Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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y-Achsenabschnitt
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > y-Achsenabschnitt
Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet. Alle Werte, die auf der y-Achse liegen, habe den x-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der y-Achse hat die Koordinaten (0/y0).Jede ganzrationale Funktion hat einen y-Achsenabschnitt y0. Dieser liegt beim Punkt (0/y0).Y-AchsenabschnittDer y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in der Funktion x Null gesetzt wird, d.h. es wird f(0) berechnet.Bei ganzrationalen Funktionen ist der y-Achsenabschnitt die Konstante am Ende der Funktion.f(x)=-x³+2x-1f(0)=-0³+2$\cdot$0-1=-1f(x)=4x²+2xf(0)=4$\cdot$0²+2$\cdot$0=0Ist ... -
Graph
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
... es am sinnvollsten sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben.Ist die Achseneinteilung geschehen, werden zuerst alle Punkte, die vorher berechnet wurden (y- Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen) eingezeichnet. Dann gibt es nur eine Möglichkeit die Punkte zu verbinden. Wer auch an den Rändern ... -
Schnittpunkte mit den Achsen
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
... mit den Achsen handelt es sich einmal um den Y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle -
Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
... ist, muss es ein Minimum sein.)Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.(Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0)Wird die Funktion durch ausklammern umgeformt können auch die Nullstellen x=0 und x=-4 abgelesen werden.(Begründung: ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner beiden Faktoren Null ist. Das Produkt ist Null wenn x=0 oder wenn (x+4) gleich Null. x+4 ist Null wenn x=-4 ist.)Die Funktion hat keinen Wendepunkt, da es eine Parabel ist.Skizze Beispiel 1Wenn du einen ... -
Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=$-3\cdot 0³\cdot e^{-2\cdot 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt ...Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
... achsensymmetrisch.Schnittpunkte mit den Achseny-Achsenabschnitt (y-Wert bei x=0)$f_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$Nullstellen (x-Wert bei y=0)Die Gleichung $f_t(x)=0=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ muss nach x aufgelöst werden.Da aber $e^{tx}$ und $e^{-tx}$ beide immer größer als Null sind, kann die Gleichung niemals Null werden, d.h es gibt keine Nullstellen.Besonderheiten von Kurvenscharen
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
... beinflusst werden.Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achsenabschnitt, Nullstellen)Extrempunkte, WendepunkteGlobalverhalten, Monotonie, WertebereichJe nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert.Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann.Bitte ...Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=-2t$\cdot 0³+3t² \cdot 0$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0 0=-2tx³+3t²x, Bei dieser Form der kubischen Gleichung muss ...Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
... gekonnt werden:DefinitionsbereichSymmetriey-AchsenabschnittNullstelleExtrempunkteWendepunkteGlobalverhaltenWertebereichMonotonieGraphDie Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) ...kubische Funktionenschar
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar
... Alle Exponenten sind ungerade, x3 und x1)Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.(Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0)Extrempunkte können auftreten (2 oder keiner).(Begründung: Jede kubische Funktion hat 2 oder keine Extrempunkte)Die Funktion muss einen Wendepunkt haben.(Begründung: Jede kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt.)Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.Damit du schon mal einen Eindruck ...Graph kubische Schar
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
... Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunktet=1t=-1y-Achsenabschnitty0=0y0=0Nullstellenx01=0x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22x01=0ExtrempunkteHP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 )TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 )Wendepunkte( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt ( 0 / 0 ) Rechts-Links-WendepunktSind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte berechnet ...Einfache e-Funktion
Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
... Die Funktion ist nicht symmetrisch.y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=$2\cdot e^{-3\cdot 0+1}-0,5$=2$\cdot e^{1}-0,5$=4,94Ergebniss: y0=4,94NullstellenBedingung: f(x)=0$0=2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ |+0,5 $0,5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2 $0,25=e^{-3x+1}$ ...Extrempunkte kubische Schar
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Extrempunkte kubische Schar
ExtrempunkteBerechnung der Extrempunkte der Beispielfunktion ft(x)=-2tx³+3t²xa) x-Werte berechnenBedingung: f´(x)=0 f´(x)=-6tx²+3t² 0=-6tx²+3t², nach x² umstellen 0=-6tx²+3t² ...Asymptoten
Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen haben e-Funktionen meistens eine Asymptote.Eine Asymptote ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an.Asymptoten bei e-FunktionenBestimmung von AsymptotenAsymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich.Bei ...Ortslinien von Kurvenscharen
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
Ortslinien von Kurvenscharen entstehen, wenn die Extrempunkte oder die Wendepunkte einer Kurvenschar verbunden werden.Prinzipiell gibt es vier verschiedene Fälle bei einer Kurvenschar:Die Kurvenschar hat keine Ortslinie (verändere a im Applet, wenn b=0).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form x=c, d.h. eine Parallele zur y-Achse (verändere c im Applet).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie ...
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Eine Gerade - viele Gleichungen?
Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
... $y=m \cdot x + c$ mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt c bezeichnet war, ist das im $\mathbb{R}^3$ nicht mehr so eindeutig. Hier kann ein und dieselbe Gerade durch (unendlich) viele unterschiedliche Gleichungen beschrieben werden.Warum ist das so?Schauen wir uns an, wie wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt.Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder ...
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Elektromagnetismus
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Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Schwingungen > Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
Eine Bewegung und somit eine Schwingung kann auf eine Kraft $F$ zurückgeführt werden. Dabei gilt natürlich das Newtonsche Axiom$F=m\cdot a$.$m$ bezeichnet dabei die Masse und $a$ ist die Beschleunigung des Körpers. Die Beschleunigung $a$ ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$, und die Geschwindigkeit $v$ ist ja die zeitliche Ableitung des Ortes bzw. in diesem Fall der Elongation $y$. Also folgt, dass die Beschleunigung des Körpers die zweifache zeitliche Ableitung ...
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Ladungen und Felder
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Homogenes Feld
Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Homogenes Feld
Kommen wir nun zu dem homogenen elektrischen Feld, welches eine noch einfachere Konfiguration als das radialsymmetrische Feld besitzt.Es wird sich zeigen, dass das homogene elektrische Feld in allen Punkten des Raumes eine konstante Richtung und einen konstanten Betrag besitzt. Es ist somit das einfachste denkbare elektrische Feld. Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich das homogene elektrische Feld im Experiment realisieren?Betrachten wir dazu zwei hinreichend große entgegengesetzt ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Logarithmusfunktionen
Funktionsklassen > Logarithmusfunktionen
Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Umkehrfunktionen erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$.Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestelltentsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis ...
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Themen unserer Kurse
- Umweltfaktor, Unterteilung, Umweltfaktoren
- Vektor, Vektoren, Vorgehensweise bei der Analyse epischer Texte
- Wendepunkte, Wahrscheinlichkeit, Worauf muss ich bei einer Analyse achten? Sprachanalyse Basiswissen
- x-Wert berechnen, x-Achse, x-Wert berechnen
- y-Achsenabschnitt, y-Wert, y-Achsenabschnitt berechnen - Schritte einfach erklärt
- Zerteilungsgrad, Zweitsubstitution, Zeitungsartikel analysieren - quality and popular press
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