Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Begriff des Vektorraums
    Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums
    Begriff des Vektorraums
    ... Man kann diese ganzen Dinge aber auch z.B. mit Matrizen oder Funktionen durchführen. In einem Video wird der Begriff "Vektorraum" mit den verlangten Bedingungen noch einmal ausführlich erklärt: Das Video wird geladen ...
  2. Vektorraum - Basis und Dimension
    Einleitung und Grundlagen > Vektorraum - Basis und Dimension
    Vektorraum - Basis und Dimension
    ... bzw. drei Dimensionen (Raum), lediglich in der Matrizenrechnung werden wir mit mehr Dimensionen zu tun haben (erkennbar an der Anzahl der Einträge des Vektors). Die hier aufgeführten Zusammenhänge werden auch im folgenden Video noch einmal aufgezeigt: Das Video wird geladen ...
  3. Lineare Gleichungssysteme
    Lineare Gleichungssysteme
    ... werden Lineare Gleichungssysteme dann zu Matrizen, mit denen wir verschiedene Prozesse beschreiben können.
  4. Addition und Subtraktion von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Addition und Subtraktion von Vektoren
    Addition und Subtraktion von Vektoren
    Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln. Addition von Vektoren Wir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - ...
  5. Vektor zwischen zwei Punkten
    Rechnen mit Vektoren > Vektor zwischen zwei Punkten
    Vektor zwischen zwei Punkten
    Wie können wir einen Vektor angeben, der von einem Punkt zum nächsten zeigt? Das ist jetzt kein Problem mehr. Wir betrachten wieder einzeln die Koordinaten der Punkte und schauen uns deren Differenz an. Vektor zwischen zwei Punkten Von Punkt P(3|1|4) zu Punkt Q(4|4|3). In x1-Richtung: von 3 zu 4 entspricht 4-3=1 (1 nach vorne). In x2-Richtung: von 1 zu 4 entspricht 4-1=3 (3 nach rechts) und in x3-Richtung: von 4 zu 3 entspricht 3-4=-1 (1 nach unten). Mathematisch korrekt beschreiben ...
  6. Vielfache von Vektoren bilden
    Rechnen mit Vektoren > Vielfache von Vektoren bilden
    Vielfache von Vektoren bilden
    Wenn wir mit dem Vielfachen eines Vektors zu tun haben, so bedeutet das nichts anderes als eine mehrfach ausgeführte Verschiebung. $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}$ bedeutet eine Verschiebung von $3 \cdot 2$ in x1-Richtung, $3 \cdot 1$ in x2-Richtung und $3 \cdot 5$ in x3-Richtung. Es gilt also $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\3\\15\end{pmatrix}$. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn ...
  7. Aufstellen einer Geradengleichung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
    Aufstellen einer Geradengleichung
    Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und Richtungsvektor Um eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt. Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors kommen wir zu jedem ...
  8. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Lage von Geraden
    Hat man mit mehreren Geraden zu tun, so interessiert meist die gegenseitige Lage der Geraden zueinander. In der (zweidimensionalen) Ebene war dies einfach. Entweder haben sich die Geraden geschnitten oder sie waren parallel zueinander. Als Spezialfall der Parallelität konnten die Geraden auch aufeinander liegen, man sagt dann auch sie sind identisch. Als zusätzliche Möglichkeit im $\mathbb{R}^3$ können die Geraden jetzt auch „schräg aneinander vorbei“ laufen. Sie haben dann keinen Schnittpunkt ...
  9. Skalarprodukt zweier Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Skalarprodukt zweier Vektoren
    Skalarprodukt zweier Vektoren
    Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt. Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik benötigt. Mit ihr ...
  10. Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Eine Linearkombination von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen. Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor legt fest, wo die ...
  11. Matrizen
    Matrizen
    ... so heißt sie quadratisch. Auch Vektoren sind Matrizen! So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.
  12. Darstellung in Matrizenform
    Matrizen > Darstellung in Matrizenform
    ... demnächst Möglichkeiten kennen lernen, mit Matrizen umzugehen und zu rechnen.
  13. Besondere Matrizen
    Matrizen > Besondere Matrizen
    Was bitte sind "besondere" Matrizen?In diesem Kapitel werden kurz ein paar Begriffe bzw. Bezeichungen eingeführt, die recht nützlich sind, wenn man mit Matrizen arbeitet.Meistens interessieren uns hierbei bestimmte "Strukturen" einer Matrix die entstehen, wenn diese Matrix einige Null-Einträge hat. Welche besonderen Auswirkungen das Rechnen mit solchen "besonderen" Matrizen hat ist hingegen nicht Thema des Kurses (und auch nicht weiter relevant fürs Abitur). Nur bei einer Sache, den sogenannten ...
  14. Einheitsmatrix
    Matrizen > Besondere Matrizen > Einheitsmatrix
    ... 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}$ Einheitsmatrizen werden in der Folge noch für Rechnungen wichtig sein (z.B. um die Inverse Matrix zu bestimmen). Für die Multiplikation mit Einheitsmatrizen gilt: $A \cdot E = A$, genauso umgekehrt $E \cdot A = A$.
  15. Dreiecksmatrix
    Matrizen > Besondere Matrizen > Dreiecksmatrix
    ... haben (also ist auch null erlaubt). Dreiecksmatrizen spielen eine Rolle beim Lösen Linearer Gleichungssysteme (LGS). So ist das Lösen eines Gleichungssystems nach dem Gauß’schen  Verfahren nichts anderes als das Umformen der entsprechenden Matrix in die Dreiecksform.
  16. Inverse Matrix
    Matrizen > Besondere Matrizen > Inverse Matrix
    Zwei Matrizen A und B sind zueinander invers, wenn das Produkt aus beiden die Einheitsmatrix ergibt. Auch hier müssen A und B quadratisch sein. Die zu A inverse Matrix wird häufig auch mit $A^{-1}$ bezeichnet. $A$ und $B$ sind invers zueinander ($B=A^{-1}$), wenn gilt: $A \cdot B = E = B \cdot A$. Die Matrizen $A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} -0,5 & -0,5 & 0,5 \\ 0,25 & -0,25 & 0,25 \\ ...
  17. Rechenregeln für Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen
    ... wir uns grundlegend damit, was mit Matrizen erlaubt ist und was nicht geht. Wir machen uns Gedanken welche Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn man Matrizen miteinander addieren oder voneinander subtrahieren möchte, wie Matrizen mit einer Zahl multipliziert werden können und wie man Matrizen miteinander multiplizieren kann.Auch werden wir jeweils überlegen, ob die Rechenoperationen kommutativ sind, also ob man die Matrizen einfach vertauschen darf und dann dasselbe Ergebnis r...
  18. Addition von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Addition von Matrizen
    Zwei Matrizen A und B können nur miteinander addiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind, also gleich viele Zeilen und Spalten besitzen.Dabei werden einfach die entsprechenden Einträge addiert.Die Ergebnismatrix hat natürlich ebenso viele Zeilen und Spalten wie die einzelnen Summanden. Die Matrizen $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ ...
  19. Vervielfachen von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Vervielfachen von Matrizen
    ... aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie  zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht. Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert werden. Dazu wird jedes Element $a_{ij}$ der Matrix mit der Zahl r multipliziert.Kurz geschrieben: $r \cdot A = r \cdot a_{ij}$. $3 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ...
  20. Multiplikation von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Multiplikation von Matrizen
    Multiplikation von Matrizen
    ... Operation ist die Multiplikation zweier Matrizen. Hierbei wird das Skalarprodukt von jeder Zeile der ersten Matrix mit jeder Spalte der zweiten Matrix gebildet. Damit die Rechnung am Ende „aufgeht“, muss die erste Matrix gleich viele Spalten haben wie die zweite Matrix an Zeilen besitzt. Die Ergebnismatrix wird dann so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix besitzen. Kurz und mathematisch: Ist $A$ eine $l \times m$ - Matrix und $B$ eine $m \times n$- ...
  21. Zusammenfassung Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Zusammenfassung Matrizen
    Zusammenfassung Matrizen
    ... reichen uns diese Operationen, die wir mit Matrizen durchführen können, für alle Abitur-relevanten Aufgaben. Wir merken uns: Matrizen sind eine einfache komprimierte Schreibweise für lineare Gleichungssysteme. Durch Matrizen können vielfältige (oder besser gesagt: vieldimensionale) Zusammenhänge gut und übersichtlich strukturiert dargestellt werden. Mit Hilfe von Matrizen können wir aus diesen Zusammenhängen Zustände zu verschiedenen Zeiten berechnen oder generelle Aussagen ...
  22. Anwendungen von Matrizen
    Anwendungen von Matrizen
    Das Schöne an Matrizen ist, dass sie aufs Wesentliche reduziert sind. Man konzentriert sich nur auf die Einträge und ihre Positionen. Dementsprechend vielseitig sind dann auch die Einsatzmöglichkeiten von Matrizen. Beinahe alle Prozesse, bei der verschiedene Dinge jeweils miteinander in einer Beziehung stehen, lassen sich durch Matrizen abbilden. Und damit nicht genug: Durch die richtigen Rechenoperationen ist es auch möglich, die Auswirkung dieser Beziehungen zu modellieren. Wir können also ...
  23. Verflechtungsmatrizen
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen
    ... von Produktionsprozessen haben sich Matrizen sehr bewährt. Hier geht es meistens darum, aus einer gegebenen Anzahl an Endprodukten herauszubekommen, wie viele Rohstoffe man für diese benötigt. Gesucht ist also der Input(-vektor), der aus dem Output(-vektor) und der zugehörigen Verflechtungsmatrix durch Multiplikation berechnet werden kann.Ist R der Inputvektor, P der Outputvektor und B die Verflechtungsmatrix, gilt $R = B \cdot P$. Die größte (und eigentlich einzige) Schwierigkeit ...
  24. Beschreibung Verflechtungsmatrix
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Beschreibung Verflechtungsmatrix
    Beschreibung Verflechtungsmatrix
    Um die Abhängigkeiten der einzelnen Rohstoffe und Produkte übersichtlich darzustellen, kann man ein Verflechtungsdiagramm (einen sog. Gozintographen) zeichnen. Gozintograph Aus dem gezeigten Diagramm kann man herauslesen, dass zur Herstellung eine Einheit des Produktes 1 (P1) eine Einheit des Rohstoffs R1, zwei Einheiten R2 und vier Einheiten R3 notwendig sind. Für P2 benötigen wir hingegen zwei Einheiten R1, drei Einheiten R2 und eine Einheit R3.  In Tabellenform ausgedrückt: Produkt ...
  25. Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
    Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
    Typische Aufgaben mit Verflechtungsmatrizen lauten z.B. wie folgt: Eine Möbelfabrik produziert verschiedene Modelle eines Regals. Für Modell X werden 6 Schubladen, 12 Einlegeböden und 2 Türen benötigt, für Modell Y 4 Schubladen, 12 Einlegeböden und 3 Türen, für Modell Z 6 Schubladen, 14 Einlegeböden und 4 Türen.a) Stellen Sie die Abhängigkeiten in einer Tabelle und einem Diagramm dar.b) Geben Sie die Verflechtungsmatrix an und berechnen Sie den Bedarf an Schubladen, Einlegeböden und ...
  26. Mehrstufige Prozesse
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Mehrstufige Prozesse
    Mehrstufige Prozesse
    ... \cdot B \cdot \vec e$. Die Multiplikation der Matrizen A und B liefert $A \cdot B = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix}$, und somit gilt für $ \vec r$: $ \vec r = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix} \cdot \vec e$. Sollen also zum Beispiel 60 Produkte E1 und 40 Produkte E2 hergestellt werden, braucht man für die Produktion $\vec r = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} ...
  27. Übergangsmatrizen
    Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen
    Bei Übergangsmatrizen (oder auch Prozessmatrizen genannt) gibt es keine Input- oder Outputvektoren. Stattdessen finden wir dort "Zustandsvektoren", die ein System zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben. Beispiele für solche Systeme finden sich viele: Schüler, die auf verschiedene Schulen gehen Populationsentwicklungen (Altersstruktur) Verteilung von Mietwagen auf verschiedene Niederlassungen ... . In den folgenden Abschnitten wollen wir uns näher mit den Übergangsmatrizen und beispielhaft ...
  28. Beschreibung
    Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Beschreibung
    Beschreibung
    ... Diese liegen häufig (wie bei Verflechtungsmatrizen auch) in Diagrammform vor. Die Einträge der Matrix stellen Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zustand zum andern dar. Wir wollen uns das an einem Beispiel klarmachen: Übergangsdiagramm Die Ovale A, B und C stehen für die drei Niederlassungen einer Leihwagenfirma, die Pfeile verdeutlichen, wie sich die Fahrzeuge im Laufe eines Tages verteilen. Betrachten wir den Fuhrpark von A: Wir entnehmen dem Diagramm, dass 60% der Fahrzeuge ...
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Molekularbiologie / Genetik

  1. Einzelstränge der DNA
    DNA als Erbsubstanz > Aufbau der DNA > Einzelstränge der DNA
    Einzelstränge der DNA
    ... (Vorsicht: DNA und RNA unterscheiden sich!) Matrizenstrang, codogener Strang, Minusstrang, antisense-Strang Vorlage für mRNA! Eine kleine Merkhilfe gibt die Natur selbst (und erklärt bereits einen wesentlichen Aspekt der Replikation der DNA bzw. der Transkription): Enzyme, die mit DNA arbeiten (Bsp.: DNA-Polymerase; RNA-Polymerase), gehen immer in 5’-3’-Richtung vor. Das heißt: Der Strang, der in 5’-3’-Richtung produziert wird, ist der kontinuierliche Strang bei der DNA-Verdopplung ...
  2. Die Aufgaben der RNAs (mRNA, tRNA)
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vom Gen zum Protein > Translation > Die Aufgaben der RNAs (mRNA, tRNA)
    Die Aufgaben der RNAs (mRNA, tRNA)
    ... der DNA-Strang kopiert wird (Vorlage ist der Matrizenstrang, die Kopie wird komplementär erzeugt). mRNA ist immer einzelsträngig! Die Lebensdauer der verschiedenen mRNAs sind äußert unterschiedlich. Die RNase baut die mRNA wieder ab. tRNA tRNA oder transfer-RNA ist ein Träger für Aminosäuren und wird bei der Translation benötigt. Die tRNAs zeigen eine sehr charakteristische Kleeblattstruktur, welche das komplementäre Anticodon zur mRNA-Information, das Codon und die dazu passende ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Entwicklung der Quantentheorie
    Entwicklung der Quantentheorie
    Entwicklung der Quantentheorie
    ... auch die Unschärferelation stammt, mit seiner Matrizenmechanik die erste mathematische Formulierung der Quantentheorie. Ein Jahr darauf folgte ihm Erwin Schrödinger mit der sogenannten Wellenmechanik der Quantentheorie. Man konnte zeigen, dass beide Theorien der Quantenmechanik zueinander äquivalent sind. Auffällig in der Quantentheorie ist die Doppelnatur der Materie und Strahlung, die wir als Dualismus bezeichnen wollen. So werden wir zum Beispiel sehen, dass elektromagnetische Strahlung ...
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