Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Addition von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Addition von Matrizen
    Zwei Matrizen A und B können nur miteinander addiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind, also gleich viele Zeilen und Spalten besitzen.Dabei werden einfach die entsprechenden Einträge addiert.Die Ergebnismatrix hat natürlich ebenso viele Zeilen und Spalten wie die einzelnen Summanden.Die Matrizen $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ ...
  2. Inverse Matrix
    Matrizen > Besondere Matrizen > Inverse Matrix
    Zwei Matrizen A und B sind zueinander invers, wenn das Produkt aus beiden die Einheitsmatrix ergibt. Auch hier müssen A und B quadratisch sein. Die zu A inverse Matrix wird häufig auch mit $A^{-1}$ bezeichnet.$A$ und $B$ sind invers zueinander ($B=A^{-1}$), wenn gilt: $A \cdot B = E = B \cdot A$.Die Matrizen $A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} -0,5 & -0,5 & 0,5 \\ 0,25 & -0,25 & 0,25 \\ ...
  3. Verflechtungsmatrizen
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen
    ... von Produktionsprozessen haben sich Matrizen sehr bewährt. Hier geht es meistens darum, aus einer gegebenen Anzahl an Endprodukten herauszubekommen, wie viele Rohstoffe man für diese benötigt.Gesucht ist also der Input(-vektor), der aus dem Output(-vektor) und der zugehörigen Verflechtungsmatrix durch Multiplikation berechnet werden kann.Ist R der Inputvektor, P der Outputvektor und B die Verflechtungsmatrix, gilt $R = B \cdot P$.Die größte (und eigentlich ...
  4. Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
    Diagramm
    Typische Aufgaben mit Verflechtungsmatrizen lauten z.B. wie folgt: Eine Möbelfabrik produziert verschiedene Modelle eines Regals. Für Modell X werden 6 Schubladen, 12 Einlegeböden und 2 Türen benötigt, für Modell Y 4 Schubladen, 12 Einlegeböden und 3 Türen, für Modell Z 6 Schubladen, 14 Einlegeböden und 4 Türen.a) Stellen Sie die Abhängigkeiten in einer Tabelle und einem Diagramm dar.b) Geben Sie die Verflechtungsmatrix an und berechnen ...
  5. Mehrstufige Prozesse
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Mehrstufige Prozesse
    Verflechtungsdiagramm
    ... A \cdot B \cdot \vec e$.Die Multiplikation der Matrizen A und B liefert $A \cdot B = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix}$, und somit gilt für $ \vec r$: $ \vec r = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix} \cdot \vec e$.Sollen also zum Beispiel 60 Produkte E1 und 40 Produkte E2 hergestellt werden, braucht man für die Produktion $\vec r = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} ...
  6. Rechenregeln für Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen
    ... wir uns grundlegend damit, was mit Matrizen erlaubt ist und was nicht geht. Wir machen uns Gedanken welche Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn man Matrizen miteinander addieren oder voneinander subtrahieren möchte, wie Matrizen mit einer Zahl multipliziert werden können und wie man Matrizen miteinander multiplizieren kann.Auch werden wir jeweils überlegen, ob die Rechenoperationen kommutativ sind, also ob man die Matrizen einfach vertauschen darf und dann ...
  7. Besondere Matrizen
    Matrizen > Besondere Matrizen
    Was bitte sind "besondere" Matrizen?In diesem Kapitel werden kurz ein paar Begriffe bzw. Bezeichungen eingeführt, die recht nützlich sind, wenn man mit Matrizen arbeitet.Meistens interessieren uns hierbei bestimmte "Strukturen" einer Matrix die entstehen, wenn diese Matrix einige Null-Einträge hat. Welche besonderen Auswirkungen das Rechnen mit solchen "besonderen" Matrizen hat ist hingegen nicht Thema des Kurses (und auch nicht weiter relevant fürs Abitur).Nur bei einer Sache, ...
  8. Vervielfachen von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Vervielfachen von Matrizen
    ... aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie  zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht.Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert werden. Dazu wird jedes Element $a_{ij}$ der Matrix mit der Zahl r multipliziert.Kurz geschrieben: $r \cdot A = r \cdot a_{ij}$.$3 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ...
  9. Dreiecksmatrix
    Matrizen > Besondere Matrizen > Dreiecksmatrix
    ... haben (also ist auch null erlaubt). Dreiecksmatrizen spielen eine Rolle beim Lösen Linearer Gleichungssysteme (LGS). So ist das Lösen eines Gleichungssystems nach dem Gauß’schen  Verfahren nichts anderes als das Umformen der entsprechenden Matrix in die Dreiecksform.
  10. Begriff des Vektorraums
    Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums
    ... Man kann diese ganzen Dinge aber auch z.B. mit Matrizen oder Funktionen durchführen.In einem Video wird der Begriff "Vektorraum" mit den verlangten Bedingungen noch einmal ausführlich erklärt:Das Video wird geladen...
  11. Vektorraum - Basis und Dimension
    Einleitung und Grundlagen > Vektorraum - Basis und Dimension
    ... bzw. drei Dimensionen (Raum), lediglich in der Matrizenrechnung werden wir mit mehr Dimensionen zu tun haben (erkennbar an der Anzahl der Einträge des Vektors).Die hier aufgeführten Zusammenhänge werden auch im folgenden Video noch einmal aufgezeigt:Das Video wird geladen...
  12. Matrizen
    Matrizen
    ... heißt sie quadratisch.Auch Vektoren sind Matrizen!So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.
  13. Einheitsmatrix
    Matrizen > Besondere Matrizen > Einheitsmatrix
    ... 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}$Einheitsmatrizen werden in der Folge noch für Rechnungen wichtig sein (z.B. um die Inverse Matrix zu bestimmen). Für die Multiplikation mit Einheitsmatrizen gilt: $A \cdot E = A$, genauso umgekehrt $E \cdot A = A$.
  14. Multiplikation von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Multiplikation von Matrizen
    Matrizenmultiplikation
    ... Operation ist die Multiplikation zweier Matrizen. Hierbei wird das Skalarprodukt von jeder Zeile der ersten Matrix mit jeder Spalte der zweiten Matrix gebildet. Damit die Rechnung am Ende „aufgeht“, muss die erste Matrix gleich viele Spalten haben wie die zweite Matrix an Zeilen besitzt. Die Ergebnismatrix wird dann so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix besitzen.Kurz und mathematisch: Ist $A$ eine $l \times m$ - Matrix und $B$ eine $m \times ...
  15. Beschreibung
    Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Beschreibung
    bergangsdiagramm
    ... Diese liegen häufig (wie bei Verflechtungsmatrizen auch) in Diagrammform vor. Die Einträge der Matrix stellen Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zustand zum andern dar. Wir wollen uns das an einem Beispiel klarmachen:ÜbergangsdiagrammDie Ovale A, B und C stehen für die drei Niederlassungen einer Leihwagenfirma, die Pfeile verdeutlichen, wie sich die Fahrzeuge im Laufe eines Tages verteilen. Betrachten wir den Fuhrpark von A: Wir entnehmen dem Diagramm, dass 60% der ...
  16. Lineare Gleichungssysteme
    Lineare Gleichungssysteme
    ... werden Lineare Gleichungssysteme dann zu Matrizen, mit denen wir verschiedene Prozesse beschreiben können.
  17. Darstellung in Matrizenform
    Matrizen > Darstellung in Matrizenform
    ... Möglichkeiten kennen lernen, mit Matrizen umzugehen und zu rechnen.
  18. Übergangsmatrizen
    Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen
    Bei Übergangsmatrizen (oder auch Prozessmatrizen genannt) gibt es keine Input- oder Outputvektoren. Stattdessen finden wir dort "Zustandsvektoren", die ein System zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben.Beispiele für solche Systeme finden sich viele:Schüler, die auf verschiedene Schulen gehenPopulationsentwicklungen (Altersstruktur)Verteilung von Mietwagen auf verschiedene Niederlassungen... .In den folgenden Abschnitten wollen wir uns näher mit den Übergangsmatrizen und ...
  19. Zusammenfassung Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Zusammenfassung Matrizen
    ... reichen uns diese Operationen, die wir mit Matrizen durchführen können, für alle Abitur-relevanten Aufgaben. Wir merken uns:Matrizen sind eine einfache komprimierte Schreibweise für lineare Gleichungssysteme.Durch Matrizen können vielfältige (oder besser gesagt: vieldimensionale) Zusammenhänge gut und übersichtlich strukturiert dargestellt werden.Mit Hilfe von Matrizen können wir aus diesen Zusammenhängen Zustände zu verschiedenen Zeiten ...
  20. Anwendungen von Matrizen
    Anwendungen von Matrizen
    Das Schöne an Matrizen ist, dass sie aufs Wesentliche reduziert sind. Man konzentriert sich nur auf die Einträge und ihre Positionen. Dementsprechend vielseitig sind dann auch die Einsatzmöglichkeiten von Matrizen.Beinahe alle Prozesse, bei der verschiedene Dinge jeweils miteinander in einer Beziehung stehen, lassen sich durch Matrizen abbilden. Und damit nicht genug: Durch die richtigen Rechenoperationen ist es auch möglich, die Auswirkung dieser Beziehungen zu modellieren. Wir ...
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Molekularbiologie / Genetik

  1. Einzelstränge der DNA
    DNA als Erbsubstanz > Aufbau der DNA > Einzelstränge der DNA
    Orientierung der DNA-Strnge
    ... mRNA (Vorsicht: DNA und RNA unterscheiden sich!)Matrizenstrang, codogener Strang, Minusstrang, antisense-Strang Vorlage für mRNA!Eine kleine Merkhilfe gibt die Natur selbst (und erklärt bereits einen wesentlichen Aspekt der Replikation der DNA bzw. der Transkription):Enzyme, die mit DNA arbeiten (Bsp.: DNA-Polymerase; RNA-Polymerase), gehen immer in 5’-3’-Richtung vor. Das heißt: Der Strang, der in 5’-3’-Richtung produziert wird, ist der kontinuierliche Strang ...
  2. Die Aufgaben der RNAs (mRNA, tRNA)
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vom Gen zum Protein > Translation > Die Aufgaben der RNAs (mRNA, tRNA)
    Die tRNA zeichnet sich durch eine charakteristische Kleeblattstruktur aus. Gut erkennbar sind der Anticodomarm und der Akzeptorstamm, die Funktionseinheiten zur Interaktion mit der mRNA bzw. die Anbindungsstelle fr die Aminosure.
    ... der DNA-Strang kopiert wird (Vorlage ist der Matrizenstrang, die Kopie wird komplementär erzeugt).mRNA ist immer einzelsträngig!Die Lebensdauer der verschiedenen mRNAs sind äußert unterschiedlich. Die RNase baut die mRNA wieder ab.tRNAtRNA oder transfer-RNA ist ein Träger für Aminosäuren und wird bei der Translation benötigt. Die tRNAs zeigen eine sehr charakteristische Kleeblattstruktur, welche das komplementäre Anticodon zur mRNA-Information, das ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Entwicklung der Quantentheorie
    Entwicklung der Quantentheorie
    ... die Unschärferelation stammt, mit seiner Matrizenmechanik die erste mathematische Formulierung der Quantentheorie. Ein Jahr darauf folgte ihm Erwin Schrödinger mit der sogenannten Wellenmechanik der Quantentheorie. Man konnte zeigen, dass beide Theorien der Quantenmechanik zueinander äquivalent sind.Auffällig in der Quantentheorie ist die Doppelnatur der Materie und Strahlung, die wir als Dualismus bezeichnen wollen. So werden wir zum Beispiel sehen, dass elektromagnetische ...
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