Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Besonderheiten von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
    ... (y-Achsenabschnitt, Nullstellen)Extrempunkte, WendepunkteGlobalverhalten, Monotonie, WertebereichJe nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert.Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann.Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
  2. Wendepunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Wendepunkte kubische Schar
    WendepunkteBerechnung der Wendepunkte der Beispielfunktion f(x)=-2tx³+3t²xa) x-Werte berechnenBedingung: f´´(x)=0f(x)=-2tx³+3t²xf´(x)=-6tx²+3t²f´´(x)=-12tx0=-12tx   /  : -12t (nur möglich wenn t nicht 0)x=0xW1=0Es gibt also immer einen Wendepunkt wenn t $\neq0$.Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$b) y-Werte berechnenEinsetzen der Extremstellen in die AusgangsfunktionyW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0Ergebnis: ...
  3. x-Wert berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    ... der Extrempunkte (f´(x)=0) oder der Wendepunkte (f´´(x)=0) sind typische Aufgaben in diesem Bereich. Hier wird die Funktion oder die Ableitungen mit 0 gleichgesetzt.Auch in Abituraufgaben muss oft der x-Wert berechnet werden. Da x oft die Zeit ist müssen oft Zeitpunkte an denen etwas geschieht ausgerechnet werden. Ein Beispiel wird in dem folgenden Videos anhand einer Abituraufgabe vorgerechnet.Das Video wird geladen...
  4. Wendepunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Wendepunkte der e-Schar
    Um die Wendepunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f´´(x) und f´´´(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f´´(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f´´´(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR_WP ist.Dazu ...
  5. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Beispiele von e-Funktionen
    ... Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber ...
  6. Graph komplexe e-Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Graph komplexe e-Funktionenschar
    Graph Funktionenschar einer e-Funktion
    ... kleiner Null.Es gab keine Nullstellen und keine Wendepunkte. Der Tiefpunkt lag bei (0/8)Wir zeichnen jetzt die Graphen für t=-3,-2,-1,1,2 und 3Neben dem Extrempunkt ist es dann noch sinnvoll 2 Stützpunkte z.B f(0,5) und f(1) zu berechnen.Graph Funktionenschar einer e-Funktion
  7. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Wendepunktea) x-Werte berechnenBedingung: f´´(x)=0f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$               Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregelf´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} ...
  8. Wendepunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch
    Wendepunkte mit minimaler und maximaler Steigung
     Wendepunkte haben folgende Eigenschaften:Steigung extremal, d.h maximal oder minimalAbleitung ist extremalKrümmung ändert sichentweder Linkskrümmung in Rechtskrümmung (L-R-WP)oder- Rechtskrümmung in Linkskrümmung (R-L-WP)Wendepunkte mit minimaler und maximaler SteigungDie obere Grafik zeigt Beispiel fürWendepunkte mit maximaler Steigung (oben) undWendepunkte mit minimaler Steigung (darunter).
  9. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... entstehen, wenn die Extrempunkte oder die Wendepunkte einer Kurvenschar verbunden werden.Prinzipiell gibt es vier verschiedene Fälle bei einer Kurvenschar:Die Kurvenschar hat keine Ortslinie (verändere a im Applet, wenn b=0).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form x=c, d.h. eine Parallele zur y-Achse (verändere c im Applet).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie (verändere ...
  10. Klassifizierung von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen
    ... Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ist.Nicht alle Kurvenscharen müssen klassifiziert werden. Kurvenscharen müssen immer klassifiziert werden, wenn der Parameter im Nenner steht oder unter der Wurzel.Nullstelle ...
  11. Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    Praxisbeispiel Ableitung 1
    ... Steigungen, Steigungswinkel, Extrempunkte oder Wendepunkte von Funktionen bzw. Graphen zu berechnen.Wo begnet uns die Ableitung im Alltag?In vielen Diagrammen hat die Ableitung die Bedeutung einer Geschwindigkeit oder Zuwachs- bzw. Abnahmerate.Hier ein kleines Beispiel.Beispiel für die Verwendung der AbleitungIm ersten Diagramm ist das Gewicht eines Babies für jeden Tag ab seiner Geburt eingetragen. Die Steigung dieser Kurve gibt an, wie sich die Gewichtszunahme pro Tag entwickelt hat.Es ...
  12. Graph kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
    Graph kubische Funktionenschar
    ... werden.Berechnung Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunktet=1t=-1y-Achsenabschnitty0=0y0=0Nullstellenx01=0x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22x01=0ExtrempunkteHP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 )TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 )Wendepunkte( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt   ( 0 / 0 ) Rechts-Links-WendepunktSind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte ...
  13. Vergleich der Wendepunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Alle Rechts-Links-Wendepunkte, zu denen auch die R-L-Sattelpunkte gehören, finden Sie in Graphenabschnitten, welche zuerst rechtsgekrümmt und dann linksgekrümmt sind.Bei jeder Rechtskrümmung fällt der Graph der ersten Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) kleiner wird. Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) größer wird. Dazwischen liegt dann immer ein Minimum.Je nachdem wie die Steigung am ...
  14. Globalverhalten
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Globalverhalten
    nach unten geffnete Parabel
    ... können beliebig viele Maxima, Minima und Wendepunkte liegen.Welchen Verlauf eine ganzrationale Funktion hat, darüber entscheidet alleine der höchste Exponent und das Vorzeichen.Beispiele ganzrationaler Funktionennach oben geöffnete Parabel$\ f(x) = x^8-x^7+x^5 $gerader Exponentpositives Vorzeichennach unten geöffnete Parabel$\ f(x)=-x^6-x^5+x^3$gerader Exponentnegatives Vorzeichensteigende kubische Funktion$\ f(x)=x^9-x^8+x^5$ungerader Exponentpositives Vorzeichennegative ...
  15. Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Es gibt zwei verschiedene Arten von Links-Rechts-Wendepunkten.L-R-Wendepunkte mit positiver Steigung undR-L-Wendepunkte mit negativer Steigung.In beiden Fällen ergibt sich ein Maximum beim Ableiten, einmal im positiven und einmal im negativen Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du wieder sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver ...
  16. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... -> TiefpunktErgebnis: TP (-2/-4)WendepunkteBedingung: f``(x)=0                 f``(x)=2 $\neq$ 0 -> es gibt keine WendepunkteGlobalverhaltenDa die Funktion positiv ist und der höchste Exponent gerade gilt:wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $\infty$wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$WertebereichDa er höchste Exponent der Funktion gerade ist, und die Funktion positiv wird der ...
  17. Bedingungen für Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Zu den Wendepunkten gehörender Rechts-Links-Wendepunkt undder Links-Rechts-Wendepunkt bzw. Sattelpunkt.Die Berechnung der Wendepunkte erfolgt über zwei Bedingungen:1. notwendige Bedingung f´´(x) = 02. hinreichende Bedingung f´´´(x) > 0 (RL-WP) oder f´´´(x) < 0 (LR-WP)Diese Bedingungen können aus den folgenden Bildern abgeleitet werden:Rechts-Links-WendepunkteFür Rechts-Links-Wendepunkte gilt folgendes:Rechts-Links-Wendepunkt ...
  18. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    Um die Wendepunkte zu berechnen, muss man folgende Schritte ausführen:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f''(x) und f'''(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f''(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f'''(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR-WP ist.Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist f'''(xW) < 0 ist der Wendepunkt ein LR-WP.Ist f'''(xW) > ...
  19. Die graphische Ableitung
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung
    Punkte mit waagerechter Tangente
    Um Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte zu berechnen wird die Ableitung benötigt,  die nach verschiedenen Regeln berechnet wird.Aber warum benötigt man dazu die Ableitung?Woher kommen die Bedingungen zur Berechnung von Hochpunkten, Tiefpunkten und Wendepunkten?Dieses Verständnis kann sich dir nur erschließen, wenn du die Bedeutung der Ableitung 100% verstanden hast und graphisch ableiten kannst.Auf den folgenden Seiten erhälst du daher eine Schritt für Schritt ...
  20. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Ermittlung des Ableitungsgraphen
    ... Sie dann senkrechte Linien nach unten.Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragenAlle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT´s) wieMaximum undSattelpunktenden auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und der Wendepunkte einPunkte mit waagerechter Tangente und WendepunkteMinimum: Nullstelle mit VZW -+ (ansteigend) Punkte waagerechter TangenteMaximum          ...
  21. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... Es gibt keine Extrempunkte.WendepunkteBedingung: f``(x)=0                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden.Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte.GlobalverhaltenDa die Funktion fallend ist gilt:wenn x-> $\infty$, dann f(x) ...
  22. Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte
    Links-Rechts-Wendepunkt
    Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert bzw. wendet. Am Wendepunkt selbst gibt es keine Krümmung. Anschaulich stellt man sich am besten eine Strasse von oben vor, auf welcher man Fahrrad fährt. Z.B. erst eine Links- und dann eine Rechtskurve. An dem Punkt, an dem man den Lenker gerade hält, ist der Wendepunkt.Im folgenden Video wird das Krümmungsverhalten an den Wendepunkten erläutert.Das Video wird geladen...Am Wendepunkt ist die Steigung ...
  23. Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Es gibt zwei verschiedene Arten von Rechts-Links-Wendepunkten.R-L-Wendepunkte mit negativer Steigung undR-L-Wendepunkte mit positiver Steigung.In beiden Fällen ergibt sich ein Minimum beim Ableiten, einmal im negativen und einmal im positiven Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.WP = WendepunktRechts-Links-Wendepunkt mit negativer ...
  • 100 Texte mit 81 Bildern
  • 175 Übungsaufgaben
  • und 29 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur > Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    Die Anzahl an Wendepunkten einer Funktion zu bestimmen ist eine Aufgabenstellung, die im Mathe-Abitur immer wieder gestellt wird. Nähern wir uns der Berechnung anhand einer echten Abituraufgabe aus den Vorjahren.Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt?Begründen Sie Ihre Antwort.Es kann keine Funktion 4. Grades mit drei Wendepunkten geben. Wendepunkte werden über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet.Eine Funktion 4. Grades ...
  2. gebrochenrationale Funktionen
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen
    ... das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden.Besonderheiten bei gebrochenrationalen FunktionenDa hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass nicht durch Null dividiert werden darf. Daraus ergibt sich die Besonderheit der gebrochenrationalen Funktionen. Gibt es eine Zahl, die den Nenner zu Null werden lässt, so heißt diese Zahl z.B. x=3 Definitionslücke bzw. Polstelle ...
  3. Funktionsklassen
    Funktionsklassen
    ... Vorgehensweise zum Berechnen von Extrempunkten, Wendepunkten und Nullstellen ist für alle Funktionen gleich.
  4. Wachstums- und Zerfallsprozesse
    Wachstums- und Zerfallsprozesse
    ... y-WertNullstellen berechnenExtrempunkte und Wendepunkte berechnenSchnittpunkte berechnenSteigungen berechnenGraph zeichnenZusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor.Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden.Gleichungen für Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen herleiten.
  • 42 Texte mit 12 Bildern
  • 56 Übungsaufgaben
  • und 13 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)    $ 0=2x+5  \vert -5$$ 2x=-5   \vert:2 $$ x=-2,5 $    Ein zweites Anwendungsgebiet ist das Berechnen von Schnittpunkten. Dort werden zwei Gleichungen gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Insbesonders bei Aufgaben in einem Sachzusammenhang ist das häufig verlangt.$-3x+4=2x-6  \vert-4$$-3x=2x-6-4   \vert-2x$$-3x-2x=-6-4$$-5x=-10        \vert:-5$$x=2$   Die ...
  • 17 Texte mit 6 Bildern
  • 17 Übungsaufgaben
  • und 9 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG