Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Einfache e-Funktion
    ... Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte. Wendepunkte Bedingung: f``(x)=0                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden. Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte. Globalverhalten Da die Funktion fallend ist gilt: wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -0,5, y=-0,5 ist die Asymptote. wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$ Wertebereich Durch die Asymptote ...
  2. Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    ... Steigungen, Steigungswinkel, Extrempunkte oder Wendepunkte von Funktionen bzw. Graphen zu berechnen. Wo begnet uns die Ableitung im Alltag? In vielen Diagrammen hat die Ableitung die Bedeutung einer Geschwindigkeit oder Zuwachs- bzw. Abnahmerate. Hier ein kleines Beispiel. Beispiel für die Verwendung der Ableitung Im ersten Diagramm ist das Gewicht eines Babies für jeden Tag ab seiner Geburt eingetragen. Die Steigung dieser Kurve gibt an, wie sich die Gewichtszunahme pro Tag entwickelt ...
  3. Die graphische Ableitung
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung
    Die graphische Ableitung
    Um Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte zu berechnen wird die Ableitung benötigt,  die nach verschiedenen Regeln berechnet wird. Aber warum benötigt man dazu die Ableitung? Woher kommen die Bedingungen zur Berechnung von Hochpunkten, Tiefpunkten und Wendepunkten? Dieses Verständnis kann sich dir nur erschließen, wenn du die Bedeutung der Ableitung 100% verstanden hast und graphisch ableiten kannst. Auf den folgenden Seiten erhälst du daher eine Schritt für Schritt - Anleitung zum graphischen ...
  4. Wendepunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch
    Wendepunkte graphisch
     Wendepunkte haben folgende Eigenschaften: Steigung extremal, d.h maximal oder minimal Ableitung ist extremal Krümmung ändert sich entweder Linkskrümmung in Rechtskrümmung (L-R-WP) oder- Rechtskrümmung in Linkskrümmung (R-L-WP) Wendepunkte mit minimaler und maximaler Steigung Die obere Grafik zeigt Beispiel für Wendepunkte mit maximaler Steigung (oben) und Wendepunkte mit minimaler Steigung (darunter).
  5. Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    ... gibt zwei verschiedene Arten von Rechts-Links-Wendepunkten. R-L-Wendepunkte mit negativer Steigung und R-L-Wendepunkte mit positiver Steigung. In beiden Fällen ergibt sich ein Minimum beim Ableiten, einmal im negativen und einmal im positiven Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion. WP = Wendepunkt Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer ...
  6. Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    ... gibt zwei verschiedene Arten von Links-Rechts-Wendepunkten. L-R-Wendepunkte mit positiver Steigung und R-L-Wendepunkte mit negativer Steigung. In beiden Fällen ergibt sich ein Maximum beim Ableiten, einmal im positiven und einmal im negativen Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du wieder sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion. Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver ...
  7. Vergleich der Wendepunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte
    Vergleich der Wendepunkte
    Alle Rechts-Links-Wendepunkte, zu denen auch die R-L-Sattelpunkte gehören, finden Sie in Graphenabschnitten, welche zuerst rechtsgekrümmt und dann linksgekrümmt sind. Bei jeder Rechtskrümmung fällt der Graph der ersten Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) kleiner wird. Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) größer wird. Dazwischen liegt dann immer ein Minimum. Je nachdem wie die Steigung am Wendepunkt ist, liegt das Minimum. Ist ...
  8. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Graphen ableiten
    ... Sie dann senkrechte Linien nach unten. Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragen Alle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT´s) wie Maximum und Sattelpunkt enden auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat. 2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und der Wendepunkte ein Punkte mit waagerechter Tangente und Wendepunkte Minimum: Nullstelle mit VZW -+ (ansteigend) Punkte waagerechter Tangente Maximum          ...
  9. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    x-Wert berechnen
    ... (f(x)=0), der Extrempunkte (f´(x)=0) oder der Wendepunkte (f´´(x)=0) sind typische Aufgaben in diesem Bereich. Hier wird die Funktion oder die Ableitungen mit 0 gleichgesetzt. Auch in Abituraufgaben muss oft der x-Wert berechnet werden. Da x oft die Zeit ist müssen oft Zeitpunkte an denen etwas geschieht ausgerechnet werden. Ein Beispiel wird in dem folgenden Videos anhand einer Abituraufgabe vorgerechnet. Das Video wird geladen ...
  10. Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte
    Wendepunkte
    Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert bzw. wendet. Am Wendepunkt selbst gibt es keine Krümmung. Anschaulich stellt man sich am besten eine Strasse von oben vor, auf welcher man Fahrrad fährt. Z.B. erst eine Links- und dann eine Rechtskurve. An dem Punkt, an dem man den Lenker gerade hält, ist der Wendepunkt. Im folgenden Video wird das Krümmungsverhalten an den Wendepunkten erläutert. Das Video wird geladen ... Am Wendepunkt ist die Steigung (= 1. Ableitung) extremal ...
  11. Bedingungen für Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte
    Bedingungen für Wendepunkte
    Zu den Wendepunkten gehören der Rechts-Links-Wendepunkt und der Links-Rechts-Wendepunkt bzw. Sattelpunkt. Die Berechnung der Wendepunkte erfolgt über zwei Bedingungen: 1. notwendige Bedingung f´´(x) = 02. hinreichende Bedingung f´´´(x) > 0 (RL-WP) oder f´´´(x) < 0 (LR-WP) Diese Bedingungen können aus den folgenden Bildern abgeleitet werden: Rechts-Links-Wendepunkte Für Rechts-Links-Wendepunkte gilt folgendes: Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung Rechts-Links-Wendepunkt ...
  12. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    Berechnung von Wendepunkten
    Um die Wendepunkte zu berechnen, muss man folgende Schritte ausführen: die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f''(x) und f'''(x)) die zweite Ableitung = Null setzen mit f''(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnen mit f'''(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR-WP ist.Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist f'''(xW) < 0 ist der Wendepunkt ein LR-WP.Ist f'''(xW) > 0 ...
  13. Globalverhalten
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Globalverhalten
    Globalverhalten
    ... können beliebig viele Maxima, Minima und Wendepunkte liegen. Welchen Verlauf eine ganzrationale Funktion hat, darüber entscheidet alleine der höchste Exponent und das Vorzeichen. Beispiele ganzrationaler Funktionen nach oben geöffnete Parabel $\ f(x) = x^8-x^7+x^5 $ gerader Exponent positives Vorzeichen nach unten geöffnete Parabel $\ f(x)=-x^6-x^5+x^3$ gerader Exponent negatives Vorzeichen steigende kubische Funktion $\ f(x)=x^9-x^8+x^5$ ungerader ...
  14. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    ... -> Tiefpunkt Ergebnis: TP (-2/-4) Wendepunkte Bedingung: f``(x)=0                 f``(x)=2 $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte Globalverhalten Da die Funktion positiv ist und der höchste Exponent gerade gilt: wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $\infty$ wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$ Wertebereich Da er höchste Exponent der Funktion gerade ist, und die Funktion positiv wird der Wertebereich nach unten beschränkt. Tiefster Punkt ist ...
  15. Besonderheiten von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
    ... (y-Achsenabschnitt, Nullstellen) Extrempunkte, Wendepunkte Globalverhalten, Monotonie, Wertebereich Je nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert. Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann. Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
  16. Klassifizierung von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen
    ... Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ist. Nicht alle Kurvenscharen müssen klassifiziert werden. Kurvenscharen müssen immer klassifiziert werden, wenn der Parameter im Nenner steht oder unter der Wurzel. Nullstelle x0=2t, Schar muss nicht ...
  17. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... entstehen, wenn die Extrempunkte oder die Wendepunkte einer Kurvenschar verbunden werden. Prinzipiell gibt es vier verschiedene Fälle bei einer Kurvenschar: Die Kurvenschar hat keine Ortslinie (verändere a im Applet, wenn b=0). Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form x=c, d.h. eine Parallele zur y-Achse (verändere c im Applet). Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse. Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie (verändere b ...
  18. Wendepunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Wendepunkte kubische Schar
    Wendepunkte Berechnung der Wendepunkte der Beispielfunktion f(x)=-2tx³+3t²x a) x-Werte berechnen Bedingung: f´´(x)=0 f(x)=-2tx³+3t²xf´(x)=-6tx²+3t²f´´(x)=-12tx 0=-12tx   /  : -12t (nur möglich wenn t nicht 0)x=0xW1=0 Es gibt also immer einen Wendepunkt wenn t $\neq0$. Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$ b) y-Werte berechnen Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion yW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0 Ergebnis: yW1=0 c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte ...
  19. Graph kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
    Graph kubische Schar
    ... Berechnung Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte t=1 t=-1 y-Achsenabschnitt y0=0 y0=0 Nullstellen x01=0 x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22 x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22 x01=0 Extrempunkte HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 ) TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 ) Wendepunkte ( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt    ( 0 / 0 ) Rechts-Links-Wendepunkt Sind die Punkte nicht ausreichend, um den ...
  20. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    ... y-Achsenabschnitt Nullstelle Extrempunkte Wendepunkte Globalverhalten Wertebereich Monotonie Graph Die Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen. Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, ...
  21. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Wendepunkte a) x-Werte berechnen Bedingung: f´´(x)=0 f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$                Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregelf´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$ f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$ f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5-18x+48x^3)$ f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$ Nullsetzen der ...
  22. Wendepunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Wendepunkte der e-Schar
    Um die Wendepunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor: die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f´´(x) und f´´´(x)) die zweite Ableitung = Null setzen mit f´´(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnen mit f´´´(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR_WP ist.Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt. ...
  23. Graph komplexe e-Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Graph komplexe e-Funktionenschar
    Graph komplexe e-Funktionenschar
    ... Null. Es gab keine Nullstellen und keine Wendepunkte. Der Tiefpunkt lag bei (0/8) Wir zeichnen jetzt die Graphen für t=-3,-2,-1,1,2 und 3 Neben dem Extrempunkt ist es dann noch sinnvoll 2 Stützpunkte z.B f(0,5) und f(1) zu berechnen. Graph Funktionenschar einer e-Funktion
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Funktionsklassen
    Funktionsklassen
    ... Vorgehensweise zum Berechnen von Extrempunkten, Wendepunkten und Nullstellen ist für alle Funktionen gleich.
  2. gebrochenrationale Funktionen
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen
    ... das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden. Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen Da hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass nicht durch Null dividiert werden darf. Daraus ergibt sich die Besonderheit der gebrochenrationalen Funktionen. Gibt es eine Zahl, die den Nenner zu Null werden lässt, so heißt diese Zahl z.B. x=3 Definitionslücke bzw. Polstelle bzw. ...
  3. Wachstums- und Zerfallsprozesse
    Wachstums- und Zerfallsprozesse
    ... y-Wert Nullstellen berechnen Extrempunkte und Wendepunkte berechnen Schnittpunkte berechnen Steigungen berechnen Graph zeichnen Zusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor. Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden. Gleichungen für Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen herleiten.
  4. Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur > Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    Die Anzahl an Wendepunkten einer Funktion zu bestimmen ist eine Aufgabenstellung, die im Mathe-Abitur immer wieder gestellt wird. Nähern wir uns der Berechnung anhand einer echten Abituraufgabe aus den Vorjahren. Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort. Es kann keine Funktion 4. Grades mit drei Wendepunkten geben. Wendepunkte werden über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet. Eine Funktion 4. Grades ...
Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)      $ 0=2x+5  \vert -5$$ 2x=-5   \vert:2 $$ x=-2,5 $      Ein zweites Anwendungsgebiet ist das Berechnen von Schnittpunkten. Dort werden zwei Gleichungen gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Insbesonders bei Aufgaben in einem Sachzusammenhang ist das häufig verlangt. $-3x+4=2x-6  \vert-4$$-3x=2x-6-4   \vert-2x$$-3x-2x=-6-4$$-5x=-10        \vert:-5$$x=2$     Die hier vorgestellten Beispiele sind einfache ...
Vorkenntnisse zur Analysis
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