Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Schnittpunkte mit den Achsen
    ... mit den Achsen handelt es sich einmal um den Y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse). Schnittpunkt mit der Y-Achse Y-Achsenabschnitt Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) Nullstelle
  2. y-Achsenabschnitt
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > y-Achsenabschnitt
    y-Achsenabschnitt
    Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet. Alle Werte, die auf der y-Achse liegen, habe den x-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der y-Achse hat die Koordinaten (0/y0). Jede ganzrationale Funktion hat einen y-Achsenabschnitt y0. Dieser liegt beim Punkt (0/y0). Y-Achsenabschnitt Der y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in der Funktion x Null gesetzt wird, d.h. es wird f(0) berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen ist der y-Achsenabschnitt die Konstante am Ende ...
  3. Graph
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
    Graph
    ... es am sinnvollsten sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben. Ist die Achseneinteilung geschehen, werden zuerst alle Punkte, die vorher berechnet wurden (y- Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen) eingezeichnet. Dann gibt es nur eine Möglichkeit die Punkte zu verbinden. Wer auch an den Rändern genau ...
  4. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    ... geöffnet ist, muss es ein Minimum sein.) Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.(Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0) Wird die Funktion durch ausklammern umgeformt können auch die Nullstellen x=0 und x=-4 abgelesen werden.(Begründung: ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner beiden Faktoren Null ist. Das Produkt ist Null wenn x=0 oder wenn (x+4) gleich Null. x+4 ist Null wenn x=-4 ist.) Die Funktion hat keinen Wendepunkt, da es eine Parabel ist. Skizze Beispiel 1 Wenn du einen ...
  5. Besonderheiten von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
    ... werden. Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achsenabschnitt, Nullstellen) Extrempunkte, Wendepunkte Globalverhalten, Monotonie, Wertebereich Je nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert. Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann. Bitte ...
  6. kubische Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar
    ... Alle Exponenten sind ungerade, x3 und x1) Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.(Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0) Extrempunkte können auftreten (2 oder keiner).(Begründung: Jede kubische Funktion hat 2 oder keine Extrempunkte) Die Funktion muss einen Wendepunkt haben.(Begründung: Jede kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt.) Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen. Damit du schon mal einen Eindruck von der ...
  7. Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    y-Achsenabschnitt Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt. f(0)=-2t$\cdot 0³+3t² \cdot 0$=0 Ergebniss: y0=0 Nullstellen Bedingung: f(x)=0                 0=-2tx³+3t²x,                  Bei dieser Form der kubischen Gleichung muss                  x ausgeklammert werden und die einzelnen Faktoren Null gesetzt werden.                 0=x(-2tx²+3t²)                ...
  8. Graph kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
    Graph kubische Schar
    ... und Wendepunkte t=1 t=-1 y-Achsenabschnitt y0=0 y0=0 Nullstellen x01=0 x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22 x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22 x01=0 Extrempunkte HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 ) TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 ) Wendepunkte ( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt    ( 0 / 0 ) Rechts-Links-Wendepunkt Sind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch ...
  9. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    ... werden: Definitionsbereich Symmetrie y-Achsenabschnitt Nullstelle Extrempunkte Wendepunkte Globalverhalten Wertebereich Monotonie Graph Die Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen. Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze ...
  10. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Einfache e-Funktion
    ... Die Funktion ist nicht symmetrisch. y-Achsenabschnitt Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt. f(0)=$2\cdot e^{-3\cdot 0+1}-0,5$=2$\cdot e^{1}-0,5$=4,94 Ergebniss: y0=4,94 Nullstellen Bedingung: f(x)=0 $0=2\cdot e^{-3x+1}-0,5$  |+0,5               $0,5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2              $0,25=e^{-3x+1}$ | die ganze Gleichung logaritmieren z.B. mit ln         $\ln (0,25)=\ln (e^{-3x+1})$ $\ln ...
  11. Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    y-Achsenabschnitt Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt. f(0)=$-3\cdot 0³\cdot e^{-2\cdot 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0 Ergebniss: y0=0 Nullstellen Bedingung: f(x)=0                 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$   Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.   $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt sich aus diesem Faktor keine Nullstelle. -3x³=0, wenn x=0 ist. Da x als ...
  12. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    ... Schnittpunkte mit den Achsen y-Achsenabschnitt (y-Wert bei x=0) $f_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$ Nullstellen (x-Wert bei y=0) Die Gleichung $f_t(x)=0=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ muss nach x aufgelöst werden. Da aber $e^{tx}$ und $e^{-tx}$ beide immer größer als Null sind, kann die Gleichung niemals Null werden, d.h es gibt keine Nullstellen.
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... $y=m \cdot x + c$ mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt c bezeichnet war, ist das im $\mathbb{R}^3$ nicht mehr so eindeutig. Hier kann ein und dieselbe Gerade durch (unendlich) viele unterschiedliche Gleichungen beschrieben werden. Warum ist das so? Schauen wir uns an, wie wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt. Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder ...
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