Erstes Logarithmusgesetz - Produkte im Logarithmus
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In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Herleitung und der Anwendung des ersten Logrithmusgesetzt.
Das erste Logarithmusgesetz
Merke
1. Logarithmusgesetz
Der Logarithmus eines Produkts entspricht der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.
Das erste Logarithmusgesetz - Beispiele
Beispiel
Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes
Betrachten wir folgendes Problem:
Bei solchen Rechnungen ist meist x oder y eine unbekannte Zahl. Um diese herauszufinden musst du sie aus der Klammer des Logarithmus herausziehen. Wie das funktioniert, schauen wir uns jetzt an.
Schreiben wir die einzelnen Logarithmen einmal getrennt voneinander auf, um uns ins Gedächtnis zu rufen, für was diese eigentlich stehen:
Methode
Beide Logarithmen lassen sich unabhängig voneinander aufschreiben und ergeben jeweils ein anderes Ergebnis (m und n).
Für
Aus dem nicht zusammenfassbaren Produk
Dieser Logarithmus lässt sich wiederum in eine Potenz umwandeln:
Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass
Bevor wir weiter machen, sollten wir nochmal unsere Gedanken (und Buchstaben) ordnen. Wir wissen aus der Problemstellung, dass
Wir haben also alles, was wir brauchen, um
Damit sind wir schon am Ziel angelangt: Wir haben einen neuen Ausdruck für
Merke
1. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus eines Produkts entspricht der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.
Die Herleitung solcher Rechenregeln kommt dir zurecht sehr schwierig vor, gleichzeitig ist es aber doch gut, dass all diese komplizierten Schritte am Ende eine simple Formel ergeben.
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Quotienten, einer Potenz oder einer Wurzel.
Du kannst dein neu erlerntes Wissen jetzt mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
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