Herleitung der Compton-Formel
Nach der klassischen Wellentheorie des Lichts würde man eine Verkleinerung der Amplitude der (Licht-)Welle als Folge eines Energieverlustes und nicht eine Wellenlängenänderung erwarten. Ein Ausweg aus dem Problem ergibt sich wie folgt: Elektromagnetische Strahlung bestehe aus Teilchen (Photonen). Diese Photonen treffen auf die Elektronen und werden dabei gestreut.
Betrachten wir nun die Streuung eines Photons
Dieser Prozess ist in der Abbildung dargestellt.
Comptonstreuung- Mathematische Herleitung (nicht prüfungsrelevanter Teil)
Wir wollen nun versuchen, für die von Compton beobachtete Veränderung der Wellenlänge des Lichts eine Formel herzuleiten. Die Herleitung ist eigentlich nicht prüfungsrelevant, aber wir geben sie der Vollständigkeit der Physik wegen an.
Eine sinnvolle Methode zur Herleitung in diesem Fall besteht darin, gültige Erhaltungssätze auszunutzen. Wegen der Gültigkeit des Energie- und Impulserhaltungssatzes kann man wie folgt vorgehen: Man stellt zunächst die Energien und Impulse der beteiligten Teilchen vor und nach dem Stoß auf.
Photon | Elektron | |
vor dem Stoß | ||
nach dem Stoß |
Methode
Da man hier relativistisch rechnen muss, benutzen wir die (bekannten) relativistischen Formeln (siehe Kap. Relativitätstheorie bzw. physikalische Formelsammlung). Dabei bezeichnet
Aus den genannten Erhaltungssätzen folgen die beiden Gleichungen
Durch Umformung der zweiten Gleichung erhält man unter Berücksichtigung der Formel
wobei man nun die Energie-Impuls-Relation
die rechte Seite der Gleichung erhält man durch Umformung der Gleichung für Energieerhaltung nach
Subtrahiert man in dieser letzten Gleichung alle identischen Terme und führt eine Umformung durch, so bleibt
Nun dividiert man auf beiden Seiten der Gleichung durch
Nun besteht zwischen der Energie
Diese Beziehung setzen wir nun in den Ausdruck für
Compton-Formel
Dieses Endergebnis solltest Du als Abiturient jedoch kennen. Vor allem sollte man erkennen, dass die Wellenlänge des Lichts bei der Streuung zunehmen kann ("Rotverschiebung") und dies äquivalent ist mit einer Abnahme der Energie des Lichts. Berücksichtige bei dem gerade geführten Gedankengang die Formel
Merke
Die Veränderung
und ist daher lediglich vom Streuwinkel
Diese Aussage ist in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Insbesondere ist die Wellenlängenänderung unabhängig vom Streumaterial.
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