Nullstelle

Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen). Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal ...

Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    ...

... f(x)in f´(x)Maximum+ - NullstelleMinimum- + NullstelleL-R-Sattelpunkt - - Nullstelle (Maximum)R-L-Sattelpunkt+ + Nullstelle (Minimum)L-R-WendepunktMaximumR-L-WendepunktMinimumBeim graphischen Integrieren gelten diese Zusammenhänge in umgekehrter Richtung:in f(x)in F(x)+ - NullstelleMaximum- + Nullstelle Minimum- - Nullstelle (Maximum)L-R-Sattelpunkt + + Nullstelle (Minimum)R-L-SattelpunktMaximumL-R-Wendepunkt MinimumR-L-Wendepunkt

... bedeutet, dass bei einem bestimmten t eine Nullstelle auftritt, bei einem anderen t keine und bei einem noch anderen t zwei Nullstellen existieren. Eine Kurvenschar kann nach ihren Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ...

... auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und der Wendepunkte einPunkte mit waagerechter Tangente und WendepunkteMinimum: Nullstelle mit VZW -+ (ansteigend) Punkte waagerechter TangenteMaximum          -> Nullstelle mit VZW +- (abfallend)R-L-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW ++ (Minimum)L-R-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW -- (Maximum)R-L-WendepunkteR-L-Sattelpunkt ...

Klassifizierung der Nullstellen der Funktion f(x)=x²+tx+t=0Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=t   q=t         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{t}{2} \pm \sqrt {(\frac{t}{2})^2-t)}$$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.Auch bei diesen Nullstellen ist wieder eine Wurzel vorhanden, so dass du die Nullstellen nach ihrer Anzahl klassifizieren musst. Wie bei jeder Wurzel ...

Nullstelle der Funktion berechnenf(x) = 2(k²-4)$\cdot$x-1,50 = 2(k²-4)$\cdot$x-1,5x0 = $\frac{0,75}{(k²-4)}$Um Brüche zu klassifizieren wird die Nullstelle des Nenners ausgerechnet.0 = k²-4  / +4k² = 4     /$\sqrt{ }$k = $\pm\sqrt{4}=\pm{2}$Das bedeutet, dass bei k = $\pm{2}$ der Nenner Null wird und damit bei k = $\pm{2}$ keine Nullstelle existiert.Die Klassifizierung sähe dann folgendermaßen aus:für k = $\pm{2}$ gibt es keine ...

... Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt.Bei Flächen unter der x-Achse musst du den Betrag der Fläche berechnen.Fläche unter einer Kurve1. Fläche unter einer Kurve - negative Flächef(x)=x²-1Hier müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.0=x²-1 -> x01=-1, ...

... Umformen zur Normalform (:-2)0=x²+2tx+4Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=2t   q=4         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{2t}{2} \pm \sqrt {(\frac{2t}{2})^2-4)}$$x_{1,2}$=-t $\pm \sqrt {t²-4}$Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.Anhand dieser Nullstellen wird die Kurvenschar nun in Abhängigkeit von t klassifiziert. Bei jeder Wurzel gibt es drei Lösungsmöglichkeiten in Abhängigkeit ...

... 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$  Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.  $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt sich aus diesem Faktor keine Nullstelle.-3x³=0, wenn x=0 ist. Da x als x³ auftritt ist x=0 eine dreifache Nullstelle.               ...

... f´(x) fällt an der NS (Nullstelle)einfache NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung (Ableitung) von positiv zu negativ (VZW + -)die notwendige Bedingung für eine Extremstelle f´(x)=0hinreichende Bedingung f´´(x) < 0, da die Steigung von f´(x), also f´´(x), negativ ist.Maximum graphisch ableitenMinimum als ExtrempunktBesonderheiten am Minimum in f(x)negative Steigung vor dem Minimumpositive Steigung nach dem MinimumDaraus ergibt ...

... der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstelle ein Minimumdoppelte NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung von positiv zu positiv (VZW + +)Rechts-Links-Sattelpunkt graphisch ableitenDer Links-Rechts-SattelpunktBesonderheiten am L-R-SP in f(x):negative Steigung vorm Sattelpunkt (SP)negative Steigung nach dem  SPDaraus ergibt sich:Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstell ein Maximum  doppelte NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung von negativ zu ...

... (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle

... mit den Achsen (y-Achsenabschnitt, Nullstellen)Extrempunkte, WendepunkteGlobalverhalten, Monotonie, WertebereichJe nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert.Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann.Bitte Box anklicken, ...

... hat im Bereich $–3,5 \le x \le 3,5$ drei Nullstellen.$\int_{0}^{3}{ f´(x) dx }=-1$ O (0 | 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f '.Die Teilaufgaben 1 und 3 haben direkt mit der Integralrechnung zu tun, diese wollen wir hier deshalb auch näher behandeln.Lösungen der original AbituraufgabeBevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (1) und (3) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Integrieren.Lösung ...

... sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben.Ist die Achseneinteilung geschehen, werden zuerst alle Punkte, die vorher berechnet wurden (y- Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen) eingezeichnet. Dann gibt es nur eine Möglichkeit die Punkte zu verbinden. Wer auch an den Rändern genau zeichnen möchte, ...

... auch herauskommen.Ähnlich ist es bei den Nullstellen. Auch da gibt es Unterschiede bei t0. Bei t0 drei Nullstellen.Bei der Berechnung müssen also die Nullstellen und die Extremstellen in Abhängigkeit von t klassifiziert werden.

... für t in die jeweiligen Terme für die Nullstellen und die Extremstellen eingesetzt werden.Berechnung Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunktet=1t=-1y-Achsenabschnitty0=0y0=0Nullstellenx01=0x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22x01=0ExtrempunkteHP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 )TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 )Wendepunkte( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt   ( 0 / 0 ) Rechts-Links-WendepunktSind die ...

... deinen beiden äußeren Grenzen Nullstellen liegen, d.h. ob du nur Flächen über oder unter der x-Achse hast oder ob du Flächen über und unter der x-Achse hast.Bestimmtes Integral über der x-AchseBestimmtes Integral über und unter der x-AchseGibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.Fläche nur über der x-Achse1. Flächen nur über ...

... ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen gekonnt werden. Das Berechnen von Nullstellen gehört zum Lösen von Gleichungen und wird in einem extra Modul "Vorkenntnisse zur Analysis" behandelt.

... gibt auch Funktionen bei denen der Nenner keine Nullstelle hat z.B. $f(x)= \frac{x^2-1}{x^2+2}$ oder bei denen eine hebbare Definitionslücke existiert, d.h. der Zähler und der Nenner haben eine gleiche Nullstelle, so dass dieser Linearfaktor gestrichen werden kann z.B. $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)\cdot(x-1)}{x+1}=x-1$.Wenn der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare Definitionslücke existiert, sind die Nullstellen des Nenners die ...

... genutzt wird, so z.B. das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden.Besonderheiten bei gebrochenrationalen FunktionenDa hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass nicht durch Null dividiert werden darf. Daraus ergibt sich die Besonderheit der gebrochenrationalen Funktionen. Gibt es eine Zahl, die den Nenner zu Null werden lässt, so heißt diese Zahl z.B. x=3 Definitionslücke ...

... geben. Wendepunkte werden über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet.Eine Funktion 4. Grades hat die Form: $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.Die erste Ableitung lautet: $f´(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$Die zweite Ableitung lautet: $f´´(x)=12ax^2+6bx+2c$Das heißt die zweite Ableitung ist eine Funktion 2. Grades. Eine Funktion 2. Grades kann aber maximal nur 2 Nullstellen besitzen, so dass die Funktion 4. Grades maximal nur 2 Wendepunkte besitzen kann.Allgemein gilt ...

... soll einen Hochpunkt bei (2/-1) und eine Nullstelle bei x=0 haben.Die Funktion soll einen Wendepunkt bei (0/2) haben und am Punkt (3/5) die Steigung -2.Die Funktion soll an der Stelle x=3 die Steigung -1 haben und die Nullstelle bei x=3 hat.Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.Anhand der Anzahl der aus den Aufgabenstellungen aufgestellten Bedingungen ergibt sich der Grad der Funktion, wenn die Funktionsgleichung nicht gegeben ist.Der ...

... ax²+bx=-c$$0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen.Normalform einer quadratischen Gleichung: 0=x²+px+qNormalform ...

... so aussehen:$ax²=-c$$0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung)Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht.$ax²=-c  \vert :a$$0=ax²+c    \vert  -c$$-c=ax²      \vert :a$$x²=\frac{-c}{a}$Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, gezogen.$ x²=\frac{-c}{a}    /   \surd$    ...

... Anwendungsgebiet ist dabei das Berechnen der Nullstellen, d.h. eine Gleichung wird gleich Null gesetzt und nach x umgestellt. Das ist zugleich auch fast immer der einzig Erfolg versprechende Weg, um eine Gleichung tatsächlich zu lösen.Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf:Nullstellen einer FunktionNullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte)Nullstellen der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)    $ 0=2x+5 ...

... so aussehen:$ax²=-bx$$0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.$ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$$0=ax²+bx$Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.$0=x\cdot (ax+b)$Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält ...