Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Bedingungen für Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Zu den Wendepunkten gehörender Rechts-Links-Wendepunkt undder Links-Rechts-Wendepunkt bzw. Sattelpunkt.Die Berechnung der Wendepunkte erfolgt über zwei Bedingungen:1. notwendige Bedingung f´´(x) = 02. hinreichende Bedingung f´´´(x) > 0 (RL-WP) oder f´´´(x) < 0 (LR-WP)Diese Bedingungen können aus den folgenden Bildern abgeleitet werden:Rechts-Links-WendepunkteFür Rechts-Links-Wendepunkte gilt folgendes:Rechts-Links-Wendepunkt ...
  2. Vergleich der Wendepunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Alle Rechts-Links-Wendepunkte, zu denen auch die R-L-Sattelpunkte gehören, finden Sie in Graphenabschnitten, welche zuerst rechtsgekrümmt und dann linksgekrümmt sind.Bei jeder Rechtskrümmung fällt der Graph der ersten Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) kleiner wird. Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) größer wird. Dazwischen liegt dann immer ein Minimum.Je nachdem wie die Steigung am ...
  3. Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte
    Rechts-Links-Sattelpunkt
    Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert bzw. wendet. Am Wendepunkt selbst gibt es keine Krümmung. Anschaulich stellt man sich am besten eine Strasse von oben vor, auf welcher man Fahrrad fährt. Z.B. erst eine Links- und dann eine Rechtskurve. An dem Punkt, an dem man den Lenker gerade hält, ist der Wendepunkt.Im folgenden Video wird das Krümmungsverhalten an den Wendepunkten erläutert.Das Video wird geladen...(wendepunkte-kruemmungsverhalten)Am ...
  4. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragen
    ... Sie dann senkrechte Linien nach unten.Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragenAlle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT´s) wieMaximum undSattelpunktenden auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und der Wendepunkte einPunkte mit waagerechter Tangente und WendepunkteMinimum: Nullstelle mit VZW -+ (ansteigend) Punkte waagerechter TangenteMaximum          ...
  5. Wendepunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Wendepunkte kubische Schar
    WendepunkteBerechnung der Wendepunkte der Beispielfunktion f(x)=-2tx³+3t²xa) x-Werte berechnenBedingung: f´´(x)=0f(x)=-2tx³+3t²xf´(x)=-6tx²+3t²f´´(x)=-12tx0=-12tx   /  : -12t (nur möglich wenn t nicht 0)x=0xW1=0Es gibt also immer einen Wendepunkt wenn t $\neq0$.Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$b) y-Werte berechnenEinsetzen der Extremstellen in die AusgangsfunktionyW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0Ergebnis: ...
  6. Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Es gibt zwei verschiedene Arten von Rechts-Links-Wendepunkten.R-L-Wendepunkte mit negativer Steigung undR-L-Wendepunkte mit positiver Steigung.In beiden Fällen ergibt sich ein Minimum beim Ableiten, einmal im negativen und einmal im positiven Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.WP = WendepunktRechts-Links-Wendepunkt mit negativer ...
  7. Wendepunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Wendepunkte der e-Schar
    Um die Wendepunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f´´(x) und f´´´(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f´´(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f´´´(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR_WP ist.Dazu ...
  8. Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung
    Es gibt zwei verschiedene Arten von Links-Rechts-Wendepunkten.L-R-Wendepunkte mit positiver Steigung undR-L-Wendepunkte mit negativer Steigung.In beiden Fällen ergibt sich ein Maximum beim Ableiten, einmal im positiven und einmal im negativen Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du wieder sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver ...
  9. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    Um die Wendepunkte zu berechnen, muss man folgende Schritte ausführen:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f''(x) und f'''(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f''(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f'''(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR-WP ist.Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist f'''(xW) < 0 ist der Wendepunkt ein LR-WP.Ist f'''(xW) > ...
  10. Die graphische Ableitung
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung
    Wendepunkte mit minimaler und maximaler Steigung
    Um Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte zu berechnen wird die Ableitung benötigt,  die nach verschiedenen Regeln berechnet wird.Aber warum benötigt man dazu die Ableitung?Woher kommen die Bedingungen zur Berechnung von Hochpunkten, Tiefpunkten und Wendepunkten?Dieses Verständnis kann sich dir nur erschließen, wenn du die Bedeutung der Ableitung 100% verstanden hast und graphisch ableiten kannst.Auf den folgenden Seiten erhälst du daher eine Schritt für Schritt ...
  11. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Wendepunktea) x-Werte berechnenBedingung: f´´(x)=0f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$               Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregelf´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} ...
  12. Wendepunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch
    Wendepunkte mit minimaler und maximaler Steigung
     Wendepunkte haben folgende Eigenschaften:Steigung extremal, d.h maximal oder minimalAbleitung ist extremalKrümmung ändert sichentweder Linkskrümmung in Rechtskrümmung (L-R-WP)oder- Rechtskrümmung in Linkskrümmung (R-L-WP)Wendepunkte mit minimaler und maximaler SteigungDie obere Grafik zeigt Beispiel fürWendepunkte mit maximaler Steigung (oben) undWendepunkte mit minimaler Steigung (darunter).
  13. graphisches Integrieren
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > graphisches Integrieren
    Das graphische Integrieren ist die Umkehrung vom graphischen Differenzieren, d.h. die Ableitungsfunktion f´(x) (hier die Ausgangsfunktion f(x))  ist als Graph gegeben und du musst den Ausgangsgraphen f(x) (hier die Stammfunktion F(x)) zeichnen.Beim graphischen Ableiten gibt es die folgenden Zusammenhänge:in f(x)in f´(x)Maximum+ - NullstelleMinimum- + NullstelleL-R-Sattelpunkt - - Nullstelle (Maximum)R-L-Sattelpunkt+ + Nullstelle (Minimum)L-R-WendepunktMaximumR-L-WendepunktMinimumBeim ...
  14. Funktionsuntersuchung im Abitur
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung im Abitur
    Im Abitur ist es selten so, dass alle Punkte in der angegebenen Reihenfolge abgearbeitet werden. Es ist aber wichtig alle zu können, da alles einzeln dran kommen kann.Eine Original-Abituraufgabe sah z.B so aus:Die nachträgliche Auswertung der Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch die Funktion h mit der Gleichung h(t)=-0,5t³+2t²+t beschreiben lässt.t :    ...
  15. Graph kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
    Graph kubische Funktionenschar
    ... werden.Berechnung Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunktet=1t=-1y-Achsenabschnitty0=0y0=0Nullstellenx01=0x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22x01=0ExtrempunkteHP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 )TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 )Wendepunkte( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt   ( 0 / 0 ) Rechts-Links-WendepunktSind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte ...
  16. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... -> TiefpunktErgebnis: TP (-2/-4)WendepunkteBedingung: f``(x)=0                 f``(x)=2 $\neq$ 0 -> es gibt keine WendepunkteGlobalverhaltenDa die Funktion positiv ist und der höchste Exponent gerade gilt:wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $\infty$wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$WertebereichDa er höchste Exponent der Funktion gerade ist, und die Funktion positiv wird der ...
  17. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... Es gibt keine Extrempunkte.WendepunkteBedingung: f``(x)=0                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden.Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte.GlobalverhaltenDa die Funktion fallend ist gilt:wenn x-> $\infty$, dann f(x) ...
  18. Besonderheiten von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
    ... (y-Achsenabschnitt, Nullstellen)Extrempunkte, WendepunkteGlobalverhalten, Monotonie, WertebereichJe nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert.Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann.Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
  19. Klassifizierung von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen
    ... Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ist.Nicht alle Kurvenscharen müssen klassifiziert werden. Kurvenscharen müssen immer klassifiziert werden, wenn der Parameter im Nenner steht oder unter der Wurzel.Nullstelle ...
  20. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Beispiele von e-Funktionen
    ... Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber ...
  21. kubische Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar
    Zur Erinnerung unsere Beispielfunktion: f(x)=-2tx³+3t²xAuch hier ist es sinnvoll sich die Funktion erst anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion ungefähr aussieht. Mache dir auch eine Skizze von der Funktion.Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=-2tx³+3t²x sagen:Die Funktion ist eine kubische Funktion, die bei t>0 von links oben nach rechts unten durch das Koordinatensystem ...
  22. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... entstehen, wenn die Extrempunkte oder die Wendepunkte einer Kurvenschar verbunden werden.Prinzipiell gibt es vier verschiedene Fälle bei einer Kurvenschar:Die Kurvenschar hat keine Ortslinie (verändere a im Applet, wenn b=0).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form x=c, d.h. eine Parallele zur y-Achse (verändere c im Applet).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie (verändere ...
  23. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    bersicht ber die Funktionsuntersuchung
    Hier ist zu sehen, was alles zu einer Funktionsuntersuchung dazugehört. Alle Punkte werden nacheinander behandelt.Im diesem ersten Teil werdender Definitionsbereich, die Symmetrie, die Schnittpunkte mit den Achsen sowie die Extrem- und Wendepunkt behandelt.Übersicht über die FunktionsuntersuchungUm diese Punkte bearbeiten zu können ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen gekonnt werden. Das Berechnen von Nullstellen ...
  24. Graph komplexe e-Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Graph komplexe e-Funktionenschar
    Graph Funktionenschar einer e-Funktion
    ... kleiner Null.Es gab keine Nullstellen und keine Wendepunkte. Der Tiefpunkt lag bei (0/8)Wir zeichnen jetzt die Graphen für t=-3,-2,-1,1,2 und 3Neben dem Extrempunkt ist es dann noch sinnvoll 2 Stützpunkte z.B f(0,5) und f(1) zu berechnen.Graph Funktionenschar einer e-Funktion
  25. Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    Praxisbeispiel Ableitung 1
    ... Steigungen, Steigungswinkel, Extrempunkte oder Wendepunkte von Funktionen bzw. Graphen zu berechnen.Wo begnet uns die Ableitung im Alltag?In vielen Diagrammen hat die Ableitung die Bedeutung einer Geschwindigkeit oder Zuwachs- bzw. Abnahmerate.Hier ein kleines Beispiel.Beispiel für die Verwendung der AbleitungIm ersten Diagramm ist das Gewicht eines Babies für jeden Tag ab seiner Geburt eingetragen. Die Steigung dieser Kurve gibt an, wie sich die Gewichtszunahme pro Tag entwickelt hat.Es ...
  26. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    ... der Extrempunkte (f´(x)=0) oder der Wendepunkte (f´´(x)=0) sind typische Aufgaben in diesem Bereich. Hier wird die Funktion oder die Ableitungen mit 0 gleichgesetzt.Auch in Abituraufgaben muss oft der x-Wert berechnet werden. Da x oft die Zeit ist müssen oft Zeitpunkte an denen etwas geschieht ausgerechnet werden. Ein Beispiel wird in dem folgenden Videos anhand einer Abituraufgabe vorgerechnet.Das Video wird geladen...(abituraufgabe-newtonsches-abkuehlungsgesetz-8-...
  27. Globalverhalten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Globalverhalten
    Maximum bei f(x)=-x2
    ... können beliebig viele Maxima, Minima und Wendepunkte liegen.Welchen Verlauf eine ganzrationale Funktion hat, darüber entscheidet alleine der höchste Exponent und das Vorzeichen.Beispiele ganzrationaler Funktionennach oben geöffnete Parabel$\ f(x) = x^8-x^7+x^5 $gerader Exponentpositives Vorzeichennach unten geöffnete Parabel$\ f(x)=-x^6-x^5+x^3$gerader Exponentnegatives Vorzeichensteigende kubische Funktion$\ f(x)=x^9-x^8+x^5$ungerader Exponentpositives Vorzeichennegative ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur > Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    Die Anzahl an Wendepunkten einer Funktion zu bestimmen ist eine Aufgabenstellung, die im Mathe-Abitur immer wieder gestellt wird. Nähern wir uns der Berechnung anhand einer echten Abituraufgabe aus den Vorjahren.Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt?Begründen Sie Ihre Antwort.Es kann keine Funktion 4. Grades mit drei Wendepunkten geben. Wendepunkte werden über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet.Eine Funktion 4. Grades ...
  2. Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
    Bedingungen in einer Steckbriefaufgabe können z.B. sein:Die Funktion soll einen Hochpunkt bei (2/-1) und eine Nullstelle bei x=0 haben.Die Funktion soll einen Wendepunkt bei (0/2) haben und am Punkt (3/5) die Steigung -2.Die Funktion soll an der Stelle x=3 die Steigung -1 haben und die Nullstelle bei x=3 hat.Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.Anhand der Anzahl der aus den Aufgabenstellungen aufgestellten Bedingungen ergibt sich der ...
  3. gebrochenrationale Funktionen
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen
    ... das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden.Besonderheiten bei gebrochenrationalen FunktionenDa hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass nicht durch Null dividiert werden darf. Daraus ergibt sich die Besonderheit der gebrochenrationalen Funktionen. Gibt es eine Zahl, die den Nenner zu Null werden lässt, so heißt diese Zahl z.B. x=3 Definitionslücke bzw. Polstelle ...
  4. 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
    AufgabenstellungErmitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei  (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.Aufstellen der Bedingungeneinen Wendepunkt bei  (2/4) -> f(2)=4 und f´´(2)=0an der Stelle 1 eine Steigung von 11 -> f´(1)=11Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. AbleitungHier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.$f(x)=ax^4+bx^2+c$$f´(x)=4ax^3+2bx$$f´´(x)=12ax^2+2b$Aufstellen ...
  5. Funktionsklassen
    Funktionsklassen
    ... Vorgehensweise zum Berechnen von Extrempunkten, Wendepunkten und Nullstellen ist für alle Funktionen gleich.
  6. Bestimmen von Funktionsgleichungen
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen
    Ein nicht zuvernachlässigendes Thema ist das Bestimmen von Funktionsgleichungen unter gegebenen Bedingungen.Wir können dabei drei Themenbereiche unterscheiden:Interpolation / RegressionEs sind mehrere Punkte eines Graphen gegeben und es soll eine Ausgleichsfunktion/Regressionsfunktion/Interpolationsfunktion gefunden werden.TrassierungEs sind zwei Teilfunktionen gegeben und es soll eine Verbindungsfunktion bestimmt werden.SteckbriefaufgabenEs werden bestimmte Bedingungen an die Funktion ...
  7. Wachstums- und Zerfallsprozesse
    Wachstums- und Zerfallsprozesse
    ... y-WertNullstellen berechnenExtrempunkte und Wendepunkte berechnenSchnittpunkte berechnenSteigungen berechnenGraph zeichnenZusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor.Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden.Gleichungen für Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen herleiten.
Weiterfhrende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Organische Chemie

  1. Säure-Base-Titration der Aminosäuren
    Naturstoffchemie > Eiweiße > Aminosäuren = Grundbaustein der Proteine > Säure-Base-Titration der Aminosäuren
    glycin titration.png
    Aminosäuren weisen bei einer Titration zwei pKS-Werte ($\rightarrow$Sattelpunkte) und einen isoelektrischen Punkt ($\rightarrow$ Wendepunkt) auf, bei einer Titration eines Salzsäure-Aminosäure-Gemisches mit Natronlauge ist dies sehr gut zu veranschaulichen.Hier der Titrationsgraph für Glycin:Titrationsgraph von GlycinZu Beginn der Titration sind vorwiegend Kationen(+) vorhanden, durch Zugabe von NaOH werden aber zunehmend Zwitterionen gebildet, bis diese am ersten Wendepunkt, ...
Organische Chemie
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Nationalsozialismus und Zweiter Weltkrieg

  1. Weltkrieg
    Krieg und Völkermord > Weltkrieg
    Nach der Kriegserklärung Deutschlands an die USA am 11. Dezember 1941 erklärte auch Italien den USA den Krieg. Deutschland, Italien und Japan beschlossen eine gemeinsame Kriegsführung. Demnach verpflichteten sich die Länder, nicht einzeln mit den USA oder Großbritannien Friedensverträge zu schließen.Die Anti-Hitler-KoalitionAuf der anderen Seite beschlossen die Sowjetunion und Großbritannien am 12. Juli 1941 ein Abkommen über gegenseitige Hilfeleistungen. ...
Nationalsozialismus und Zweiter Weltkrieg
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)    $ 0=2x+5  \vert -5$$ 2x=-5   \vert:2 $$ x=-2,5 $    Ein zweites Anwendungsgebiet ist das Berechnen von Schnittpunkten. Dort werden zwei Gleichungen gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Insbesonders bei Aufgaben in einem Sachzusammenhang ist das häufig verlangt.$-3x+4=2x-6  \vert-4$$-3x=2x-6-4   \vert-2x$$-3x-2x=-6-4$$-5x=-10        \vert:-5$$x=2$   Die ...
Vorkenntnisse zur Analysis
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Physikalische Chemie

  1. Potentiometrie
    Kinetik: rund um die Reaktionsgeschwindigkeit > Anwendungsbeispiele > Potentiometrie
    Aufbau einer Messanordnung in der Potentiometrie
     Aufbau eines Potentiometers zur Messung der elektromotorischen Kraft als elektrische Differenz zwischen den Elektroden Die Potentiometrie ist ein Verfahren der Elektroanalyse, bei dem durch Potentialmessung an einer Elektrolytlösung Rückschlüsse über deren Zusammensetzung gezogen werden. Die potentiometrische Titration ist eigentlich ein Verfahren zur Maßanalyse, bei dem der Endpunkt der Titration potentiometrisch angezeigt wird. Dazu wird die Potentialdifferenz ...
Physikalische Chemie
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Anorganische Chemie

  1. Säure-Base-Titration
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Säure-Base-Chemie > Säure-Base-Titration
    image
    Die Säure-Base-Titration ist ein quantitatives analytisches Verfahren und beruht auf der Neutralisationsreaktion. Saure Lösungen mit unbekannter Konzentration können mit Basen/Laugen bekannter Konzentration titriert werden (Alkalimetrie). Über den Verbrauch der Lauge mit bekannter Konzentration kann dann die Konzentration der sauren Lösung berechnet werden. Ebenfalls können basische Lösungen unbekannter Konzentration mit Säuren bekannter Konzentration titriert ...
Anorganische Chemie
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Webinare

  1. Analysis: Beschränktes Wachstum
    ...te berechnet? - Wie lassen sich Graphen zeichnen? - Wie bestimmen Sie Änderungsraten? - Wie werden Funktionen zu beschränktem Wachstum bestimmt? All diese wichtige Themen aus der Analysis werden in 90 Minuten leicht verständlich für Sie wiederholt und an einer Abituraufgabe angewandt....