Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Einleitung und Grundlagen
    Einleitung und Grundlagen
    ... beschäftigt sich (ganz allgemein) mit Vektoren, Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen. Wir werden hieraus besonders die Regeln für das Rechnen mit Vektoren und das Aufstellen und Lösen Linearer Gleichungssysteme benötigen.In der Analytischen Geometrie versuchen wir geometrische Fragestellungen mithilfe von Rechenverfahren – oft aus der Linearen Algebra – zu beantworten. So können wir die Aufgaben meistens ohne Anschauung (Zeichnung) ...
  2. Was sind Vektoren?
    Einleitung und Grundlagen > Was sind Vektoren?
    Vektor als Verschiebung
    ... und kann durch einen Pfeil dargestellt werden.Vektoren im ZweidimensionalenIm 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“). Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim Punkt Q’(0|3) usw.Vektor als VerschiebungVektoren im DreidimensionalenIm ...
  3. Begriff des Vektorraums
    Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums
    ... Struktur, die bestimmten Regeln gehorcht.Vektoren sind die grundlegenden Elemente eines Vektorraumes. Die Einträge eines Vektors stammen wieder aus einem (mathematischen) Körper. Ein solcher Körper ist z.B. die Menge der reellen Zahlen. Damit man aber wirklich von einem Raum sprechen kann, müssen diese über festgelegte Rechenoperationen verknüpft werden können und das Ergebnis dieser Rechnung muss bestimmte Eigenschaften erfüllen.In unserem Falle werden ...
  4. Vektorraum - Basis und Dimension
    Einleitung und Grundlagen > Vektorraum - Basis und Dimension
    ... Vektorraumes bezeichnen wir die Elemente (Vektoren), aus denen durch Linearkombination alle Elemente des Raumes gebildet werden können.Im Dreidimensionalen besteht eine mögliche (und die einfachste dazu) Basis aus den Einheitsvektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$. Man spricht hier auch von einer Orthonormalbasis, da die Vektoren senkrecht zueinander stehen ("ortho") ...
  5. Rechnen mit Vektoren
    Rechnen mit Vektoren
    ... Abschnitten damit auseinandergesetzt haben was Vektoren eigentlich sind, lernen wir nun mit ihnen umzugehen.Wir werden Vektoren addieren und subtrahieren, sie strecken und stauchen. Ihren Betrag bestimmen oder sie auf eine vorgegebene Länge bringen. Wir werden sie kombinieren, einen durch andere ersetzen und sie in Verhältnisse zueinander stellen.Wir werden uns also genau die Fertigkeiten aneignen, die wir dann brauchen, um einfache Figuren im Raum beschreiben und mit ihnen arbeiten ...
  6. Addition und Subtraktion von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Addition und Subtraktion von Vektoren
    Vektor und Gegenvektor
    Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln.Addition von VektorenWir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 ...
  7. Vektor zwischen zwei Punkten
    Rechnen mit Vektoren > Vektor zwischen zwei Punkten
    Vektor zwischen zwei Punkten P und Q
    ... beschreiben wir diese Rechnung mithilfe der Ortsvektoren der Punkte P und Q. Da der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ja von P zu Q führen soll, gilt $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}$. Also gilt für$\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$.In unserem Beispiel von oben ergibt sich $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4-3\\4-1\\3-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\...
  8. Betrag eines Vektors berechnen
    Rechnen mit Vektoren > Betrag eines Vektors berechnen
    ... als Zusammensetzung der Vektoren $\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$, gilt für den Betrag des Vektors ebenfalls $\left|\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$.Allgemein gilt:Der Betrag eines Vektors $\vec{a}$ mit $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$  ist $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.Weitere ErläuterungWarum ...
  9. Vielfache von Vektoren bilden
    Rechnen mit Vektoren > Vielfache von Vektoren bilden
    Vielfache eines Vektors
    ... eines VektorsGenauer wird auf Vielfache von Vektoren noch einmal im folgenden Video eingegangen:Das Video wird geladen...(mathematik-vervielfachung-eines-vektors)Anmerkungen:Eine Multiplikation mit -1 ergibt den Gegenvektor. Eine Multiplikation mit Null ergibt immer den Nullvektor.Anstatt Vielfaches (oder Anteil) einer Verschiebung kann man sich genauso einen um den Faktor r gestreckten (oder gestauchten) Vektor vorstellen.KollinearitätZwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie Vielfache ...
  10. Linearkombination von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Linearkombination von Vektoren
    ... bezeichnen wir eine Addition von Vektoren und/oder Vielfachen davon.So wäre eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zum Beispiel $3\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{b} + 3\cdot\vec{c}$. Eine andere ist $\vec{a} – 3\cdot\vec{b} + 5\cdot\vec{c}$.Allgemein gilt: $r\cdot\vec{a} + s\cdot\vec{b} + t\cdot\vec{c}$.Wenn als Vektoren zum Beispiel $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}$ ...
  11. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
    ... anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss.Beispiel des Nachweises einer linearen AbhängigkeitSind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ linear abhängig?Die Frage ist gleichbedeutend ...
  12. Geraden
    Geraden
    ... mit Geraden umzugehen, benötigen wir Vektoren und das Wissen darüber, wie wir mit ihnen rechnen können.
  13. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Fallunterscheidung Geraden
    ... wir wie folgt vorgehen:Sind ihre Richtungsvektoren kollinear?a) Ja: Die Geraden sind parallel oder identisch.b) Nein: Die Geraden sind windschief zueinander oder sie schneiden sich.Im Fall a) überprüfen wir, ob ein beliebiger Punkt (zum Beispiel der Aufpunkt) der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt (siehe Stichwort „Punktprobe“ im Kapitel „Punkte und Geraden“). Ist dies der Fall, so sind sie identisch, ansonsten sind sie parallel.Im Fall b) schauen ...
  14. Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    ... wir noch weitere Eigenschaften der Vektoren bzw. brauchen wir mehr Möglichkeiten, wie man mit Vektoren arbeiten kann.Bisher haben wir Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen.Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, also eine normierte Standardeinheit. ...
  15. Normierung eines Vektors
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Normierung eines Vektors
    Um später mit Vektoren Messungen anstellen zu können, müssen wir über ihren Betrag Bescheid wissen.Den Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles ermittelt man durch $|\vec{v}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn $|\vec{v}|=1$.Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die „Länge“ ...
  16. Skalarprodukt zweier Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Skalarprodukt zweier Vektoren
    Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik ...
  17. Vektoren und Winkel
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel
    ... man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander. Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:$\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $. Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ gilt:$\cos{\alpha} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot ...
  18. Vektorprodukt / Kreuzprodukt
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektorprodukt / Kreuzprodukt
    Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird.Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$.Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ...
  19. Ebenen in der analytischen Geometrie
    Ebenen in der analytischen Geometrie
    ... die einen Punkt der Ebene und zwei Richtungsvektoren benötigtdie Normalenform, die - wie der Name schon sagt - mit einem zur Ebene orthogonalen Vektor arbeitetdie Koordinatenform, die in ihrer Darstellung am ehesten an die Analysis erinnert.Da jede Darstellungsform ihre Stärken in anderen Aufgabenbereichen hat können wir sie natürlich auch ineinander umformen und uns so das jeweils nötige mathematische Rüstzeug bereitstellen.Zwar ist nicht in jedem Bundesland zwingend ...
  20. Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Ebene mit Sttz- und Spannvektoren
    ... von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen.Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor ...
  21. Normalenform einer Ebene
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Normalenform einer Ebene
    Ebene in Normalenform
    ... Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die orthogonal zueinander stehen, ist Null.Überlegung: Jeder Vektor, der in der Ebene liegt, ist senkrecht zu obigem Normalenvektor. Und jeder Vektor zwischen zwei beliebigen Punkten der Ebene liegt in der Ebene.Folgerung: Jeder beliebige Punkt der Ebene kann beschrieben werden durch ein Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Verbindungsvektor des Punktes zu einem bekannten Punkt der Ebene. Dieses Skalarprodukt ...
  22. Ebenengleichungen umwandeln
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Ebenengleichungen umwandeln
    ... die Normalengleichung. Zu den beiden Spannvektoren suchen wir einen orthogonalen Vektor, den wir als Normalenvektor in die Gleichung schreiben.Den Normalenvektor erhalten wir entweder durch Lösen des Gleichungssystems, das sich aus den Skalarprodukten ergibt, oder direkt durch Anwenden des Vektorprodukts. Im folgenden Beispiel sind beide Wege dargestellt.Unsere Ebene E soll die Punkte A(0|0|-2), B(1|1|3) und C(2|0|2) enthalten. Eine mögliche Angabe in Parameterform ist dann $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r ...
  23. Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    ... die Fälle durch Betrachten der Richtungsvektoren und dem Versuch eines Schnittes (vgl. Kapitel Geraden).Gerade – EbeneEine Gerade kann in einer Ebene liegen, parallel zu einer Ebene verlaufen oder aber die Ebene in einem Punkt S schneiden. Um die Fälle unterscheiden zu können, setzt man Geraden- und Ebenengleichung gleich und betrachtet die Lösungsmengen: Bei genau einer Lösung gibt es genau einen Schnittpunkt* (Fall 3), hat die Gleichung bzw. das Gleichungssystem ...
  24. Abstände von Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Ebenen
    ... identisch sind. Ersteres zeigen uns die Normalenvektoren $\vec{n_E}= \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}$ und $\vec{n_H}= \begin{pmatrix} -2\\4\\-4 \end{pmatrix}$, die kollinear sind, denn es gilt $\vec{n_H} = -2 \cdot \vec{n_E}$.Wählt man ein Punkt auf E, zum Beispiel P(3|0|0), sieht man leicht, dass P nicht auch auf H liegt, denn $-2 \cdot 3 = -6 \neq -42$.Wir wählen einen Punkt auf E - zum Beispiel P(3|0|0) - und bestimmen seinen Abstand zur Ebene H. Hierzu nutzen wir die Hessesche ...
  25. Schnitte
    Schnitte
    ... liegen? Oder anders ausgedrückt: Welche Vektoren $\vec{x}$ erfüllen die eine und die andere Gleichungsbedingung? Mathematisch gesehen entspricht das einem Gleichsetzen der Bedingungen und je nach vorliegenden Gleichungen geht man entsprechend vor. Bleibt uns letztlich, das Ergebnis noch zu deuten: Exakt eine Lösung bedeutet immer Schnittpunkt (und liefert dessen Koordinaten), keine Lösung heißt auch kein Schnitt und unendlich viele Lösungen weisen auf eine Identität ...
  26. Spiegelung an einem Punkt
    Spiegelungen > Spiegelung an einem Punkt
    ... übernimmt (bei der Parameterform) die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor (Normalenform) der ursprünglichen Ebene.
  27. Spiegelung an einer Geraden
    Spiegelungen > Spiegelung an einer Geraden
    ... der Bildebene und übernehmen die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor der ursprünglichen Ebene. Verlaufen Ebene und Geraden nicht parallel, so spiegelt man drei Punkte der Ebene an der Geraden und bastelt aus den drei neuen Bildpunkten die Bildebene (in Parameterform).
  28. Matrizen
    Matrizen
    ... m = n gilt, so heißt sie quadratisch.Auch Vektoren sind Matrizen!So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.
  29. Vervielfachen von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Vervielfachen von Matrizen
    Von Vektoren kennen wir bereits die Möglichkeit, diese zu vervielfachen, ohne dass sie in ihrer grundsätzlichen Bedeutung geändert werden. Hierbei ändert sich lediglich ihr Betrag, nicht aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie  zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht.Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert ...
  30. Übergangsmatrizen
    Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen
    ... genannt) gibt es keine Input- oder Outputvektoren. Stattdessen finden wir dort "Zustandsvektoren", die ein System zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben.Beispiele für solche Systeme finden sich viele:Schüler, die auf verschiedene Schulen gehenPopulationsentwicklungen (Altersstruktur)Verteilung von Mietwagen auf verschiedene Niederlassungen... .In den folgenden Abschnitten wollen wir uns näher mit den Übergangsmatrizen und beispielhaft mit ein paar möglichen Systemen ...
Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Molekularbiologie / Genetik

  1. Restriktionsenzyme
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Restriktionsenzyme
    ... Sichelzellanämie)Klonierung von Genen in VektorenKartierung von DNADas Video wird geladen...(molekularbiologie-restriktionsenzyme)
  2. Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
    Klonierung einer DNA-Information in einen bakteriellen Vektor.
    ... im molekularbiologischen Labor verwendeten Vektoren sind aus drei natürlich vorkommenden Vektoren entwickelt worden. Dabei wurde z. B. darauf geachtet, dass diese Vektoren nicht mehr zur Konjugation befähig sind. Vektoren, die im Labor zur Klonierung von Fremd-DNA eingesetzt werden, haben die Fähigkeit, sich eigenständig von Zelle zu Zelle auszutauschen bzw. sich dadurch zu verbreiten, verloren!Wahl des VektorsEntscheidet sich nach dem Grund für die Klonierung:Soll ...
  3. Transformation
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Transformation
    Nachweis einer gelungenen Transformation: auf dem Vektor kodierte Antibiotikaresistenzen werden durch Antibiotikazugabe im Medium sichtbar gemacht. Nur erfolgreich transformierte Bakterienzellen knnen wachsen.
    ... mit Resistenz können wachsen.StempeltechnikVektoren mit mehrfachen Antibiotikaresistenzen können zur Stempeltechnik eingesetzt werden.Besitzt ein Vektor neben dem "normalen" Sequenzabschnitt für eine Antibiotikaresistenz eine weitere, in der multiple-cloning-site lokalisierte, so kann dies für den Nachweis einer erfolgreichen Klonierung direkt eingesetzt werden.Bei erfolgreicher Klonierung wird die Antibiotika-Resistenz in der multiple-cloning-site zerstört.Mithilfe der ...
  4. cDNA
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > cDNA
    ... von E. coli Bakterien mit den jeweiligen Vektoren (A- oder B-Vektor)4. Schritt:Expression von A- bzw. B-Peptid in den Bakterien5. Schritt:Lyse der Bakterien, aufreinigen der Peptide (separat)6. SchrittMischen des A- und B-Peptid unter "Disulfid-Brücken-bildenden" Bedingungen. Insulineinheiten finden sich zum funktionellen Insulin zusammen!
  5. Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
    ... gewählt. Gentherapie und Einsatz viraler Vektoren sind hier Forschungsschwerpunkte.Historische BetrachtungVerfolgt man die Entwicklung von Wildpflanzen zu Kulturpflanzen, so wird schon seit Jahrtausenden manipuliert und optimiert. DNA wurde mehr durch Zufall und kluge Kombination als durch gezielte Manipulation verändert, aber manipulierte DNA gab es in der Landwirtschaft mit Sicherheit schon vor 5.000 Jahren.Was neu ist, ist die Kombination von Genen unterschiedlicher Organismen zur ...
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Elektromagnetismus

  1. Wellenausbreitung eines strahlenden Dipols
    Elektromagnetische Wellen > Hertzscher Dipol > Wellenausbreitung eines strahlenden Dipols
    Elektromagnetische Welle eines Dipols (Grundschwingung)
    ... Welle (siehe unterer Teil der Abbildung):Die Vektoren $\vec{E}$ (blauer Pfeil) und $\vec{B}$ (roter Pfeil) der elektrischen und magnetischen Feldstärke sind diejenigen Größen, welche eine Schwingung ausführen. Dieser Schwingungszustand pflanzt sich dann im Raum fort. Und dies ist ja gerade nach Definition das Charakteristikum einer Welle.Da die schwingenden Größen bei einer elektromagnetischen Welle $\vec{E}$ bzw. $\vec{B}$ und damit nicht materiell sind, braucht ...
  2. Polarisation
    Elektromagnetische Wellen > Eigenschaften elektromagnetischer Wellen > Polarisation
    Vektorzerlegung, Bestimmung der parallelen Feldkomponente
    ... und her. Damit schwingen alle elektrischen Feldvektoren in einer Ebene (in der obigen Zeichnung blau eingezeichnete Fläche).Wellen, die eine derartige (lineare) Schwingung des Vektors $\vec{E}$ aufweisen, bezeichnet man als linear polarisiert.$\vec{E}$-Feldkomponente parallel zum EmpfängerdipolWir wissen nun, dass es die zum Empfangsdipol parallele Komponente von $\vec{E}$ ist, welche die Schwingungen im Empfänger auslöst. Mit Hilfe einer einfachen Vektorzerlegung wie im Bild ...
Elektromagnetismus
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Ladungen und Felder

  1. Elektrische Ladungen und Felder
    Elektrische Ladungen und Felder
    ... physikalischen Anschauungsraum lassen sich die Vektoren komponentenweise ausschreiben. Man erhält damit folgende Darstellung:$\left(\begin{array}{c} F_x\\F_y\\F_z \end{array}\right)=q\left(\begin{array}{c} E_x\\E_y\\E_z\end{array}\right)$$F_x$, $F_y$ und $F_z$ sind dabei die Komponenten der Kraft in den Richtungen $x$, $y$ und $z$. Analog sind $E_x$, $E_y$ und $E_z$ Komponenten des elektrischen Feldes in den entsprechenden Richtungen.Das Video wird geladen...(feldstaerke-und-feldkraft)Da ...
  2. Elektrische Ströme und magnetische Felder
    Elektrische Ströme und magnetische Felder
    ... folgendes: Ist der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{B}$ von Null verschiedenen, so spannen die Vektoren eine Ebene des 3-dimensionalen Raumes auf. Damit ist die Richtung der Normalen (Vektor senkrecht zur Ebene und damit zu den beiden Vektoren) gegeben. Dies ist aber zu der Aussage äquivalent, dass die Lorentz-Kraft $\vec{F}$ in ihrer Richtung festgelegt wird. Nur ihr Richtungssinn und der Betrag müssen bestimmt werden.Aus den obigen Beobachtungen bezüglich ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Herleitung der Compton-Formel
    Welle-Teilchen-Dualismus > Compton-Effekt > Herleitung der Compton-Formel
    Streuung eines Photons an einem Elektron
    ... für das Skalarprodukt beliebiger Vektoren mit eingeschlossenem Winkel $\Theta$ folgende Herleitung$\vec{p}_{\gamma}-\vec{p}_{\gamma^{'}}=\vec{p^{'}_{e}}\quad \Rightarrow (\vec{p}_{\gamma}-\vec{p}_{\gamma^{'}})^2=\vec{p}^2_{\gamma}-2\vert \vec{p}_{\gamma}\vert \vert\vec{p}_{\gamma^{'}}\vert\cos\Theta+\vec{p}^2_{\gamma^{'}}=\vec{p^{'}_{e}}^2$,wobei man nun die Energie-Impuls-Relation $E=\vert\vec{p}\vert c$ für Photonen und die in der Tabelle aufgeführte Formel $E^{'}_{e}=\sqrt{m_{e}^2c^4+c^2\vec{p^{'}_{e}}^2}$ ...
Quanteneffekte & Struktur der Materie
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Webinare

  1. Geraden - Gegenseitige Lage bestimmen, Schnitt von Geraden, Anwendungsaufgaben
    ...as Arbeiten mit Geraden. Durch Kombination zweier Vektoren (Stütz- und Richtungsvektor) lassen sich Geraden im Raum beschreiben. Und damit rechnen! So können wir ohne eine Zeichnung anzufertigen rechnerisch klären, ob Geraden parallel zueinander sind, sich schneiden oder gar „windschief“ im Raum liegen. Die Rechenmethoden dazu werden erläutert, die Aufgaben im Detail betrachtet und Lösungsstrategien zum „Knacken“ der Aufg...
  2. Vektoren und Geraden
    ...den" ausgewählt. Ein kurze Wiederholung der Grundlagen führt in das Seminar ein. Anhand von ausgewählten Abituraufgaben zeigt er Euch Lösungsstrategien und Herangehensweisen für diesen Aufgabentyp. Ihr könnt Eure Fragen per Chatfenster stellen oder auch direkt mit Andreas während des Seminars reden und Matheproblem klären. Wir freuen uns auf Eure Teilnahme!...