Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Punkte mit waagerechter Tangente
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente
    Punkte mit waagerechter Tangente
    ... Null, ergibt sich in der Ableitung eine Nullstelle,da die Ableitung die Funktion der Tangentensteigungen ist.PWT und die AbleitungIn Abhängigkeit der Art des PWT´s (Max, Min, SP) ergebensich verschiedene Arten von Nullstellen, die auf den nächsten Seiten erläutert werden.Das folgende Lernvideo erläutert die Punkte mit waagerechter Tangente nochmals.Das Video wird geladen...(punkte-mit-waagerechter-tangente)
  2. Extrempunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Extrempunkte graphisch
    Maximum graphisch ableiten
    ... f´(x) fällt an der NS (Nullstelle)einfache NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung (Ableitung) von positiv zu negativ (VZW + -)die notwendige Bedingung für eine Extremstelle f´(x)=0hinreichende Bedingung f´´(x) < 0, da die Steigung von f´(x), also f´´(x), negativ ist.Maximum graphisch ableitenMinimum als ExtrempunktBesonderheiten am Minimum in f(x)negative Steigung vor dem Minimumpositive Steigung nach dem MinimumDaraus ergibt ...
  3. Sattelpunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Sattelpunkte
    Rechts-Links-Sattelpunkt
    ... der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstelle ein Minimumdoppelte NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung von positiv zu positiv (VZW + +)Rechts-Links-Sattelpunkt graphisch ableitenDer Links-Rechts-SattelpunktBesonderheiten am L-R-SP in f(x):negative Steigung vorm Sattelpunkt (SP)negative Steigung nach dem  SPDaraus ergibt sich:Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstell ein Maximum  doppelte NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung von negativ zu ...
  4. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragen
    ... auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und der Wendepunkte einPunkte mit waagerechter Tangente und WendepunkteMinimum: Nullstelle mit VZW -+ (ansteigend) Punkte waagerechter TangenteMaximum          -> Nullstelle mit VZW +- (abfallend)R-L-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW ++ (Minimum)L-R-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW -- (Maximum)R-L-WendepunkteR-L-Sattelpunkt ...
  5. Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
    Ableiten > Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
    Abituraufgabe zur graphischen Ableitung
    ... hat im Bereich $–3,5 \le x \le 3,5$ drei Nullstellen.(3)    $\int_{0}^{3}{ f´(x)  dx }=-1$(4)    O (0 | 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f '.Bevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (2) und (4) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten.Lösung zur Aufgabe (2) 1. TeilDas Video wird geladen ...Lösung zur Aufgabe (2) 2. TeilDas Video wird geladen ...Lösung ...
  6. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    ... ist dasselbe, also y=f(x)Die Berechnung der Nullstellen (f(x)=0), der Extrempunkte (f´(x)=0) oder der Wendepunkte (f´´(x)=0) sind typische Aufgaben in diesem Bereich. Hier wird die Funktion oder die Ableitungen mit 0 gleichgesetzt.Auch in Abituraufgaben muss oft der x-Wert berechnet werden. Da x oft die Zeit ist müssen oft Zeitpunkte an denen etwas geschieht ausgerechnet werden. Ein Beispiel wird in dem folgenden Videos anhand einer Abituraufgabe vorgerechnet.Das Video ...
  7. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    bersicht ber die Funktionsuntersuchung
    ... ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen gekonnt werden. Das Berechnen von Nullstellen gehört zum Lösen von Gleichungen und wird in einem extra Modul "Vorkenntnisse zur Analysis" behandelt.
  8. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Y-Achsen-Abschnitt
    ... (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle
  9. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstelle
    Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    ...
  10. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Kubische Funktion mit einer Nullstelle
    Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen). Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal ...
  11. Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte
    Maximum bei f(x)=-x2
    ... grundlegende rechnerischen Fähigkeiten:Nullstellen berechnen (p-q-Formel, Polynomdivision)von einer gegebenen Funktion den y-Wert mit dem x-Wert ausrechnen
  12. Berechnung der Extrempunkte
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Berechnung der Extrempunkte
    ... Gleichung auflösen: Doppelte Nullstelle bei $x_E=0$ und somit Verdacht auf Sattelpunkt$f''(0)=0$ -> kein TP oder HP, sondern SP$f(0)=1$Sattelpunkt bei SP $(0|1)$Damit haben wir alle möglichen Fälle betrachtet.
  13. Bedingungen für Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    ... ein Minimum hat, in der zweiten Ableitung eine Nullstelle und in der dritten Ableitung positiv ist.Am Rechts-Links-Wendepunkt  gilt f´´(x) = 0 und f´´´(x) > 0Links-Rechts-WendepunkteFür Links-Rechts-Wendepunkte gilt:Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver SteigungLinks-Rechts-Wendepunkt ohne Steigung (Sattelpunkt)Links-Rechts-Wendepunkt mit negativer SteigungAus den Ableitungen an den verschiedenen Links-Rechts-Wendepunkten erkennt man, dass ein LR-Wendepunkt ...
  14. Graph
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
    Mastab 1
    ... sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben.Ist die Achseneinteilung geschehen, werden zuerst alle Punkte, die vorher berechnet wurden (y- Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen) eingezeichnet. Dann gibt es nur eine Möglichkeit die Punkte zu verbinden. Wer auch an den Rändern genau zeichnen möchte, ...
  15. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... ausklammern umgeformt können auch die Nullstellen x=0 und x=-4 abgelesen werden.(Begründung: ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner beiden Faktoren Null ist. Das Produkt ist Null wenn x=0 oder wenn (x+4) gleich Null. x+4 ist Null wenn x=-4 ist.)Die Funktion hat keinen Wendepunkt, da es eine Parabel ist.Skizze Beispiel 1Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.Da wir bei dieser einfachen Funktion ...
  16. Funktionsuntersuchung im Abitur
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung im Abitur
    ... müssen also gekonnt werden:Nullstelle (Dauer der Ballonfahrt)Maximum (erreichte größte Höhe)DefinitionsbereichWendepunktGraphen skizzierenLösung der AbituraufgabeIn den vier nachfolgenden Videos werden alle 3 Teilaufgaben vorgerechnet. Bevor du die Video zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben selbst zu lösen.Nullstelle (Dauer der Ballonfahrt)Das Video wird geladen ...Maximum (erreichte größte Höhe) und DefinitionsbereichDas ...
  17. graphisches Integrieren
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > graphisches Integrieren
    ... f(x)in f´(x)Maximum+ - NullstelleMinimum- + NullstelleL-R-Sattelpunkt - - Nullstelle (Maximum)R-L-Sattelpunkt+ + Nullstelle (Minimum)L-R-WendepunktMaximumR-L-WendepunktMinimumBeim graphischen Integrieren gelten diese Zusammenhänge in umgekehrter Richtung:in f(x)in F(x)+ - NullstelleMaximum- + Nullstelle Minimum- - Nullstelle (Maximum)L-R-Sattelpunkt + + Nullstelle (Minimum)R-L-SattelpunktMaximumL-R-Wendepunkt MinimumR-L-Wendepunkt
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... Anwendungsgebiet ist dabei das Berechnen der Nullstellen, d.h. eine Gleichung wird gleich Null gesetzt und nach x umgestellt. Das ist zugleich auch fast immer der einzig Erfolg versprechende Weg, um eine Gleichung tatsächlich zu lösen.Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf:Nullstellen einer FunktionNullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte)Nullstellen der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)    $ 0=2x+5 ...
  2. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    ... einer Funktion gleichsetzen. Dies tritt auf bei:NullstellenberechnungBerechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-WertSchnittpunktberechnung von zwei FunktionenNullstellenNullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.x-WertBerechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.SchnittpunktSchnittpunktberechnung von zwei Funktionen$f(x)=-5x²   ...
  3. Quadratische Funktionen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen lösen
    Quadratische Funktion ohne Nullstelle, f(x)=x+2
    ... so aussehen:$ax²=-c$$0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung)Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht.$ax²=-c  \vert :a$$0=ax²+c    \vert  -c$$-c=ax²      \vert :a$$x²=\frac{-c}{a}$Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, gezogen.$ x²=\frac{-c}{a}    /   \surd$    ...
  4. Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    ... so aussehen:$ax²=-bx$$0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.$ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$$0=ax²+bx$Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.$0=x\cdot (ax+b)$Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält ...
  5. Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    quadratische Funktion ohne Nullstelle
    ... ax²+bx=-c$$0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen.Normalform einer quadratischen Gleichung: 0=x²+px+qNormalform ...
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