Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
Eine Bewegung und somit eine Schwingung kann auf eine Kraft
(oder auch so)
Herleitung der Schwingungsdifferentialgleichung
Wir können also die Gleichung zunächst einmal so schreiben
Doch was ist nun die Kraft
Man erinnere sich daran, dass für eine Feder das hookesche Gesetz (Kraftgesetz) gilt: Die Kraft
Die Kombination dieser Gleichung mit der obigen Gleichung liefert nun das gesuchte Ergebnis:
Differentialgleichung der harmonischen Schwingung eines Federpendels
Merke
oder auch in der dazu äquivalenten Notation
Nur wenn ein System einer Schwingungsdifferentialgleichung der obigen Form gehorcht, handelt es sich um eine harmonische Schwingung.
Bei einem anderen mechanischen System (z. B. Fadenpendel) kann dabei freilich eine andere Konstante als
Methode
Die Differentialgleichung wird durch folgenden Ansatz gelöst:
Setzt man nun diesen Ansatz in die Schwingungsdifferentialgleichung ein, so resultiert:
Eigenfrequenz & Schwingungsdauer
Die Formel
Merke
Das Federpendel schwingt mit der Eigenfrequenz
und damit der Schwingungsdauer
Ergänzung- Dämpfung der Schwingung
Ein mechanisches System schwingt nur im Idealfall harmonisch. Durch Reibungsverluste kann das System an Energie verlieren und die Elongation bzw. Amplitude nimmt zeitlich ab. Man hat es dann mit einer gedämpften Schwingung zu tun. Dieses Verhalten kann man dem t-y-Diagramm der Schwingung entnehmen.
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