Homogenes Feld
Kommen wir nun zu dem homogenen elektrischen Feld, welches eine noch einfachere Konfiguration als das radialsymmetrische Feld besitzt.
Es wird sich zeigen, dass das homogene elektrische Feld in allen Punkten des Raumes eine konstante Richtung und einen konstanten Betrag besitzt. Es ist somit das einfachste denkbare elektrische Feld. Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich das homogene elektrische Feld im Experiment realisieren?
Betrachten wir dazu zwei hinreichend große entgegengesetzt geladene metallische Platten, die einander gegenüber im Abstand
Methode
An dieser Stelle sollten wir ein intuitives Verständnis vom Feldlinienverlauf entwickeln. Es ist zwar richtig, dass die Physik mit strengen mathematischen Beweisen arbeitet. Dennoch beginnt das Verständnis mit der Intuition für physikalische Phänomene und endet mit dem strengen Beweis.
Es zeigt sich also, dass bei der Anordnung des Plattenkondensators das elektrische Feld
Man beachte dabei, dass diese Gleichung lediglich im Innern richtig ist. Am Rand des Plattenkondensators treten sogenannte Randeffekte auf; das heißt insbesondere, dass das elektrische Feld am Rand gekrümmt wird und damit auch nicht mehr homogen ist.
Beispiel
Für das homogene elektrische Feld bzw. den Plattenkondesator finden sich zahlreiche physikalische Anwendungen:
- Ablenkkondensatoren in der Braunschen Röhre
- im Geschwindigkeitsfilter/Wien-Filter
Der Grund für den Einsatz des homogenen elektrischen Feldes bzw. des ihn erzeugenden Plattenkondensators ergibt sich aus der Möglichkeit, elektrische Ladungen in der Bewegung gezielt zu steuern.
Wie eingangs besprochen, üben elektrische Felder Kräfte auf elektrisch geladene Objekte aus. Das homogene elektrische Feld bietet nun eine optimale Feldkonfiguration, um die Wirkung der elektrischen Kraft auf den Bewegungsablauf von Ladungen in elektrischen Feldern zu verstehen. Deshalb sollten wir diese Gelegenheit ausnutzen, um einige typische Rechenmethoden einzuüben.
Du (der Leser/Abiturient) solltest unbedingt die Aufgaben nachrechnen, um den physikalischen und mathematischen Gedankengang zu verstehen.
Methode
Bewegungsablauf und Ablenkung eines geladenen Teilchens im homogenen Feld des Plattenkondensators
Nehmen wir an, dass sich ein Elektron der Elementarladung
- Beschreibe den Bewegungsablauf des Elektrons innerhalb des Plattenkondensators. Berechne dazu die Weg-Zeit-Gesetze sowohl in
- als auch -Richtung (also und ). (Hinweis: Die Gravitationskraft, die zusätzlich auf das Elektron wirkt, kann vernachlässigt werden.) - Wie groß ist die maximale Ablenkung
des Elektrons in -Richtung, wenn das Elektron den Plattenkondensator (Gesamtlänge ) verlässt? (Beachte auch die Richtung!)
Versuche die Aufgabe zunächst eigenständig zu lösen, bevor Du dir sofort die Lösung des Problems anschaust.
Lösungsvorschlag: Ich biete hier eine mögliche Lösung des Problems an. Falls Du andere Wege findest, die zum gleichen Ergebnis führen, dann lohnt sich ein Vergleich der Methoden.
1.
a) Analyse der Bewegung in
Zunächst weiß man, dass aufgrund der angelegten Gleichspannung ein homogenes elektrisches Feld im Innern des Plattenkondensators herrscht. Das Feld
Dadurch erfährt das Elektron eine konstante Beschleunigung
folgt.
Um diese Gleichung (sogenannte Differentialgleichung) zu lösen, kann man folgenden Trick benutzen: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung der Stammfunktion gleich der Funktion selbst. Die Stammfunktion von
Zum Zeitpunkt
b) Analyse der Bewegung in
Da in
2.
Um die maximale Ablenkung bestimmen zu können, muss man die Zeit
Eingesetzt in die Gleichung für
(m ist hier natürlich die Masse des Elektrons.)
Hinweis
Folgenden Hinweis möchte ich bezüglich der Aufgabe noch geben: Die (momentane) Geschwindigkeit (z.B. eines Teilchens) ist die Ableitung der Weg-Funktion nach der Zeit. Die Beschleunigung ist als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit definiert.
Daher kann man durch Umkehrung, das heißt Integration, von der Beschleunigung zur Geschwindigkeit gelangen. Führt man dann eine Integration der Geschwindigkeitsfunktion aus, so erhält man die Weg-Funktion.
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