Relativistische Energie
Wir wissen aus der klassischen Mechanik, dass die Formel für die kinetische Energie eines Körpers der Masse
Ausgangspunkt sei ein Körper, der zu Beginn seiner Bewegung die Geschwindigkeit Null hat und sich entlang der
Für den Impuls
Im Kapitel Ladungen und Felder, Abschnitt Energie im elektrischen Feld hatten wir eine allgemeine Integralformel für die Arbeit und Energie kennengelernt. Demnach kann die kinetische Energie
Setzen wir nun die obige Formel für die Kraft in dieses Integral ein, so bekommen wir den Ausdruck
Die im Ausdruck auftretenden Differentiale können mittels Differentialrechnung weiter umgeformt werden
Dabei wurde im ersten Schritt die Reihenfolge von
Man beachte nun, dass der Impuls
dann ist
Damit können wir die kinetische Energie
Die Integration ist hier über die Geschwindigkeitsvariable auszuführen, wobei
Wir wissen, dass
Die Massenformel lautet zur Erinnerung
Die Ableitung samt Massenformel setzen wir in das Resultat der Produktregel ein und erhalten
Dieses Resultat fügen wir in die Integralformel der kinetischen Energie
Methode
Lösung des Integrals
Das Problem besteht jetzt in der Berechnung des Integrals
Definieren wir die Funktion
Laut Differential- und Integralrechnung muss man zunächst die Stammfunktion
finden. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht zwischen
Wer genügend Übung mit der Integration von Wurzelfunktionen hat, wird sofort feststellen, dass
eine Stammfunktion bildet.
Beweis: Wir bilden die Ableitung
Damit können wir
Fassen wir dieses Resultat als Merksatz zusammen:
Merke
Die relativistische (kinetische) Energie
Die kinetische Energie eines Körpers der Ruhemasse
gegeben.
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