Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
Vertiefung
Aufgabenstellung: Wachstum von Fichten
Fichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:
Alter des Baumes in Jahren | 0 (Setzling) | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 |
Durchmesser in m (bei älteren Fichten gemessen in 1,30 m Höhe) | 0,05 | 0,10 | 0,22 | 0,33 | 0,54 | 0,75 | 0,83 | 0,91 | 0,95 |
Beispiel
b)
- Nennen Sie Annahmen, die logistischem Wachstum zu Grunde liegen.
- Stellen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten auf unter der Annahme, dass Logistisches Wachstum vorliegt.
- Zeigen Sie, dass d diese Differentialgleichung löst.
Lösungsskizze
Momentane Änderungsrate der Dicke
Bestimmung der Sättigung:
Durch Einsetzen ergibt sich, dass die Differentialgleichung für
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