Satz des Pythagoras - Formeln und Beweis einfach erklärt
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Wir tauchen nun ein in eine der wohl bekanntesten Formeln der Mathematik. Doch wohingegen andere oft nur den Namen kennen, wirst du in wenigen Schritten verstehen und üben, was der Satz des Pythagoras genau ist und wobei man ihn anwenden kann.
Der Satz des Pythagoras - Das solltest du wissen
Der Satz des Pythagoras, oder auch die Pythagoras-Formel genannt, kommt aus dem Bereich der Geometrie und kann ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden.
Vertiefung
Du solltest noch einmal überlegen, was du bis jetzt alles über Dreiecke weißt.
Wir haben schon verschiedene Arten dieser geometrischen Figur kennengelernt: gleichseitig, ungleichseitig und gleichschenklig. Die Bezeichnung rechtwinkliges Dreieck ist uns neu und beschreibt ein Dreieck mit einem rechten Winkel, das heißt, ein Dreieck, bei dem einer der drei Winkel 90° beträgt. In einem solchen Dreieck wird die Ecke mit dem rechten Winkel mit dem Punkt
Wie du ja bereits weißt, werden die Winkel mit dem gleichen Buchstaben benannt wie der Punkt, aus dem sie "entspringen".Die Winkel werden jedoch mit griechischen Buchstaben bezeichnet, damit du nichts verwechseln kannst. Der rechte Winkel ist definitionsgemäß am Punkt
Du hast auch schon einmal gesehen, dass wir die einzelnen Seiten eines Dreiecks mit den kleinen Buchstaben
Bei den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gibt es noch etwas zu beachten. Die Seitenlänge
Wie lautet die Formel des Satz des Pythagoras?
Wie du siehst, gibt es in einem rechtwinkligen Dreieck viel zu benennen. Schauen wir uns nun an, was der Satz des Pythagoras aussagt:
Merke
Satz des Pythagoras:
ausgesprochen: Die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate entspricht dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Was genau bedeutet das? Wir stellen uns vor, dass wir aus den drei Seitenlängen je ein Quadrat konstruieren. Diese Quadrate bestehen also jeweils aus vier gleich langen Seiten mit den Seitenlängen
Addierst du die Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen
Hinweis
Über die Person Pythagoras ist sehr wenig bekannt. Niemand weiß, ob er den nach ihm benannten Satz überhaupt selber formuliert hat. Die Formel taucht zum ersten Mal im Lehrbuch des Mathematikers Euklid (340 - 270 v. Chr.) auf.
Den Satz des Pythagoras beweisen - So geht's!
Du glaubst nicht, dass die beiden kleineren Quadrate in das große Quadrat passen? Dann probiere es selber aus!
Methode
Interaktives Arbeitsblatt
Ziehe die Flächen des großen Quadrates in die kleinen hinein, indem du mit der Maus auf die roten Punkte klickst, gedrückt hältst und bewegst. Du kannst außerdem die Lage des Punktes C verändern, was zeigt, dass der Satz des Pythagoras wirklich in allen rechtwinkligen Dreiecken gilt!
Den Satz des Pythagoras mathematisch zu beweisen ist auf viele Wege möglich. Besonders anschaulich und gleichzeitig relativ einfach ist der geometrische Beweis.
In dem folgenden Quadrat findest du ingesamt vier gleiche, rechtwinklige Dreiecke an den Ecken. Die Hypotenuse
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ergibt sich daher wie folgt:
Dieser Flächeninhalt lässt sich aber auch durch den Flächeninhalt der vier kleinen Dreiecke und des kleineren Quadrats (
Der Flächeninhalt von einem rechtwinkligen Dreieck ist gegeben durch:
Die Klammern des rechten Terms lassen sich auflösen:
Die Klammer im linken Term können wir mit Hilfe der 1. binomischen Formel auflösen:
Auf beiden Seiten steht
Wie rechnet man mit dem Satz des Pythagoras?
Das Besondere am Satz des Pythagoras ist, dass wir alle drei Seitenlängen in ein Verhältnis setzen können. Das bedeutet, dass uns immer zwei Seitenlängen ausreichen, um die dritte Seitenlänge zu berechnen. Mithilfe des Satz des Pythagoras kannst du also nicht nur die Länge der Seite
Beispiel
Wie lang ist
Beispiel
Wie lang ist
Beispiel
Wie lang ist
Nun hast du alles Wichtige zum Satz des Pythagoras gelernt. Teste nun dein neu erlerntes Wissen in den Übungsaufaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg.
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