:
Mithilfe der ersten binomischen Formel können wir den Klammerterm
Diesen neu hergeleiteten Ausdruck für
Außerdem können wir
Diese neu aufgestellte Gleichung vereinfachen wir nun so weit wie möglich.
Nach dem Vereinfachen erhalten wir den Höhensatz des Euklid.
Höhensatz des Euklid anwenden - Beispiel
Schauen wir uns an einer Beispielrechnung an, wie du den Höhensatz des Euklid anwenden kannst.
In unserem Beispiel hast du die Höhe
Im nächsten Schritt löst du die Gleichung mittels Termumformung nach
Um nun noch einmal zu prüfen, ob deine Rechnung stimmt, setzt du
Da bei deinem Ergebnis auf beiden Seiten der Gleichung ein identisches Ergebnis herauskommt, ist deine Berechnung des Abschnitts
Nun hast du einen detaillierten Überblick über die Herleitung und Anwendungsmöglichkeiten des Höhensatz des Euklid bekommen. Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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