Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Punkte mit waagerechter Tangente
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente
    Punkte mit waagerechter Tangente ableiten
    ... Null, ergibt sich in der Ableitung eine Nullstelle,da die Ableitung die Funktion der Tangentensteigungen ist.PWT und die AbleitungIn Abhängigkeit der Art des PWT´s (Max, Min, SP) ergebensich verschiedene Arten von Nullstellen, die auf den nächsten Seiten erläutert werden.Das folgende Lernvideo erläutert die Punkte mit waagerechter Tangente nochmals.Das Video wird geladen...
  2. Extrempunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Extrempunkte graphisch
    Maximum graphisch ableiten
    ... f´(x) fällt an der NS (Nullstelle)einfache NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung (Ableitung) von positiv zu negativ (VZW + -)die notwendige Bedingung für eine Extremstelle f´(x)=0hinreichende Bedingung f´´(x) < 0, da die Steigung von f´(x), also f´´(x), negativ ist.Maximum graphisch ableitenMinimum als ExtrempunktBesonderheiten am Minimum in f(x)negative Steigung vor dem Minimumpositive Steigung nach dem MinimumDaraus ergibt ...
  3. Sattelpunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Sattelpunkte
    Rechts-Links-Sattelpunkt
    ... der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstelle ein Minimumdoppelte NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung von positiv zu positiv (VZW + +)Rechts-Links-Sattelpunkt graphisch ableitenDer Links-Rechts-SattelpunktBesonderheiten am L-R-SP in f(x):negative Steigung vorm Sattelpunkt (SP)negative Steigung nach dem  SPDaraus ergibt sich:Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstell ein Maximum  doppelte NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung von negativ zu ...
  4. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Ermittlung des Ableitungsgraphen
    ... auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und der Wendepunkte einPunkte mit waagerechter Tangente und WendepunkteMinimum: Nullstelle mit VZW -+ (ansteigend) Punkte waagerechter TangenteMaximum          -> Nullstelle mit VZW +- (abfallend)R-L-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW ++ (Minimum)L-R-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW -- (Maximum)R-L-WendepunkteR-L-Sattelpunkt ...
  5. Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
    Ableiten > Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
    Abituraufgabe zur graphischen Ableitung
    ... hat im Bereich $–3,5 \le x \le 3,5$ drei Nullstellen.(3)    $\int_{0}^{3}{ f´(x)  dx }=-1$(4)    O (0 | 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f '.Bevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (2) und (4) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten.Lösung zur Aufgabe (2) 1. TeilDas Video wird geladen ...Lösung zur Aufgabe (2) 2. TeilDas Video wird geladen ...Lösung ...
  6. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    ... ist dasselbe, also y=f(x)Die Berechnung der Nullstellen (f(x)=0), der Extrempunkte (f´(x)=0) oder der Wendepunkte (f´´(x)=0) sind typische Aufgaben in diesem Bereich. Hier wird die Funktion oder die Ableitungen mit 0 gleichgesetzt.Auch in Abituraufgaben muss oft der x-Wert berechnet werden. Da x oft die Zeit ist müssen oft Zeitpunkte an denen etwas geschieht ausgerechnet werden. Ein Beispiel wird in dem folgenden Videos anhand einer Abituraufgabe vorgerechnet.Das Video ...
  7. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    bersicht ber die Funktionsuntersuchung
    ... ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen gekonnt werden. Das Berechnen von Nullstellen gehört zum Lösen von Gleichungen und wird in einem extra Modul "Vorkenntnisse zur Analysis" behandelt.
  8. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Y-Achsen-Abschnitt
    ... (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle
  9. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstelle
    Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    ...
  10. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Kubische Funktion ohne Nullstelle
    Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen). Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal ...
  11. Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte
    Minimum fr die Funktion f(x)=x2
    ... grundlegende rechnerischen Fähigkeiten:Nullstellen berechnen (p-q-Formel, Polynomdivision)von einer gegebenen Funktion den y-Wert mit dem x-Wert ausrechnen
  12. Berechnung der Extrempunkte
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Berechnung der Extrempunkte
    ... Gleichung auflösen: Doppelte Nullstelle bei $x_E=0$ und somit Verdacht auf Sattelpunkt$f''(0)=0$ -> kein TP oder HP, sondern SP$f(0)=1$Sattelpunkt bei SP $(0|1)$Damit haben wir alle möglichen Fälle betrachtet.
  13. Bedingungen für Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer Steigung
    ... ein Minimum hat, in der zweiten Ableitung eine Nullstelle und in der dritten Ableitung positiv ist.Am Rechts-Links-Wendepunkt  gilt f´´(x) = 0 und f´´´(x) > 0Links-Rechts-WendepunkteFür Links-Rechts-Wendepunkte gilt:Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver SteigungLinks-Rechts-Wendepunkt ohne Steigung (Sattelpunkt)Links-Rechts-Wendepunkt mit negativer SteigungAus den Ableitungen an den verschiedenen Links-Rechts-Wendepunkten erkennt man, dass ein LR-Wendepunkt ...
  14. Graph
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
    Mastab 2
    ... sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben.Ist die Achseneinteilung geschehen, werden zuerst alle Punkte, die vorher berechnet wurden (y- Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen) eingezeichnet. Dann gibt es nur eine Möglichkeit die Punkte zu verbinden. Wer auch an den Rändern genau zeichnen möchte, ...
  15. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... ausklammern umgeformt können auch die Nullstellen x=0 und x=-4 abgelesen werden.(Begründung: ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner beiden Faktoren Null ist. Das Produkt ist Null wenn x=0 oder wenn (x+4) gleich Null. x+4 ist Null wenn x=-4 ist.)Die Funktion hat keinen Wendepunkt, da es eine Parabel ist.Skizze Beispiel 1Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.Da wir bei dieser einfachen Funktion ...
  16. Funktionsuntersuchung im Abitur
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung im Abitur
    ... müssen also gekonnt werden:Nullstelle (Dauer der Ballonfahrt)Maximum (erreichte größte Höhe)DefinitionsbereichWendepunktGraphen skizzierenLösung der AbituraufgabeIn den vier nachfolgenden Videos werden alle 3 Teilaufgaben vorgerechnet. Bevor du die Video zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben selbst zu lösen.Nullstelle (Dauer der Ballonfahrt)Das Video wird geladen ...Maximum (erreichte größte Höhe) und DefinitionsbereichDas ...
  17. graphisches Integrieren
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > graphisches Integrieren
    ... f(x)in f´(x)Maximum+ - NullstelleMinimum- + NullstelleL-R-Sattelpunkt - - Nullstelle (Maximum)R-L-Sattelpunkt+ + Nullstelle (Minimum)L-R-WendepunktMaximumR-L-WendepunktMinimumBeim graphischen Integrieren gelten diese Zusammenhänge in umgekehrter Richtung:in f(x)in F(x)+ - NullstelleMaximum- + Nullstelle Minimum- - Nullstelle (Maximum)L-R-Sattelpunkt + + Nullstelle (Minimum)R-L-SattelpunktMaximumL-R-Wendepunkt MinimumR-L-Wendepunkt
  18. Fläche im Intervall
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche im Intervall
    2. Flchen ber und unter der x-Achse
    ... deinen beiden äußeren Grenzen Nullstellen liegen, d.h. ob du nur Flächen über oder unter der x-Achse hast oder ob du Flächen über und unter der x-Achse hast.Bestimmtes Integral über der x-AchseBestimmtes Integral über und unter der x-AchseGibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.Fläche nur über der x-Achse1. Flächen nur über der x-Achsef(x)=x²+1A=$\int_{-2}^{2}(x²+1)dx ...
  19. Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Flche unter einer Kurve
    ... Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt.Bei Flächen unter der x-Achse musst du den Betrag der Fläche berechnen.Fläche unter einer Kurve1. Fläche unter einer Kurve - negative Flächef(x)=x²-1Hier müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.0=x²-1 -> x01=-1, ...
  20. Fläche zwischen zwei Graphen
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen zwei Graphen
    Flche zwischen zwei Graphen
    ... f(x)=-x³+4x²-4xJetzt erst wieder die Nullstellen berechnen:0=-x³+4x²-4x=$-x\cdot(x²-4x+4)$x01=0, 0=x²-4x+4  -> x02=2A=|$\int_{0}^{2}(-x³+4x²-4x)dx$|A$=|[\frac{-x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}+\frac{-4x^2}{2}]^{2}_{0}$|A$=|[-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-2x^2]^{2}_{0}$|A$=|-\frac{2^4}{4}+\frac{4\cdot 2^3}{3}-2\cdot 2^2-0$|A$=|-\frac{16}{4}+\frac{4\cdot 8}{3}-2\cdot 4$|A$=|-4+\frac{32}{3}-8|=|-12+\frac{32}{3}|=|-\frac{36}{3}+\frac{32}{3}|\\=|-\frac{4}{3}|=|-1,33|=\frac{4}{3}=1,33$Wenn ...
  21. Die Integralrechung im Abitur
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Die Integralrechung im Abitur
    Abituraufgabe zur graphischen Ableitung
    ... hat im Bereich $–3,5 \le x \le 3,5$ drei Nullstellen.$\int_{0}^{3}{ f´(x) dx }=-1$ O (0 | 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f '.Die Teilaufgaben 1 und 3 haben direkt mit der Integralrechnung zu tun, diese wollen wir hier deshalb auch näher behandeln.Lösungen der original AbituraufgabeBevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (1) und (3) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Integrieren.Lösung ...
  22. Besonderheiten von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
    ... mit den Achsen (y-Achsenabschnitt, Nullstellen)Extrempunkte, WendepunkteGlobalverhalten, Monotonie, WertebereichJe nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert.Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann.Bitte Box anklicken, ...
  23. Klassifizierung von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen
    ... bedeutet, dass bei einem bestimmten t eine Nullstelle auftritt, bei einem anderen t keine und bei einem noch anderen t zwei Nullstellen existieren. Eine Kurvenschar kann nach ihren Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ...
  24. Kurvenschar Bruch
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Bruch
    Nullstelle der Funktion berechnenf(x) = 2(k²-4)$\cdot$x-1,50 = 2(k²-4)$\cdot$x-1,5x0 = $\frac{0,75}{(k²-4)}$Um Brüche zu klassifizieren wird die Nullstelle des Nenners ausgerechnet.0 = k²-4  / +4k² = 4     /$\sqrt{ }$k = $\pm\sqrt{4}=\pm{2}$Das bedeutet, dass bei k = $\pm{2}$ der Nenner Null wird und damit bei k = $\pm{2}$ keine Nullstelle existiert.Die Klassifizierung sähe dann folgendermaßen aus:für k = $\pm{2}$ gibt es keine ...
  25. Kurvenschar Wurzel 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Wurzel 1
    ... Umformen zur Normalform (:-2)0=x²+2tx+4Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=2t   q=4         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{2t}{2} \pm \sqrt {(\frac{2t}{2})^2-4)}$$x_{1,2}$=-t $\pm \sqrt {t²-4}$Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.Anhand dieser Nullstellen wird die Kurvenschar nun in Abhängigkeit von t klassifiziert. Bei jeder Wurzel gibt es drei Lösungsmöglichkeiten in Abhängigkeit ...
  26. Kurvenschar Wurzel 2
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Wurzel 2
    Funktion der Diskriminante
    Klassifizierung der Nullstellen der Funktion f(x)=x²+tx+t=0Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=t   q=t         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{t}{2} \pm \sqrt {(\frac{t}{2})^2-t)}$$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.Auch bei diesen Nullstellen ist wieder eine Wurzel vorhanden, so dass du die Nullstellen nach ihrer Anzahl klassifizieren musst. Wie bei jeder Wurzel ...
  27. kubische Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar
    ... auch herauskommen.Ähnlich ist es bei den Nullstellen. Auch da gibt es Unterschiede bei t0. Bei t0 drei Nullstellen.Bei der Berechnung müssen also die Nullstellen und die Extremstellen in Abhängigkeit von t klassifiziert werden.
  28. Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    ... 0³+3t² \cdot 0$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=-2tx³+3t²x,                  Bei dieser Form der kubischen Gleichung muss                  x ausgeklammert werden und die einzelnen Faktoren Null gesetzt ...
  29. Graph kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
    Graph kubische Funktionenschar
    ... für t in die jeweiligen Terme für die Nullstellen und die Extremstellen eingesetzt werden.Berechnung Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunktet=1t=-1y-Achsenabschnitty0=0y0=0Nullstellenx01=0x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22x01=0ExtrempunkteHP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 )TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 )Wendepunkte( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt   ( 0 / 0 ) Rechts-Links-WendepunktSind die ...
  30. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Beispiele von e-Funktionen
    ... Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist ...
  31. Ableitung der e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Ableitung der e-Funktion
    ... können, damit das Bestimmen der Nullstellen nachher einfacher wird.f´(x) = $e^{-5x} \cdot (8x -20x²)$In dem nachfolgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe das Ableiten einer e-Funktion erklärt.Das Video wird geladen ...
  32. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Graph einfache e-Funktion
    ... e^{1}-0,5$=4,94Ergebniss: y0=4,94NullstellenBedingung: f(x)=0$0=2\cdot e^{-3x+1}-0,5$  |+0,5              $0,5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2             $0,25=e^{-3x+1}$ | die ganze Gleichung logaritmieren z.B. mit ln        $\ln (0,25)=\ln (e^{-3x+1})$$\ln (0,25)=-3x+1$   |-1    $\ln (0,25) ...
  33. Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    ... 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$  Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.  $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt sich aus diesem Faktor keine Nullstelle.-3x³=0, wenn x=0 ist. Da x als x³ auftritt ist x=0 eine dreifache Nullstelle.               ...
  34. Extrempunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Extrempunkte komplexe e-Funktion
    ... müssen wir nur die Nullstellen von $(-9x²+12x^4$) berechnen.                 $0=-9x²+12x^4$      / 3x² ausklammern                 0=$3x² \cdot (-3+4x²)$                  xE1=0                ...
  35. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    ... niemals 0 werden kann, müssen wir nur die Nullstellen von $(-48x^5+84x^3-18x)$ berechnen.0=$(-48x^5+84x^3-18x)$   / x ausklammern0=$x \cdot (-48x^4+84x^2-18)$xW1=00=$(-48x^4+84x^2-18)$Das ist eine biquadratische Funktion, d.h. hier musst du x² mit z substituieren, d.h. x² als z ersetzen.0=-48z²+84z-18Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung. Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss die Gleichung in Normalform gebracht werden.0=-48z²+84z-18     ...
  36. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    ... 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$Nullstellen (x-Wert bei y=0)Die Gleichung $f_t(x)=0=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ muss nach x aufgelöst werden.Da aber $e^{tx}$ und $e^{-tx}$ beide immer größer als Null sind, kann die Gleichung niemals Null werden, d.h es gibt keine Nullstellen.
  37. Extrempunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Extrempunkte der e-Schar
    Berechnung des Extrempunktes mit dem Casio Classpad
    ... $tx=-tx$ -> keine LösungEs gibt eine Nullstelle bei $x_E=0$$f´´_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}-e^{-t \cdot 0})+4t^2\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4 \cdot(1-1)+4t^2(1+1)=8t^2$f´´(xE) < 0, da 8t² immer positiv ist -> der Extrempunkt ist ein Tiefpunkt (TP). $f(0)=y_E=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=8$  y-Wert des ExtrempunktesTiefpunkt (0/ 8)Berechnung des Extrempunktes mit dem Casio Classpad
  38. Graph komplexe e-Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Graph komplexe e-Funktionenschar
    Graph Funktionenschar einer e-Funktion
    ... Kurvenschar gab es keine Klassifizierungen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendestellen in Abhängigkeit von t. Man nimmt dann verschiedene Werte größer und kleiner Null.Es gab keine Nullstellen und keine Wendepunkte. Der Tiefpunkt lag bei (0/8)Wir zeichnen jetzt die Graphen für t=-3,-2,-1,1,2 und 3Neben dem Extrempunkt ist es dann noch sinnvoll 2 Stützpunkte z.B f(0,5) und f(1) zu berechnen.Graph Funktionenschar einer e-Funktion
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
  • 99 Texte mit 116 Bildern
  • 174 Übungsaufgaben
  • und 29 Videos



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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Funktionsklassen
    Funktionsklassen
    ... Berechnen von Extrempunkten, Wendepunkten und Nullstellen ist für alle Funktionen gleich.
  2. Logarithmusfunktionen
    Funktionsklassen > Logarithmusfunktionen
    Logarithmus
    ... Punkt und zwar $(1; 0)$. Dies ist die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktionen.LogarithmusgesetzeVon besonderer Bedeutung sind die Logarithmusgesetze. Sie entstehen ebenfalls als Konsequenz aus den Potenzgesetzen.Wenn b,n, u und v positive reelle Zahlen sind und  $b \neq 1$ dann gelten folgende Gesetze:$\log_b (u v) = \log_b (u) + \log_b (v)$$\log_b (\frac{u}{v})= \log_b (u) - \log_b (v)$$\log_b (u^a) = a \log_b (u)$$\log_b (\sqrt[n]{u})= \frac{1}{n} \log_b (u) $Ist zusätzlich $u ...
  3. gebrochenrationale Funktionen
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen
    ... genutzt wird, so z.B. das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden.Besonderheiten bei gebrochenrationalen FunktionenDa hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass nicht durch Null dividiert werden darf. Daraus ergibt sich die Besonderheit der gebrochenrationalen Funktionen. Gibt es eine Zahl, die den Nenner zu Null werden lässt, so heißt diese Zahl z.B. x=3 Definitionslücke ...
  4. senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen > senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
    senkrechte Asmyptote
    ... gibt auch Funktionen bei denen der Nenner keine Nullstelle hat z.B. $f(x)= \frac{x^2-1}{x^2+2}$ oder bei denen eine hebbare Definitionslücke existiert, d.h. der Zähler und der Nenner haben eine gleiche Nullstelle, so dass dieser Linearfaktor gestrichen werden kann z.B. $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)\cdot(x-1)}{x+1}=x-1$.Wenn der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare Definitionslücke existiert, sind die Nullstellen des Nenners die ...
  5. Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
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    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
    ... soll einen Hochpunkt bei (2/-1) und eine Nullstelle bei x=0 haben.Die Funktion soll einen Wendepunkt bei (0/2) haben und am Punkt (3/5) die Steigung -2.Die Funktion soll an der Stelle x=3 die Steigung -1 haben und die Nullstelle bei x=3 hat.Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.Anhand der Anzahl der aus den Aufgabenstellungen aufgestellten Bedingungen ergibt sich der Grad der Funktion, wenn die Funktionsgleichung nicht gegeben ist.Der ...
Weiterfhrende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... Anwendungsgebiet ist dabei das Berechnen der Nullstellen, d.h. eine Gleichung wird gleich Null gesetzt und nach x umgestellt. Das ist zugleich auch fast immer der einzig Erfolg versprechende Weg, um eine Gleichung tatsächlich zu lösen.Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf:Nullstellen einer FunktionNullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte)Nullstellen der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)    $ 0=2x+5 ...
  2. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    ... einer Funktion gleichsetzen. Dies tritt auf bei:NullstellenberechnungBerechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-WertSchnittpunktberechnung von zwei FunktionenNullstellenNullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.x-WertBerechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.SchnittpunktSchnittpunktberechnung von zwei Funktionen$f(x)=-5x²   ...
  3. Quadratische Funktionen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen lösen
    Quadratische Funktion ohne Nullstelle, f(x)=x
    ... so aussehen:$ax²=-c$$0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung)Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht.$ax²=-c  \vert :a$$0=ax²+c    \vert  -c$$-c=ax²      \vert :a$$x²=\frac{-c}{a}$Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, gezogen.$ x²=\frac{-c}{a}    /   \surd$    ...
  4. Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
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    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    ... so aussehen:$ax²=-bx$$0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.$ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$$0=ax²+bx$Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.$0=x\cdot (ax+b)$Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält ...
  5. Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    quadratische Funktion mit zwei Nullstellen
    ... ax²+bx=-c$$0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen.Normalform einer quadratischen Gleichung: 0=x²+px+qNormalform ...
Vorkenntnisse zur Analysis
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Elektromagnetismus

  1. Schwingungen
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Schwingungen
    Federpendel-harmonische Schwingung
    ... 11\omega-\frac{\pi}{2}=n\pi$ (allg. Nullstellen der Sinusfunktion)Nach 11 s hat man $n=3$ zu setzen (ergibt sich aus der Anzahl ganzer Schwingungen bis zum Erreichen der 11. Sekunde). Also$11\omega-\frac{\pi}{2}=3\pi$,woraus bei Berücksichtigung der Einheiten folgt$\Rightarrow \omega=\frac{7\pi}{22}s^{-1}\approx 1s^{-1}$.
  2. Feldverteilungen am Dipol
    Elektromagnetische Wellen > Hertzscher Dipol > Feldverteilungen am Dipol
    Strom- Spannungsverteilung im Dipol
    ... Strom stets Null ist. Für $x=0$ ist die Nullstelle bereits in der Formel inbegriffen.Für $x=l$ erhält man:$I(x=l)=I_{max}\sin{(k\cdot l)}=0 \quad \Rightarrow \quad k\cdot l=n\pi$Also ist $k=\frac{n\pi}{l}$ und damit lauten die Verteilungen$I(x)=I_{max}\sin{(\frac{n\pi}{l}x)}$$U(x)=U_{max}\cos{(\frac{n\pi}{l}x)}$Für $n=1$ ergeben sich die Verteilungen der Grundschwingung und für $n\geq 2$ diejenigen der Oberschwingungen.
Elektromagnetismus
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