Relativistische Geschwindigkeitsaddition
Gehen wir nun im Rahmen der relativistischen Kinematik dazu über, die Geschwindigkeitsaddition zu analysieren. Das klassische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition kann in Anbetracht des Michelson-Experiments nicht richtig sein. Die Lichtgeschwindigkeit stellt eine Grenzgeschwindigkeit in der Natur dar.
Wie zuvor seien
sei die Geschwindigkeit des Objekts im System sei die Geschwindigkeit des Objekts im System
Es stellt sich die Frage, welcher Zusammenhang zwischen diesen Geschwindigkeiten besteht.
Methode
Herleitung des relativistischen Additionstheorems für Geschwindigkeiten
Wir haben vorausgesetzt, dass sich das Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Daher ist die Weg-Zeit-Funktion eine lineare Funktion und man kann die Geschwindigkeit einfach aus ihrer Steigung bestimmen.
Greifen wir zwei Punkte
Im System
Setzt man nun die Formeln für eine Lorentz-Transformation ein, so erhält man
und nach Division durch
Unter Berücksichtigung der Formel für
Somit haben wir eine Transformationsformel für Geschwindigkeiten erhalten, die aus der Lorentz-Transformation folgt.
Merke
Bewegen sich die beiden Inertialsysteme
Will man nun umgekehrt aus der Kenntnis der Geschwindigkeit
benutzen. Wie man sieht, muss man dabei
Auch in diesen Formeln für Geschwindigkeitsaddition spiegel sich das Relativitätsprinzip wider.
Wir überprüfen nun, ob die abgeleiteten Formeln mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen konsistent sind.
Beispiel
Betrachten wir die Lichtgeschwindigkeit im System
Somit ist die Lichtgeschwindigkeit im System
Damit haben wir gezeigt, dass die relativistische Geschwindigkeitsaddition mit dem fundamentalen Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit konsistent ist.
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