Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
Wir gehen nun dazu über eine Differentialgleichung für den Schwingkreis herzuleiten, die man auch als (elektromagnetische) Schwingungsdifferentialgleichung bezeichnet.
Zu der Herleitung gibt es im Wesentlichen zwei Methoden:
- Man nutzt die Tatsache, dass die Gesamtenergie im Schwingkreis konstant ist.
- Man nutzt die Kirchhoffsche Maschenregel.
Obwohl die erste Methode im Hinblick auf die Ideen der höheren Physik sehr attraktiv erscheint, nutzen wir hier die 2. Methode, die einen geringeren mathematischen Aufwand für die Herleitung bedeutet.
Methode (Ansatz über Kirchhoffsche Maschenregel)
Kirchhoffsche Maschenregel: Die Summe der Spannungen in einer Masche eines elektrischen Stromkreises ist Null.
(Die Spannung
Mit den bekannten Gleichungen für die Spannungen einer Spule
Die Stormstärke
Diese letzte Formel setzen wir in die obige Gleichung ein,
Etwas umgeformt ergibt sich dann die gewünschte
Merke
Schwingungsdifferentialgleichung
Lösung der Differentialgleichung
Methode
Man kann diese Gleichung lösen, indem man folgenden Ansatz benutzt:
Dabei ist
Setzt man nun diesen Ansatz in die obige Differentialgleichung ein und differenziert entsprechend, so steht am Ende der Rechnung zusammengefasst
Man beobachtet also eine Schwingung der Ladung
Eigenfrequenz & Schwingungsdauer
Die so erhaltene Lösung ist vollständig konsistent mit unseren vorigen Ergebnissen. Noch bemerkenswerter ist, dass ein Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz
Mit Hilfe der bereits bekannten Formel
Merke
Die elektromagnetische Schwingung hat die Eigenfrequenz
und die Schwingungsdauer
Dies wird häufig auch als Thomson-Formel bezeichnet.
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer (Schwingungen und Wellen - Grundlagen) aus unserem Online-Kurs Elektromagnetismus interessant.
-
e-Funktionen mittels Substitution lösen
Vielleicht ist für Sie auch das Thema e-Funktionen mittels Substitution lösen (Gleichungen lösen) aus unserem Online-Kurs Vorkenntnisse zur Analysis interessant.