Spiegelung an einer Geraden
Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
Möchte man einen Punkt P an einer Geraden spiegeln, brauchen wir dazu den Punkt S auf der Geraden, der zu P die kleinste Entfernung hat. Wie kommen wir zu diesem?
In der Darstellung erkennt man, dass die Verbindung von P zu S senkrecht zur Gerade steht.
- und konstruieren eine Ebene, die orthogonal zur Geraden liegt und den Punkt P enthält. Hier bietet sich das Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform an, den Richtungsvektor der Geraden benutzen wir als Normalenvektor unserer Hilfsebene.
- Der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden ist unser gesuchter Punkt S. Er liegt auf der Geraden
und ist orthogonal zu g, schließlich liegt ja in der konstruierten Ebene. Diesen Punkt nennt man auch Lotfußpunkt. - Durch Spiegelung von P an S erhalten wir den gesuchten Bildpunkt P'.
Beispiel
Der Punkt
- Konstruktion einer Hilfsebene:
Hierzu nehmen wir den Richtungsvektor von g als Normalenvektor der Hilfsebene.. Eine Koordinatenform dieser Ebene lautet also - Zur Bestimmung von d setzen wir die Koordinaten unseres Punktes P in die vorläufige Ebenengleichung ein: . Unsere Hilfsebene hat also die Koordinatengleichung . - Schnitt der Hilfsebene mit der Geraden zur Bestimmung von S:
Aus der Geradengleichung entnehmen wir, und . Diese Koordinaten setzen wir nun in unsere Ebenengleichung ein und lösen dann nach t auf: und damit .
Eingesetzt in die Geradengleichung erhalten wir die Koordinaten für S:. Es ist also . - Zuletzt spiegeln wir P an S und erhalten so P':
.
Der gesuchte Bildpunkt P' hat also die Koordinaten
Spiegelung einer Geraden an einer Geraden
Hier gibt es drei verschiedene Fälle, die wir betrachten müssen.
Einmal kann eine Gerade an einer Parallelen gespiegelt werden. Hierbei wählt man einen beliebigen Punkt auf der zu spiegelnden Gerade, führt die Spiegelung dieses Punktes wie oben durch und bildet die Spiegelgerade mit dem Bildpunkt und dem bereits gegebenen Richtungsvektor.
Der Fall der Spiegelung an einer schneidenden Gerade ist ein bisschen ausführlicher. Man kann den Schnittpunkt der beiden Geraden als Aufpunkt der neuen Geraden nehmen. Um den Richtungsvektor der Bildgeraden zu bestimmen wählt man einen beliebigen weiteren Punkt auf der gegebenen Gerade. Anschließend konstruiert man eine Hilfsebene, die senkrecht zur "Spiegelgeraden" und durch den gewählten Punkt verläuft. Der Schnittpunkt von H mit der Spiegelgeraden ist der Lotfußpunkt. An diesem spiegelt man jetzt den Punkt der ursprünglichen Geraden und aus diesem Bildpunkt lässt sich dann der Richtungsvektor der gespiegelten Geraden herausfinden.
Die Spiegelung an einer windschiefen Gerade wird hier vorerst noch ausgespart.
Spiegelung einer Ebene an einer Geraden
Auch für diese Spiegelung gibt es zwei Möglichkeiten.
Wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft reicht das Spiegeln von einem Punkt der Ebene aus. Wir nehmen dann den Bildpunkt als Aufpunkt der Bildebene und übernehmen die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor der ursprünglichen Ebene.
Verlaufen Ebene und Geraden nicht parallel, so spiegelt man drei Punkte der Ebene an der Geraden und bastelt aus den drei neuen Bildpunkten die Bildebene (in Parameterform).
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