Matrizen

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

1. Rechenregeln für Matrizen

   Rechenregeln für Matrizen

   

   ... wir uns grundlegend damit, was mit Matrizen erlaubt ist und was nicht geht. Wir machen uns Gedanken welche Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn man Matrizen miteinander addieren oder voneinander subtrahieren möchte, wie Matrizen mit einer Zahl multipliziert werden können und wie man Matrizen miteinander multiplizieren kann.Auch werden wir jeweils überlegen, ob die Rechenoperationen kommutativ sind, also ob man die Matrizen einfach vertauschen darf und dann ...

2. Zusammenfassung Matrizen

   Rechenregeln für Matrizen > Zusammenfassung Matrizen

   

   ... reichen uns diese Operationen, die wir mit Matrizen durchführen können, für alle Abitur-relevanten Aufgaben. Wir merken uns:Matrizen sind eine einfache komprimierte Schreibweise für lineare Gleichungssysteme.Durch Matrizen können vielfältige (oder besser gesagt: vieldimensionale) Zusammenhänge gut und übersichtlich strukturiert dargestellt werden.Mit Hilfe von Matrizen können wir aus diesen Zusammenhängen Zustände zu verschiedenen Zeiten ...

3. Besondere Matrizen

   Matrizen > Besondere Matrizen

   

   Was bitte sind "besondere" Matrizen?In diesem Kapitel werden kurz ein paar Begriffe bzw. Bezeichungen eingeführt, die recht nützlich sind, wenn man mit Matrizen arbeitet.Meistens interessieren uns hierbei bestimmte "Strukturen" einer Matrix die entstehen, wenn diese Matrix einige Null-Einträge hat. Welche besonderen Auswirkungen das Rechnen mit solchen "besonderen" Matrizen hat ist hingegen nicht Thema des Kurses (und auch nicht weiter relevant fürs Abitur).Nur bei einer Sache, ...

4. Multiplikation von Matrizen

   Rechenregeln für Matrizen > Multiplikation von Matrizen

   

   ... Operation ist die Multiplikation zweier Matrizen. Hierbei wird das Skalarprodukt von jeder Zeile der ersten Matrix mit jeder Spalte der zweiten Matrix gebildet. Damit die Rechnung am Ende „aufgeht“, muss die erste Matrix gleich viele Spalten haben wie die zweite Matrix an Zeilen besitzt. Die Ergebnismatrix wird dann so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix besitzen.Kurz und mathematisch: Ist $A$ eine $l \times m$ - Matrix und $B$ eine $m \times ...

5. Anwendungen von Matrizen

   Anwendungen von Matrizen

   

   Das Schöne an Matrizen ist, dass sie aufs Wesentliche reduziert sind. Man konzentriert sich nur auf die Einträge und ihre Positionen. Dementsprechend vielseitig sind dann auch die Einsatzmöglichkeiten von Matrizen.Beinahe alle Prozesse, bei der verschiedene Dinge jeweils miteinander in einer Beziehung stehen, lassen sich durch Matrizen abbilden. Und damit nicht genug: Durch die richtigen Rechenoperationen ist es auch möglich, die Auswirkung dieser Beziehungen zu modellieren. Wir ...

6. Inverse Matrix

   Matrizen > Besondere Matrizen > Inverse Matrix

   

   Zwei Matrizen A und B sind zueinander invers, wenn das Produkt aus beiden die Einheitsmatrix ergibt. Auch hier müssen A und B quadratisch sein. Die zu A inverse Matrix wird häufig auch mit $A^{-1}$ bezeichnet.$A$ und $B$ sind invers zueinander ($B=A^{-1}$), wenn gilt: $A \cdot B = E = B \cdot A$.Die Matrizen $A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} -0,5 & -0,5 & 0,5 \\ 0,25 & -0,25 & 0,25 \\ ...

7. Vervielfachen von Matrizen

   Rechenregeln für Matrizen > Vervielfachen von Matrizen

   

   ... aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie  zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht.Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert werden. Dazu wird jedes Element $a_{ij}$ der Matrix mit der Zahl r multipliziert.Kurz geschrieben: $r \cdot A = r \cdot a_{ij}$.$3 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ...

8. Addition von Matrizen

   Rechenregeln für Matrizen > Addition von Matrizen

   

   Zwei Matrizen A und B können nur miteinander addiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind, also gleich viele Zeilen und Spalten besitzen.Dabei werden einfach die entsprechenden Einträge addiert.Die Ergebnismatrix hat natürlich ebenso viele Zeilen und Spalten wie die einzelnen Summanden.Die Matrizen $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ ...

9. Verflechtungsmatrizen

   Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen

   

   ... von Produktionsprozessen haben sich Matrizen sehr bewährt. Hier geht es meistens darum, aus einer gegebenen Anzahl an Endprodukten herauszubekommen, wie viele Rohstoffe man für diese benötigt.Gesucht ist also der Input(-vektor), der aus dem Output(-vektor) und der zugehörigen Verflechtungsmatrix durch Multiplikation berechnet werden kann.Ist R der Inputvektor, P der Outputvektor und B die Verflechtungsmatrix, gilt $R = B \cdot P$.Die größte (und eigentlich ...

10. Lineare Gleichungssysteme

    Lineare Gleichungssysteme

    

    ... werden Lineare Gleichungssysteme dann zu Matrizen, mit denen wir verschiedene Prozesse beschreiben können.

11. Matrizen

    Matrizen

    

    ... heißt sie quadratisch.Auch Vektoren sind Matrizen!So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.

12. Begriff des Vektorraums

    Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums

    

    ... Man kann diese ganzen Dinge aber auch z.B. mit Matrizen oder Funktionen durchführen.In einem Video wird der Begriff "Vektorraum" mit den verlangten Bedingungen noch einmal ausführlich erklärt:Das Video wird geladen...(vektorraum)

13. Mehrstufige Prozesse

    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Mehrstufige Prozesse

    

    ... A \cdot B \cdot \vec e$.Die Multiplikation der Matrizen A und B liefert $A \cdot B = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix}$, und somit gilt für $ \vec r$: $ \vec r = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix} \cdot \vec e$.Sollen also zum Beispiel 60 Produkte E1 und 40 Produkte E2 hergestellt werden, braucht man für die Produktion $\vec r = \begin{pmatrix} 21 & 26 \\ 16 & 21 \\ 18 & 23 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} ...

14. Darstellung in Matrizenform

    Matrizen > Darstellung in Matrizenform

    

    ... Möglichkeiten kennen lernen, mit Matrizen umzugehen und zu rechnen.