Mit Kathetensatz des Euklid rechnen - Regeln einfach erklärt
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Der Kathetensatz des Euklid gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie der Höhensatz und der Satz des Pythagoras, befasst sich der Kathetensatz mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken.
Ausgangspunkt für den Kathetensatz ist der Satz des Pythagoras, laut dem das Hypotenusenquadrat (
Hinweis
Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.
Was sagt der Kathetensatz des Euklid aus?
Um zu verstehen, was der Kathetensatz aussagt, benötigen wir die Höhe des Dreiecks. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein Lot, das vom rechten Winkel auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Die Höhe teilt die Hypotenuse (
Zeichnen wir die Höhe über das Dreieck hinaus, teilt sie das Hypotenusenquadrat in zwei Rechtecke mit den Flächeninhalten
Merke
Kathetensatz des Euklid
Das Quadrat von
Richtig gerechnet? - Beweis des Kathetensatzes
Durch das Einzeichnen der Höhe erhalten wir insgesamt drei Dreiecke: Ein Dreieck mit den Seitenlängen
Jedes dieser Dreiecke ist rechtwinklig und daher können wir jeweils den Satz des Pythagoras anwenden:
Außerdem können wir eine weitere Beziehung aufstellen:
Für den Beweis benötigt man außerdem den Höhensatz des Euklid:
Beweis:
Wir starten mit der Formel für
Im ersten Schritt ersetzen wir
Die Potenz
Für den Klammerterm
Hinweis
So erhalten wir den uns bekannten Kathetensatz:
Beweis:
Der Beweis ist analog zu der obigen Rechnung, mit dem Unterschied, dass wir mit der Formel für
Kathetensatz des Euklid anwenden - Beispielaufgabe
Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind folgende Längen gegeben:
Um die gesuchten Seiten mithilfe des Kathetensatzes berechnen zu können, müssen
Da
Nun fehlt uns noch die Seite
Jetzt kennen wir
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