Hessesche Normalenform
Eine weitere Darstellungsmöglichkeit für Ebenen ist die sogenannte Hesse’sche Normalenform. Um die Ebenengleichung auf diese Form zu bringen, normiert man den Normalenvektor in der Normalenform. Klar ist: der Normalenvektor bleibt senkrecht zur beschriebenen Ebene, er wird nur in seiner Länge verändert (normieren = stauchen/strecken auf die Länge 1!).
Merke
Wählt man als Normalenvektor einer Ebene E einen Vektor der Länge 1, so bekommt man die Hesse’sche Normalenform
Da
Hessesche Normalenform zur Abstandsberechnung
Interessant ist die Hesse’sche Normalenform für Abstandsberechnungen von beliebigen Punkten zur Ebene. Mit unserem normierten Normalenvektor (man sagt auch „Normaleneinheitsvektor“) haben wir gewissermaßen die Möglichkeit, Abstände zu „messen“. Hierfür setzen wir einfach die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein. Das, was als Ergebnis rauskommt, ist der gesuchte Abstand. Anmerkung: Ist das Ergebnis Null, so liegt der Punkt natürlich auf der Ebene.
Methode
Q ist ein Punkt außerhalb der Ebene E, sein Ortsvektor ist
Für den Abstand d des Punktes Q von der Ebene E gilt dann
Ist die Ebene in Koordinatenform
Beispiel
Berechne den Abstand des Punktes
Für den Normalenvektor gilt
Der Abstand des Punktes Q von E ist dann
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