Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
... wir noch weitere Eigenschaften der Vektoren bzw. brauchen wir mehr Möglichkeiten, wie man mit Vektoren arbeiten kann.Bisher haben wir Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen.Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, also eine normierte Standardeinheit. ... -
Was sind Vektoren?
Einleitung und Grundlagen > Was sind Vektoren?
... und kann durch einen Pfeil dargestellt werden.Vektoren im ZweidimensionalenIm 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“). Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim Punkt Q’(0|3) usw.Vektor als VerschiebungVektoren im DreidimensionalenIm ... -
Addition und Subtraktion von Vektoren
Rechnen mit Vektoren > Addition und Subtraktion von Vektoren
Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln.Addition von VektorenWir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 ...Begriff des Vektorraums
Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums
... Struktur, die bestimmten Regeln gehorcht.Vektoren sind die grundlegenden Elemente eines Vektorraumes. Die Einträge eines Vektors stammen wieder aus einem (mathematischen) Körper. Ein solcher Körper ist z.B. die Menge der reellen Zahlen. Damit man aber wirklich von einem Raum sprechen kann, müssen diese über festgelegte Rechenoperationen verknüpft werden können und das Ergebnis dieser Rechnung muss bestimmte Eigenschaften erfüllen.In unserem Falle werden ...Vektorraum - Basis und Dimension
Einleitung und Grundlagen > Vektorraum - Basis und Dimension
... Vektorraumes bezeichnen wir die Elemente (Vektoren), aus denen durch Linearkombination alle Elemente des Raumes gebildet werden können.Im Dreidimensionalen besteht eine mögliche (und die einfachste dazu) Basis aus den Einheitsvektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$. Man spricht hier auch von einer Orthonormalbasis, da die Vektoren senkrecht zueinander stehen ("ortho") ...Betrag eines Vektors berechnen
Rechnen mit Vektoren > Betrag eines Vektors berechnen
... als Zusammensetzung der Vektoren $\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$, gilt für den Betrag des Vektors ebenfalls $\left|\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$.Allgemein gilt:Der Betrag eines Vektors $\vec{a}$ mit $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ ist $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.Weitere ErläuterungWarum ...Normierung eines Vektors
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Normierung eines Vektors
Um später mit Vektoren Messungen anstellen zu können, müssen wir über ihren Betrag Bescheid wissen.Den Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles ermittelt man durch $|\vec{v}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn $|\vec{v}|=1$.Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die „Länge“ ...Vielfache von Vektoren bilden
Rechnen mit Vektoren > Vielfache von Vektoren bilden
... eines VektorsGenauer wird auf Vielfache von Vektoren noch einmal im folgenden Video eingegangen:Das Video wird geladen...(mathematik-vervielfachung-eines-vektors)Anmerkungen:Eine Multiplikation mit -1 ergibt den Gegenvektor. Eine Multiplikation mit Null ergibt immer den Nullvektor.Anstatt Vielfaches (oder Anteil) einer Verschiebung kann man sich genauso einen um den Faktor r gestreckten (oder gestauchten) Vektor vorstellen.KollinearitätZwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie Vielfache ...Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
Rechnen mit Vektoren > Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
... anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss.Beispiel des Nachweises einer linearen AbhängigkeitSind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ linear abhängig?Die Frage ist gleichbedeutend ...Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird.Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$.Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ...Skalarprodukt zweier Vektoren
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Skalarprodukt zweier Vektoren
Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik ...Vektoren und Winkel
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel
... man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander. Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:$\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $. Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ gilt:$\cos{\alpha} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot ...Normalenform einer Ebene
Ebenen in der analytischen Geometrie > Normalenform einer Ebene
... Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die orthogonal zueinander stehen, ist Null.Überlegung: Jeder Vektor, der in der Ebene liegt, ist senkrecht zu obigem Normalenvektor. Und jeder Vektor zwischen zwei beliebigen Punkten der Ebene liegt in der Ebene.Folgerung: Jeder beliebige Punkt der Ebene kann beschrieben werden durch ein Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Verbindungsvektor des Punktes zu einem bekannten Punkt der Ebene. Dieses Skalarprodukt ...Linearkombination von Vektoren
Rechnen mit Vektoren > Linearkombination von Vektoren
... bezeichnen wir eine Addition von Vektoren und/oder Vielfachen davon.So wäre eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zum Beispiel $3\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{b} + 3\cdot\vec{c}$. Eine andere ist $\vec{a} – 3\cdot\vec{b} + 5\cdot\vec{c}$.Allgemein gilt: $r\cdot\vec{a} + s\cdot\vec{b} + t\cdot\vec{c}$.Wenn als Vektoren zum Beispiel $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}$ ...Abstände von Geraden
Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden
Abstand zweier paralleler Geraden g und hMan nehme einen Punkt P auf g und lege eine zu g und h orthogonale Ebene E durch den Punkt. Der Schnittpunkt von E mit der Geraden h liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand der beiden Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden.Abstand zweier windschiefer ...Vervielfachen von Matrizen
Rechenregeln für Matrizen > Vervielfachen von Matrizen
Von Vektoren kennen wir bereits die Möglichkeit, diese zu vervielfachen, ohne dass sie in ihrer grundsätzlichen Bedeutung geändert werden. Hierbei ändert sich lediglich ihr Betrag, nicht aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht.Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert ...Rechnen mit Vektoren
Rechnen mit Vektoren
... Abschnitten damit auseinandergesetzt haben was Vektoren eigentlich sind, lernen wir nun mit ihnen umzugehen.Wir werden Vektoren addieren und subtrahieren, sie strecken und stauchen. Ihren Betrag bestimmen oder sie auf eine vorgegebene Länge bringen. Wir werden sie kombinieren, einen durch andere ersetzen und sie in Verhältnisse zueinander stellen.Wir werden uns also genau die Fertigkeiten aneignen, die wir dann brauchen, um einfache Figuren im Raum beschreiben und mit ihnen arbeiten ...Vektor zwischen zwei Punkten
Rechnen mit Vektoren > Vektor zwischen zwei Punkten
... beschreiben wir diese Rechnung mithilfe der Ortsvektoren der Punkte P und Q. Da der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ja von P zu Q führen soll, gilt $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}$. Also gilt für$\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$.In unserem Beispiel von oben ergibt sich $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4-3\\4-1\\3-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\...Spiegelung an einem Punkt
Spiegelungen > Spiegelung an einem Punkt
... übernimmt (bei der Parameterform) die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor (Normalenform) der ursprünglichen Ebene.Verflechtungsmatrizen
Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen
Bei der Beschreibung von Produktionsprozessen haben sich Matrizen sehr bewährt. Hier geht es meistens darum, aus einer gegebenen Anzahl an Endprodukten herauszubekommen, wie viele Rohstoffe man für diese benötigt.Gesucht ist also der Input(-vektor), der aus dem Output(-vektor) und der zugehörigen Verflechtungsmatrix durch Multiplikation berechnet werden kann.Ist R der Inputvektor, P der Outputvektor und B die Verflechtungsmatrix, gilt $R = B \cdot P$.Die größte (und ...Einleitung und Grundlagen
Einleitung und Grundlagen
... beschäftigt sich (ganz allgemein) mit Vektoren, Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen. Wir werden hieraus besonders die Regeln für das Rechnen mit Vektoren und das Aufstellen und Lösen Linearer Gleichungssysteme benötigen.In der Analytischen Geometrie versuchen wir geometrische Fragestellungen mithilfe von Rechenverfahren – oft aus der Linearen Algebra – zu beantworten. So können wir die Aufgaben meistens ohne Anschauung (Zeichnung) ...Zustandsvektoren
Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Zustandsvektoren
Wie der Name schon sagt, werden in einem Zustandsvektor die "Zustände" eines Systems dargestellt. Für den ersten Zustand hat sich auch der Begriff "Startvektor" eingebürgert. Nach Multiplikation des Vektors mit der Übergangsmatrix erhält man den Zustand einen Schritt später.In unserem Beispiel beschreibt der Startvektor die Verteilung aller Leihwagen auf die Stationen A, B und C. So könnten zu Beginn 150 Fahrzeuge in A, 240 in B und 120 in C sein. Der Startvektor ...Schnitt Ebene-Gerade
Schnitte > Schnitt Ebene-Gerade
Wenn eine Gerade nicht zufällig parallel zu einer gegebenen Ebene verläuft, muss sie diese zwangsweise in einem Punkt S schneiden. Um den Schnittpunkt zu berechnen, müssen wir Geraden- und Ebenengleichung gleichsetzen, wenn die Ebene in Parameterdarstellung gegeben ist. Ähnlich wie beim Schnitt von Geraden erhalten wir wieder ein lineares Gleichungssystem, jetzt allerdings mit drei Unbekannten (nämlich den Parametern aus den Gleichungen). Einfacher gestaltet sich die Bestimmung ...Matrizen
Matrizen
... m = n gilt, so heißt sie quadratisch.Auch Vektoren sind Matrizen!So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.Aufstellen von Ebenen in Parameterform
Ebenen in der analytischen Geometrie > Aufstellen von Ebenen in Parameterform
... von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen.Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor ...Schnitte von Geraden
Geraden > Schnitte von Geraden
Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade ...Ebenengleichungen umwandeln
Ebenen in der analytischen Geometrie > Ebenengleichungen umwandeln
... die Normalengleichung. Zu den beiden Spannvektoren suchen wir einen orthogonalen Vektor, den wir als Normalenvektor in die Gleichung schreiben.Den Normalenvektor erhalten wir entweder durch Lösen des Gleichungssystems, das sich aus den Skalarprodukten ergibt, oder direkt durch Anwenden des Vektorprodukts. Im folgenden Beispiel sind beide Wege dargestellt.Unsere Ebene E soll die Punkte A(0|0|-2), B(1|1|3) und C(2|0|2) enthalten. Eine mögliche Angabe in Parameterform ist dann $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r ...Geraden
Geraden
... mit Geraden umzugehen, benötigen wir Vektoren und das Wissen darüber, wie wir mit ihnen rechnen können.Spiegelungen
Spiegelungen
Spiegelungen sind in der Elementargeometrie ein beliebtes, weil schönes Thema. Dies ist natürlich in der Analytischen Geometrie nicht anders. Und dazu müssen wir nicht einmal auf unsere Zeichenkünste achten, ein bisschen Rechnen reicht dazu völlig aus.Auf den ersten Blick erscheinen die Möglichkeiten an Spiegelungen zu vielfältig, um sie grundsätzlich behandeln zu können. Neben der Punktspiegelung kann an einer Achse gespiegelt werden. Ergänzend zum ...Schnitte
Schnitte
... liegen? Oder anders ausgedrückt: Welche Vektoren $\vec{x}$ erfüllen die eine und die andere Gleichungsbedingung? Mathematisch gesehen entspricht das einem Gleichsetzen der Bedingungen und je nach vorliegenden Gleichungen geht man entsprechend vor. Bleibt uns letztlich, das Ergebnis noch zu deuten: Exakt eine Lösung bedeutet immer Schnittpunkt (und liefert dessen Koordinaten), keine Lösung heißt auch kein Schnitt und unendlich viele Lösungen weisen auf eine Identität ...Ebenen in der analytischen Geometrie
Ebenen in der analytischen Geometrie
... die einen Punkt der Ebene und zwei Richtungsvektoren benötigtdie Normalenform, die - wie der Name schon sagt - mit einem zur Ebene orthogonalen Vektor arbeitetdie Koordinatenform, die in ihrer Darstellung am ehesten an die Analysis erinnert.Da jede Darstellungsform ihre Stärken in anderen Aufgabenbereichen hat können wir sie natürlich auch ineinander umformen und uns so das jeweils nötige mathematische Rüstzeug bereitstellen.Zwar ist nicht in jedem Bundesland zwingend ...Spiegelung an einer Ebene
Spiegelungen > Spiegelung an einer Ebene
Spiegelung eines Punktes an einer EbeneHierzu bilden wir eine Hilfsgerade h, die senkrecht zur Ebene verläuft und durch den zu spiegelnden Punkt geht. Der Schnittpunkt unserer Ebene mit der Hilfsgeraden liefert den Lotfußpunkt. Anschließend muss der gegebene Punkt nur noch an diesem gespiegelt werden, um den gesuchten Bildpunkt zu erhalten.Spiegelung einer Geraden an einer EbeneHier sind zwei Fälle zu unterscheiden: Wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft und wenn die ...Beschreibung
Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Beschreibung
Durch die Anwendung der (immer quadratischen!) Übergangsmatrix auf einen Zustandsvektor geht das System in einen anderen Zustand über. Man multipliziert also die entsprechende Matrix mit dem Zustandsvektor und erhält einen neuen Vektor, der den Zustand einen Schritt weiter beschreibt.Um die Übergangsmatrix zu erstellen benötigen wir Informationen über die Übergänge selbst. Diese liegen häufig (wie bei Verflechtungsmatrizen auch) in Diagrammform vor. Die ...
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Molekularbiologie / Genetik
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Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
... im molekularbiologischen Labor verwendeten Vektoren sind aus drei natürlich vorkommenden Vektoren entwickelt worden. Dabei wurde z. B. darauf geachtet, dass diese Vektoren nicht mehr zur Konjugation befähig sind. Vektoren, die im Labor zur Klonierung von Fremd-DNA eingesetzt werden, haben die Fähigkeit, sich eigenständig von Zelle zu Zelle auszutauschen bzw. sich dadurch zu verbreiten, verloren!Wahl des VektorsEntscheidet sich nach dem Grund für die Klonierung:Soll ... -
Transformation
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Transformation
... wachsen.StempeltechnikVektoren mit mehrfachen Antibiotikaresistenzen können zur Stempeltechnik eingesetzt werden.Besitzt ein Vektor neben dem "normalen" Sequenzabschnitt für eine Antibiotikaresistenz eine weitere, in der multiple-cloning-site lokalisierte, so kann dies für den Nachweis einer erfolgreichen Klonierung direkt eingesetzt werden.Bei erfolgreicher Klonierung wird die Antibiotika-Resistenz in der multiple-cloning-site zerstört.Mithilfe der ... -
cDNA
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > cDNA
... von E. coli Bakterien mit den jeweiligen Vektoren (A- oder B-Vektor)4. Schritt:Expression von A- bzw. B-Peptid in den Bakterien5. Schritt:Lyse der Bakterien, aufreinigen der Peptide (separat)6. SchrittMischen des A- und B-Peptid unter "Disulfid-Brücken-bildenden" Bedingungen. Insulineinheiten finden sich zum funktionellen Insulin zusammen! -
Klonierung
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung
Der Vorgang einer Klonierung ist relativ komplex. In den folgenden Kapiteln „Restriktionsenzyme", „Agarose-Gelelektrophorese" und „Klonierung" wird diese Methode ausführlich Schritt für Schritt erläutert. Ganz wichtig:Klonierung und Klonen sind völlig verschiedene Dinge!Als Klonen wird die Erzeugung eines oder mehrerer genetisch identischer Individuen ausgehend von einem ganz bestimmten Lebewesen bezeichnet.Beispiel: Erzeugung eines kompletten ...Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
Unter gentechnischen Methoden versteht man z. B. den Einsatz von Restriktionsenzymen bei der Durchführung einer Klonierung oder Techniken wie PCR, genetischer Fingerabdruck und Gelelektrophorese. Man kann dies kurz als angewandte Molekularbiologie bezeichnen.Die Molekularbiologie hat in den vergangenen Jahren viele nützliche Techniken hervorgebracht. PCR und genetischer Fingerabdruck sind dabei die bekanntesten.Die Anwendungen der Molekularbiologie sind vielfältig.Z. B. ist ...Restriktionsenzyme
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Restriktionsenzyme
... Sichelzellanämie)Klonierung von Genen in VektorenKartierung von DNADas Video wird geladen...(molekularbiologie-restriktionsenzyme)Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
... gewählt. Gentherapie und Einsatz viraler Vektoren sind hier Forschungsschwerpunkte.Historische BetrachtungVerfolgt man die Entwicklung von Wildpflanzen zu Kulturpflanzen, so wird schon seit Jahrtausenden manipuliert und optimiert. DNA wurde mehr durch Zufall und kluge Kombination als durch gezielte Manipulation verändert, aber manipulierte DNA gab es in der Landwirtschaft mit Sicherheit schon vor 5.000 Jahren.Was neu ist, ist die Kombination von Genen unterschiedlicher Organismen zur ...Ladungen und Felder
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Elektrische Ströme und magnetische Felder
Elektrische Ströme und magnetische Felder
... folgendes: Ist der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{B}$ von Null verschiedenen, so spannen die Vektoren eine Ebene des 3-dimensionalen Raumes auf. Damit ist die Richtung der Normalen (Vektor senkrecht zur Ebene und damit zu den beiden Vektoren) gegeben. Dies ist aber zu der Aussage äquivalent, dass die Lorentz-Kraft $\vec{F}$ in ihrer Richtung festgelegt wird. Nur ihr Richtungssinn und der Betrag müssen bestimmt werden.Aus den obigen Beobachtungen bezüglich ... -
Elektrische Ladungen und Felder
Elektrische Ladungen und Felder
... physikalischen Anschauungsraum lassen sich die Vektoren komponentenweise ausschreiben. Man erhält damit folgende Darstellung:$\left(\begin{array}{c} F_x\\F_y\\F_z \end{array}\right)=q\left(\begin{array}{c} E_x\\E_y\\E_z\end{array}\right)$$F_x$, $F_y$ und $F_z$ sind dabei die Komponenten der Kraft in den Richtungen $x$, $y$ und $z$. Analog sind $E_x$, $E_y$ und $E_z$ Komponenten des elektrischen Feldes in den entsprechenden Richtungen.Das Video wird geladen...(feldstaerke-und-feldkraft)Da ... -
Radialsymmetrisches Feld
Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Radialsymmetrisches Feld
Der französische Physiker Coulomb stellte fest, dass es eine besondere Beziehung zwischen der aufeinander wirkenden Kraft $F$ zweier punktförmiger Ladungen $q$ und $Q$ und ihrem Abstand $r$ gibt.Coulombsches Gesetz:Der Betrag der Kraft $\vec{F}$ zwischen zwei punktförmigen Ladungen $q$ und $Q$ ist dem Produkt der Ladungen direkt und dem Quadrat ihres Abstandes $r$ umgekehrt proportional. In Formeln bedeutet dies:$F=\frac{Qq}{4\pi\epsilon r^2}$Der Faktor $\frac{1}{4\pi\epsilon}$ ist ...Elektrische Feldkonfigurationen
Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen
Da das elektrische Feld durch einen Vektor $\vec{E}$ beschrieben wird, hat es bekanntlich sowohl einen Betrag als auch eine Richtung. Zwei besonders relevante Feldkonfigurationen wollen wir in den folgenden Abschnitten betrachten; es handelt sich um das radialsymmetrische und das homogene elektrische Feld. Aufgrund des vektoriellen Charakters der Feldgröße lassen sich Feldlinienbilder skizzieren, die einen Eindruck vom Verlauf des Feldes vermitteln.Durch diese Betrachtung lässt sich ...Feldkonzept- allgemeiner Überblick
Feldkonzept- allgemeiner Überblick
Der Begriff des Feldes mag dem Leser aus anderen Zusammenhängen bekannt sein. Um jedoch wissenschaftlich präzise arbeiten zu können, muss man den Unterschied zwischen dem umgangssprachlichen Begriff und dem physikalischen Begriff des Feldes deutlich herausarbeiten.Von solchen physikalischen Feldern sind wir stets umgeben; dazu gehören zum Beispiel das Temperaturfeld und das Druckfeld, die man auf meteorologischen Wetterkarten findet. Ein weiteres bekanntes Feld ist das Erdmagnetfeld. ...Elektromagnetismus
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Induktion- Magnetischer Fluss
Elektromagnetische Induktion > Induktion- Magnetischer Fluss
Wir wollen nun das Phänomen der elektromagnetischen Induktion mathematisch formulieren. Eine dabei ausgezeichnete Zustandsgröße ist der sogenannte magnetische Fluss $\Phi$.Größen zur Bestimmung des magnetischen FlussesDabei geht man von folgenden experimentellen Beobachtungen aus: In einer Leiterschleife, die sich in einem Magnetfeld befindet, kann eine Spannung erzeugt (induziert) werden, wenndie Leiterschleife im Magnetfeld gedreht wird,die vom Magnetfeld durchdrungene ...Polarisation
Elektromagnetische Wellen > Eigenschaften elektromagnetischer Wellen > Polarisation
... und her. Damit schwingen alle elektrischen Feldvektoren in einer Ebene (in der obigen Zeichnung blau eingezeichnete Fläche).Wellen, die eine derartige (lineare) Schwingung des Vektors $\vec{E}$ aufweisen, bezeichnet man als linear polarisiert.$\vec{E}$-Feldkomponente parallel zum EmpfängerdipolWir wissen nun, dass es die zum Empfangsdipol parallele Komponente von $\vec{E}$ ist, welche die Schwingungen im Empfänger auslöst. Mit Hilfe einer einfachen Vektorzerlegung wie im Bild ...
Webinare
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Geraden - Gegenseitige Lage bestimmen, Schnitt von Geraden, Anwendungsaufgaben
...as Arbeiten mit Geraden. Durch Kombination zweier Vektoren (Stütz- und Richtungsvektor) lassen sich Geraden im Raum beschreiben. Und damit rechnen! So können wir ohne eine Zeichnung anzufertigen rechnerisch klären, ob Geraden parallel zueinander sind, sich schneiden oder gar „windschief“ im Raum liegen. Die Rechenmethoden dazu werden erläutert, die Aufgaben im Detail betrachtet und Lösungsstrategien zum „Knacken“ der Aufg... -
Vektoren und Geraden
...den" ausgewählt. Ein kurze Wiederholung der Grundlagen führt in das Seminar ein. Anhand von ausgewählten Abituraufgaben zeigt er Euch Lösungsstrategien und Herangehensweisen für diesen Aufgabentyp. Ihr könnt Eure Fragen per Chatfenster stellen oder auch direkt mit Andreas während des Seminars reden und Matheproblem klären. Wir freuen uns auf Eure Teilnahme!...
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