Energie - schwingendes System

Schwingungen und Wellen - Grundlagen / Schwingungen

Wir gehen bei der Betrachtung von der harmonischen Schwingung eines Federpendels aus. Schauen wir zunächst auf die auftretenden Energieformen beim Federpendel.

Energieformen beim Federpendel

Die kinetische Energie eines mechanischen Systems lautet

wobei die Masse und die Geschwindigkeit darstellen.

Die potentielle Energie eines Federpendels hängt wesentlich von der Auslenkung ab

bezeichnet hier die Federkonstante.

Laut voriger Überlegungen gilt der Energieerhaltungssatz:

Merke

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Die Gesamtenergie des Systems ist die Summe der kinetischen Energie und der potentiellen Energie (Federenergie)

Die Gesamtenergie einer harmonischen (mechanischen) Schwingung ist (zeitlich) konstant und damit erhalten.

Wir wollen nun die Gesamtenergie auf eine elegante Weise bestimmen.

Gesamtenergie

Aus der Mechanik sollte bekannt sein, dass die Geschwindigkeit eines Körpers die zeitliche Ableitung seines jeweiligen Ortes ist.

Nun wird ja der Ort eines Federpendels durch die Elongation beschrieben

woraus man dann die Geschwindigkeit durch das Ableiten berechnen kann

Diesen Ausdruck setzen wir in die Formel für ein und erhalten sofort

Unter dem Aspekt der Energieerhaltung kann man also wie folgt argumentieren:

Es gibt eine kontinuierliche Umwandlung zwischen kinetischer und potentieller Energie. Wird die potentielle Energie an einer Stelle Null (dies geschieht in der Ruhelage des Pendels), so ist die gesamte Energie des Systems gleich dem maximalen Wert der kinetischen Energie . Aus der oben aufgeführten Formel für können wir den Maximalwert der kinetischen Energie bestimmen; dieser ist gerade der Vorfaktor

Merke

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Die Gesamtenergie bzw. Schwingungsenergie des schwingenden Systems ist

Der Zusammenhang zwischen Schwingungsenergie und Amplitude der Schwingung wird uns voraussichtlich noch später begegnen.

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