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Musterlösung b

Vorüberlegung

Es ist sinnvoll das Problem in 2 Bereiche zu unterteilen (siehe Zeichnung in der Einleitung zur Aufgabe):

  • Bereich A mit homogenem Magnetfeld
  • Bereich B im zylindrischen Kondensator mit elektrischem Feld

Bahn der Elektronen im Bereich A

Die Elektronen treten mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ in das homogene Magnetfeld $\vec{B}$ ein. Die Lorentzkraft lautet

$\vec{F}_L=e\cdot\vec{v}\times\vec{B}$.

Sie steht genau senkrecht auf der durch $\vec{v}$ und $\vec{B}$ aufgespannten Ebene. Sie zeigt somit genau in Richtung des Mittelpunktes $M_1$ in der Aufbauskizze und ist daher Zentralkraft einer Kreisbewegung. Die Bahn ist folglich Teil eines Kreises.

Hinweis:

Benutze zur Ermittlung der Richtung der Lorentzkraft die entsprechende Hand-Regel.

Konstanter Geschwindigkeitsbetrag

Ein konstanter Geschwindigkeitsbetrag würde bedeuten, dass die kinetische Energie der Elektronen während des gesamten Durchlaufs (also im Bereich A und B) konstant bleibt.

Begründung:

Sowohl die Lorentzkraft $\vec{F}_L$ im Bereich A als auch die elektrische Kraft $\vec{F}_E=e\cdot \vec{E}$ im Bereich B stehen senkrecht zur Bewegungsrichtung ($\vec{v}$) der Elektronen. Dadurch wird keine Arbeit an den Elektronen verrichtet; die kinetische Energie der Elektronen und somit der Geschwindigkeitsbetrag bleiben durchweg gleich.

Zusatz:

Wer will und willens ist, kann auch die Formel $\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$ für die Arbeit $W$ heranziehen. Ist $\vec{F}$ senkrecht zu $d\vec{r}$, so ist das Skalerprodukt Null. Daraus ergibt sich $W=0$; d.h. keine Arbeit wird verrichtet.

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