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Diskrete Bahnradien

Atommodelle / Bohrsches Atommodell

Wir wollen uns nun mit der Berechnung der Bahnradien des Bohrschen Atommodells befassen. Dazu benötigen wir folgende Voraussetzung:

  • Wir betrachten ein Ein-Elektronen-Atom mit der Kernladungszahl , was einem Atom mit einem Elektron in der Elektronenhülle und Protonen im Kern entspricht.

Die zwischen dem Elektron der Ladung und dem Kern der Ladung wirkende anziehende Kraft ist die bekannte Coulombkraft (siehe auch Kap. Ladungen und Felder).

Bahnradien

Methode

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Berechnung

Das Kräftegleichgewicht auf der n-ten Bohrschen Bahn bedeutet, dass die Coulombkraft betraglich gleich der Zentrifugalkraft ist.

Kräftegleichgewicht,

woraus man durch Umformung nach zu folgender Gleichung gelangt

.

Als weitere Gleichung benötigt man das 1. Bohrsche Postulat.

1. Bohrsches Postulat

Wir können nun diese Formel für in die oben gewonnene Formel für einsetzen. Entsprechend eingesetzt folgt dann:

Damit haben wir den Bahnradius der n-ten Bohrschen Bahn in Abhängigkeit von der Hauptquantenzahl bestimmt.

Merke

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Nach dem Bohrschen Atommodell wächst der Bahnradius quadratisch mit der Hauptquantenzahl ; in Formeln hat man die Proportionalität

.

Genauer gesagt ist, wie oben kalkuliert,

.

Insbesondere besagt das Resultat, dass es nur diskrete Bahnradien gibt.

Kleinster Bahnradius im Wasserstoffatom

Beispiel

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Da es sich um Wasserstoff handelt, ist einzusetzen. Darüber hinaus wählt man , weil wir nach dem kleinsten Bahnradius suchen.

Der berechnete Radius vermittelt relativ gut, in welchen Dimensionen wir uns im Atom bewegen.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Atomphysik und Kernphysik

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Atomphysik und Kernphysik zum Kurs
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Atomspektren
    • Einleitung zu Atomspektren
    • Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms
      • Einleitung zu Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms
      • Balmer-Serie
    • Absorptionsspektren
    • Franck-Hertz-Versuch
  • Atommodelle
    • Einleitung zu Atommodelle
    • Bohrsches Atommodell
      • Einleitung zu Bohrsches Atommodell
      • Diskrete Bahnradien
      • Diskrete Energiezustände
      • Termschema, Spektrallinien- Wasserstoffatom
    • Moderne Atommodelle der Quantenmechanik
      • Einleitung zu Moderne Atommodelle der Quantenmechanik
      • Der eindimensionale Potentialtopf
        • Einleitung zu Der eindimensionale Potentialtopf
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