Abstände von Geraden
Abstand zweier paralleler Geraden g und h
Man nehme einen Punkt P auf g und lege eine zu g und h orthogonale Ebene E durch den Punkt. Der Schnittpunkt von E mit der Geraden h liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand der beiden Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors
Abstand zweier windschiefer Geraden g und h
Der anspruchsvollste (und am seltensten gefragte) Fall. Hierbei müssen wir die Punkte G auf g und H auf h suchen, an denen sich die Geraden am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Verbindungsvektor
Setzen wir für G und H die allgemeinen Koordinaten aus den Geradengleichungen ein, ergibt sich ein LGS, das im Falle windschiefer Geraden eindeutig lösbar ist. Die Lösung liefert die Punkte G und H. Der Abstand der windschiefen Geraden g und h entspricht dann dem Betrag des Vektors
Beispiel
Die Geraden
Für die Koordinaten eines beliebigen Punktes G auf g gilt
für die eines Punktes H auf h entsprechend
Für den Vektor
Dieser Vektor soll senkrecht zu beiden Geraden stehen, damit muss gelten
Wir haben also ein lineares Gleichungssystem mit
und den Lösungen
Einsetzen von s in g ergibt
und damit den Punkt
Enstprechend liefert t in h
und damit den Punkt
Damit gilt für den Vektor
Somit haben die beiden windschiefen Geraden einen Abstand von 3 Längeneinheiten.
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