Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. y-Achsenabschnitt
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > y-Achsenabschnitt
    Y-Achsen-Abschnitt
    Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet. Alle Werte, die auf der y-Achse liegen, habe den x-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der y-Achse hat die Koordinaten (0/y0).Jede ganzrationale Funktion hat einen y-Achsenabschnitt y0. Dieser liegt beim Punkt (0/y0).Y-AchsenabschnittDer y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in der Funktion x Null gesetzt wird, d.h. es wird f(0) berechnet.Bei ganzrationalen Funktionen ist der y-Achsenabschnitt die Konstante am Ende der Funktion.f(x)=-x³+2x-1f(0)=-0³+2$\cdot$0-1=-1f(x)=4x²+2xf(0)=4$\cdot$0²+2$\cdot$0=0Ist ...
  2. Graph
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
    Mastab 1
    ... es am sinnvollsten sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben.Ist die Achseneinteilung geschehen, werden zuerst alle Punkte, die vorher berechnet wurden (y- Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen) eingezeichnet. Dann gibt es nur eine Möglichkeit die Punkte zu verbinden. Wer auch an den Rändern ...
  3. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Y-Achsen-Abschnitt
    ... mit den Achsen handelt es sich einmal um den Y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle
  4. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... ist, muss es ein Minimum sein.)Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.(Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0)Wird die Funktion durch ausklammern umgeformt können auch die Nullstellen x=0 und x=-4 abgelesen werden.(Begründung: ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner beiden Faktoren Null ist. Das Produkt ist Null wenn x=0 oder wenn (x+4) gleich Null. x+4 ist Null wenn x=-4 ist.)Die Funktion hat keinen Wendepunkt, da es eine Parabel ist.Skizze Beispiel 1Wenn du einen ...
  5. Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=$-3\cdot 0³\cdot e^{-2\cdot 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$  Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.  $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt ...
  6. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    ... achsensymmetrisch.Schnittpunkte mit den Achseny-Achsenabschnitt (y-Wert bei x=0)$f_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$Nullstellen (x-Wert bei y=0)Die Gleichung $f_t(x)=0=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ muss nach x aufgelöst werden.Da aber $e^{tx}$ und $e^{-tx}$ beide immer größer als Null sind, kann die Gleichung niemals Null werden, d.h es gibt keine Nullstellen.
  7. Besonderheiten von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
    ... beinflusst werden.Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achsenabschnitt, Nullstellen)Extrempunkte, WendepunkteGlobalverhalten, Monotonie, WertebereichJe nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert.Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann.Bitte ...
  8. Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=-2t$\cdot 0³+3t² \cdot 0$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=-2tx³+3t²x,                  Bei dieser Form der kubischen Gleichung muss                  ...
  9. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Beispiele von e-Funktionen
    ... gekonnt werden:DefinitionsbereichSymmetriey-AchsenabschnittNullstelleExtrempunkteWendepunkteGlobalverhaltenWertebereichMonotonieGraphDie Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) ...
  10. kubische Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar
    ... Alle Exponenten sind ungerade, x3 und x1)Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.(Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0)Extrempunkte können auftreten (2 oder keiner).(Begründung: Jede kubische Funktion hat 2 oder keine Extrempunkte)Die Funktion muss einen Wendepunkt haben.(Begründung: Jede kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt.)Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.Damit du schon mal einen Eindruck ...
  11. Graph kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
    Graph kubische Funktionenschar
    ... Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunktet=1t=-1y-Achsenabschnitty0=0y0=0Nullstellenx01=0x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22x01=0ExtrempunkteHP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 )TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 )Wendepunkte( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt   ( 0 / 0 ) Rechts-Links-WendepunktSind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte berechnet ...
  12. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... Die Funktion ist nicht symmetrisch.y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=$2\cdot e^{-3\cdot 0+1}-0,5$=2$\cdot e^{1}-0,5$=4,94Ergebniss: y0=4,94NullstellenBedingung: f(x)=0$0=2\cdot e^{-3x+1}-0,5$  |+0,5              $0,5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2             $0,25=e^{-3x+1}$ ...
  13. Extrempunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Extrempunkte kubische Schar
    ExtrempunkteBerechnung der Extrempunkte der Beispielfunktion ft(x)=-2tx³+3t²xa) x-Werte berechnenBedingung: f´(x)=0                 f´(x)=-6tx²+3t²                 0=-6tx²+3t², nach x² umstellen                 0=-6tx²+3t²       ...
  14. Asymptoten
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten bei e-Funktionen
    Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen haben e-Funktionen meistens eine Asymptote.Eine Asymptote ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an.Asymptoten bei e-FunktionenBestimmung von AsymptotenAsymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich.Bei ...
  15. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    Ortslinien von Kurvenscharen entstehen, wenn die Extrempunkte oder die Wendepunkte einer Kurvenschar verbunden werden.Prinzipiell gibt es vier verschiedene Fälle bei einer Kurvenschar:Die Kurvenschar hat keine Ortslinie (verändere a im Applet, wenn b=0).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form x=c, d.h. eine Parallele zur y-Achse (verändere c im Applet).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
  • 99 Texte mit 116 Bildern
  • 174 Übungsaufgaben
  • und 29 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... $y=m \cdot x + c$ mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt c bezeichnet war, ist das im $\mathbb{R}^3$ nicht mehr so eindeutig. Hier kann ein und dieselbe Gerade durch (unendlich) viele unterschiedliche Gleichungen beschrieben werden.Warum ist das so?Schauen wir uns an, wie wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt.Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder ...
Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
  • 69 Texte mit 44 Bildern
  • 196 Übungsaufgaben
  • und 23 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Elektromagnetismus

  1. Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Schwingungen > Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    Eine Bewegung und somit eine Schwingung kann auf eine Kraft $F$ zurückgeführt werden. Dabei gilt natürlich das Newtonsche Axiom$F=m\cdot a$.$m$ bezeichnet dabei die Masse und $a$ ist die Beschleunigung des Körpers. Die Beschleunigung $a$ ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$, und die Geschwindigkeit $v$ ist ja die zeitliche Ableitung des Ortes bzw. in diesem Fall der Elongation $y$. Also folgt, dass die Beschleunigung des Körpers die zweifache zeitliche Ableitung ...
Elektromagnetismus
  • 32 Texte mit 46 Bildern
  • 80 Übungsaufgaben
  • und 6 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Ladungen und Felder

  1. Homogenes Feld
    Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Homogenes Feld
    Kommen wir nun zu dem homogenen elektrischen Feld, welches eine noch einfachere Konfiguration als das radialsymmetrische Feld besitzt.Es wird sich zeigen, dass das homogene elektrische Feld in allen Punkten des Raumes eine konstante Richtung und einen konstanten Betrag besitzt. Es ist somit das einfachste denkbare elektrische Feld. Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich das homogene elektrische Feld im Experiment realisieren?Betrachten wir dazu zwei hinreichend große entgegengesetzt ...
Ladungen und Felder
  • 17 Texte mit 26 Bildern
  • 6 Übungsaufgaben
  • und 14 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Logarithmusfunktionen
    Funktionsklassen > Logarithmusfunktionen
    Logarithmus
    Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Umkehrfunktionen erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$.Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestelltentsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis ...
Weiterfhrende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
  • 43 Texte mit 28 Bildern
  • 56 Übungsaufgaben
  • und 13 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG