Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
... wir noch weitere Eigenschaften der Vektoren bzw. brauchen wir mehr Möglichkeiten, wie man mit Vektoren arbeiten kann.Bisher haben wir Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen.Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, also eine normierte Standardeinheit. ... -
Was sind Vektoren?
Einleitung und Grundlagen > Was sind Vektoren?
Was ist das, ein Vektor?Ein Vektor entspricht einer Verschiebung im Raum und kann durch einen Pfeil dargestellt werden.Vektoren im ZweidimensionalenIm 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“). Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim ... -
Addition und Subtraktion von Vektoren
Rechnen mit Vektoren > Addition und Subtraktion von Vektoren
Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln.Addition von VektorenWir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 ...Begriff des Vektorraums
Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums
... bei.In der linearen Algebra arbeiten wir mit Vektorräumen (oder auch linearen Räumen). Darunter verstehen wir nicht zwangsläufig ein kartesisches dreidimensionales Koordinatensystem, wie man umgangsprachlich mit dem Begriff "Raum" vielleicht verknüpfen möchte. Vielmehr ist ein Vektorraum einfach eine algebraische Struktur, die bestimmten Regeln gehorcht.Vektoren sind die grundlegenden Elemente eines Vektorraumes. Die Einträge eines Vektors stammen wieder aus einem ...Vektorraum - Basis und Dimension
Einleitung und Grundlagen > Vektorraum - Basis und Dimension
Wichtiger für uns (beim Thema Vektorraum) sind die Begriffe Basis und Dimension.Als Basis eines linearen Vektorraumes bezeichnen wir die Elemente (Vektoren), aus denen durch Linearkombination alle Elemente des Raumes gebildet werden können.Im Dreidimensionalen besteht eine mögliche (und die einfachste dazu) Basis aus den Einheitsvektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$. ...Betrag eines Vektors berechnen
Rechnen mit Vektoren > Betrag eines Vektors berechnen
... einer gewissen Wichtigkeit ist der Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles. So hat ein Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ logischerweise den Betrag 1, der Vektor $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ den Betrag 2 usw. Der Vektor $\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ allerdings hat nicht die Länge 2+1+2=5 Längeneinheiten (LE). Die Einträge „zeigen“ ja in unterschiedliche Richtungen! Wie lang ist aber nun der „resultierende ...Normierung eines Vektors
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Normierung eines Vektors
Um später mit Vektoren Messungen anstellen zu können, müssen wir über ihren Betrag Bescheid wissen.Den Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles ermittelt man durch $|\vec{v}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn $|\vec{v}|=1$.Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die „Länge“ ...Vielfache von Vektoren bilden
Rechnen mit Vektoren > Vielfache von Vektoren bilden
Wenn wir mit dem Vielfachen eines Vektors zu tun haben, so bedeutet das nichts anderes als eine mehrfach ausgeführte Verschiebung.$3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}$ bedeutet eine Verschiebung von $3 \cdot 2$ in x1-Richtung, $3 \cdot 1$ in x2-Richtung und $3 \cdot 5$ in x3-Richtung.Es gilt also $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\3\\15\end{pmatrix}$.Dasselbe gilt natürlich auch, wenn ...Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
Rechnen mit Vektoren > Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
Ist ein Vektor durch eine Linearkombination zweier anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss.Beispiel des Nachweises einer linearen AbhängigkeitSind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ ...Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird.Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$.Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ...Skalarprodukt zweier Vektoren
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Skalarprodukt zweier Vektoren
Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik ...Vektoren und Winkel
Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel
... man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander. Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:$\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $. Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ gilt:$\cos{\alpha} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot ...Normalenform einer Ebene
Ebenen in der analytischen Geometrie > Normalenform einer Ebene
... Zu jeder Ebene gibt es einen Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Diesen Vektor nennen wir „Normalenvektor“ der Ebene. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, von welcher Stelle auf der Ebene aus man das betrachtet. Nur die Richtung zählt!Überlegung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die orthogonal zueinander stehen, ist Null.Überlegung: Jeder Vektor, der in der Ebene liegt, ist senkrecht zu obigem Normalenvektor. Und jeder Vektor zwischen ...Linearkombination von Vektoren
Rechnen mit Vektoren > Linearkombination von Vektoren
... bezeichnen wir eine Addition von Vektoren und/oder Vielfachen davon.So wäre eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zum Beispiel $3\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{b} + 3\cdot\vec{c}$. Eine andere ist $\vec{a} – 3\cdot\vec{b} + 5\cdot\vec{c}$.Allgemein gilt: $r\cdot\vec{a} + s\cdot\vec{b} + t\cdot\vec{c}$.Wenn als Vektoren zum Beispiel $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}$ ...Abstände von Geraden
Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden
... Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden.Abstand zweier windschiefer Geraden g und hDer anspruchsvollste (und am seltensten gefragte) Fall. Hierbei müssen wir die Punkte G auf g und H auf h suchen, an denen sich die Geraden am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Verbindungsvektor ...Vervielfachen von Matrizen
Rechenregeln für Matrizen > Vervielfachen von Matrizen
Von Vektoren kennen wir bereits die Möglichkeit, diese zu vervielfachen, ohne dass sie in ihrer grundsätzlichen Bedeutung geändert werden. Hierbei ändert sich lediglich ihr Betrag, nicht aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht.Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert ...Rechnen mit Vektoren
Rechnen mit Vektoren
... Abschnitten damit auseinandergesetzt haben was Vektoren eigentlich sind, lernen wir nun mit ihnen umzugehen.Wir werden Vektoren addieren und subtrahieren, sie strecken und stauchen. Ihren Betrag bestimmen oder sie auf eine vorgegebene Länge bringen. Wir werden sie kombinieren, einen durch andere ersetzen und sie in Verhältnisse zueinander stellen.Wir werden uns also genau die Fertigkeiten aneignen, die wir dann brauchen, um einfache Figuren im Raum beschreiben und mit ihnen arbeiten ...Vektor zwischen zwei Punkten
Rechnen mit Vektoren > Vektor zwischen zwei Punkten
Wie können wir einen Vektor angeben, der von einem Punkt zum nächsten zeigt? Das ist jetzt kein Problem mehr. Wir betrachten wieder einzeln die Koordinaten der Punkte und schauen uns deren Differenz an.Vektor zwischen zwei PunktenVon Punkt P(3|1|4) zu Punkt Q(4|4|3).In x1-Richtung: von 3 zu 4 entspricht 4-3=1 (1 nach vorne).In x2-Richtung: von 1 zu 4 entspricht 4-1=3 (3 nach rechts) undin x3-Richtung: von 4 zu 3 entspricht 3-4=-1 (1 nach unten).Mathematisch korrekt beschreiben wir diese ...Spiegelung an einem Punkt
Spiegelungen > Spiegelung an einem Punkt
... werden, so brauchen wir lediglich den Vektor $\overrightarrow{PS}$. Mit diesem gelangen wir vom Punkt P zum Punkt S. Um in derselben Richtung dieselbe Strecke auf der anderen Seite von S zurückzulegen, gehen wir einfach noch einmal diesen Vektor und landen dann beim gesuchten Punkt P'. Für den Punkt P' gilt also:Ortsvektor von P' = Ortsvektor von P + 2mal Verbindungsvektor von P nach S oder mathematisch $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS}$.Der ...Verflechtungsmatrizen
Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen
... diese benötigt.Gesucht ist also der Input(-vektor), der aus dem Output(-vektor) und der zugehörigen Verflechtungsmatrix durch Multiplikation berechnet werden kann.Ist R der Inputvektor, P der Outputvektor und B die Verflechtungsmatrix, gilt $R = B \cdot P$.Die größte (und eigentlich einzige) Schwierigkeit liegt darin, die Verflechtungs- bzw. Bedarfsmatrix richtig aufzustellen. Das wollen wir im folgenden Kapitel üben.Einleitung und Grundlagen
Einleitung und Grundlagen
... beschäftigt sich (ganz allgemein) mit Vektoren, Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen. Wir werden hieraus besonders die Regeln für das Rechnen mit Vektoren und das Aufstellen und Lösen Linearer Gleichungssysteme benötigen.In der Analytischen Geometrie versuchen wir geometrische Fragestellungen mithilfe von Rechenverfahren – oft aus der Linearen Algebra – zu beantworten. So können wir die Aufgaben meistens ohne Anschauung (Zeichnung) ...Zustandsvektoren
Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Zustandsvektoren
Wie der Name schon sagt, werden in einem Zustandsvektor die "Zustände" eines Systems dargestellt. Für den ersten Zustand hat sich auch der Begriff "Startvektor" eingebürgert. Nach Multiplikation des Vektors mit der Übergangsmatrix erhält man den Zustand einen Schritt später.In unserem Beispiel beschreibt der Startvektor die Verteilung aller Leihwagen auf die Stationen A, B und C. So könnten zu Beginn 150 Fahrzeuge in A, 240 in B und 120 in C sein. Der Startvektor ...Schnitt Ebene-Gerade
Schnitte > Schnitt Ebene-Gerade
... vorliegt. Dann setzen wir einfach für den Vektor $\vec{x}$ in der Ebenengleichung den Vektor $\vec{x}$ aus der Geradengleichung ein und lösen die entstehende Gleichung nach unserem Parameter auf. Ein kleines Beispiel mag dies verdeutlichen:Berechne den Schnittpunkt der Geraden g mit $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1\\-2\\1 \end{pmatrix}$ und der Ebene E, gegeben durch $3x_1+5x_2-2x_3={-1}$. Der ...Matrizen
Matrizen
... m = n gilt, so heißt sie quadratisch.Auch Vektoren sind Matrizen!So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.Aufstellen von Ebenen in Parameterform
Ebenen in der analytischen Geometrie > Aufstellen von Ebenen in Parameterform
... von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen.Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor ...Schnitte von Geraden
Geraden > Schnitte von Geraden
... – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält als Lösung also jeweils einen Wert für den Parameter t.Achtung: dieser ...Ebenengleichungen umwandeln
Ebenen in der analytischen Geometrie > Ebenengleichungen umwandeln
... die Normalengleichung. Zu den beiden Spannvektoren suchen wir einen orthogonalen Vektor, den wir als Normalenvektor in die Gleichung schreiben.Den Normalenvektor erhalten wir entweder durch Lösen des Gleichungssystems, das sich aus den Skalarprodukten ergibt, oder direkt durch Anwenden des Vektorprodukts. Im folgenden Beispiel sind beide Wege dargestellt.Unsere Ebene E soll die Punkte A(0|0|-2), B(1|1|3) und C(2|0|2) enthalten. Eine mögliche Angabe in Parameterform ist dann $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r ...Geraden
Geraden
... mit Geraden umzugehen, benötigen wir Vektoren und das Wissen darüber, wie wir mit ihnen rechnen können.Spiegelungen
Spiegelungen
... eines zu einer gegebenen Ebene orthogonalen Vektors.Schnitte
Schnitte
... liegen? Oder anders ausgedrückt: Welche Vektoren $\vec{x}$ erfüllen die eine und die andere Gleichungsbedingung? Mathematisch gesehen entspricht das einem Gleichsetzen der Bedingungen und je nach vorliegenden Gleichungen geht man entsprechend vor. Bleibt uns letztlich, das Ergebnis noch zu deuten: Exakt eine Lösung bedeutet immer Schnittpunkt (und liefert dessen Koordinaten), keine Lösung heißt auch kein Schnitt und unendlich viele Lösungen weisen auf eine Identität ...Ebenen in der analytischen Geometrie
Ebenen in der analytischen Geometrie
... die einen Punkt der Ebene und zwei Richtungsvektoren benötigtdie Normalenform, die - wie der Name schon sagt - mit einem zur Ebene orthogonalen Vektor arbeitetdie Koordinatenform, die in ihrer Darstellung am ehesten an die Analysis erinnert.Da jede Darstellungsform ihre Stärken in anderen Aufgabenbereichen hat können wir sie natürlich auch ineinander umformen und uns so das jeweils nötige mathematische Rüstzeug bereitstellen.Zwar ist nicht in jedem Bundesland zwingend ...Spiegelung an einer Ebene
Spiegelungen > Spiegelung an einer Ebene
... muss können wir einfach den Richtungsvektor der ursprünglichen Geraden übernehmen.Wenn die Gerade die Spiegelebene schneidet wird es ein bisschen anspruchsvoller. Zuerst bestimmt man den Schnittpunkt S der Geraden mit der Ebene. Dann wählt man sich einen beliebigen anderen Punkt P der Geraden. Anschließend spiegeln wir diesen Punkt an der Ebene und nehmen den Bildpunkt P' als Aufpunkt der gespiegelten Geraden. Da ursprüngliche und gespiegelte Gerade ja denselben ...Beschreibung
Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Beschreibung
... Übergangsmatrix auf einen Zustandsvektor geht das System in einen anderen Zustand über. Man multipliziert also die entsprechende Matrix mit dem Zustandsvektor und erhält einen neuen Vektor, der den Zustand einen Schritt weiter beschreibt.Um die Übergangsmatrix zu erstellen benötigen wir Informationen über die Übergänge selbst. Diese liegen häufig (wie bei Verflechtungsmatrizen auch) in Diagrammform vor. Die Einträge der Matrix stellen Übergangswahrscheinlichkeiten ...
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Molekularbiologie / Genetik
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Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
... eines DNA-Fragments (Insert) in einen Vektor (oder Plasmid).Schema einer Klonierung. Insert und Vektor müssen Restriktionsverdau, Dephosphorylierung und Ligation erfolgreich überstehen um ein neues Insert-Vektor-Konstrukt zu bilden.DNA-Fragment = InsertVektor oder Plasmid: zirkuläre extrachromosomale DNA, in der Regel in Bakterien zu finden, aber auch für Eukaryoten (z. B. Hefen) verfügbar. Der Vektor oder das ... -
Transformation
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Transformation
... E.-coli-BakterienDamit die Bakterienzellen den Vektor aufnehmen können, muss eine Transformation durchgeführt werden. Sie kennen diesen Begriff bereits von den Experimenten, die Griffith durchgeführt hatte.Transformation steht für verändern. Durch das Einbringen des Vektors wird die Bakterienzelle verändert, also transformiert.Das Video wird geladen...(molekularbiologie-transformation)Transformation = VeränderungErinnern Sie sich nochmals an das Experiment von ... -
cDNA
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > cDNA
... der A- und B-Peptide in E.coli (jeweils ein Vektor für ein Peptid).3. Schritt:Transformation von E. coli Bakterien mit den jeweiligen Vektoren (A- oder B-Vektor)4. Schritt:Expression von A- bzw. B-Peptid in den Bakterien5. Schritt:Lyse der Bakterien, aufreinigen der Peptide (separat)6. SchrittMischen des A- und B-Peptid unter "Disulfid-Brücken-bildenden" Bedingungen. Insulineinheiten finden sich zum funktionellen Insulin zusammen! -
Klonierung
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung
... einer DNA-Information in einen bakteriellen Vektor. -
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
... Methoden.Klonierung von DNA in einen VektorEinsatz von RestriktionsenzymenPrinzip des GentransfersPolymerase-Kettenreaktion (PCR)genetischer FingerabdruckGelelektrophorese (Agarosegel)Diagnose einer Erbkrankheit mittels molekularbiologischer Techniken -
Restriktionsenzyme
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Restriktionsenzyme
... Sichelzellanämie)Klonierung von Genen in VektorenKartierung von DNADas Video wird geladen...(molekularbiologie-restriktionsenzyme) -
Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
... gewählt. Gentherapie und Einsatz viraler Vektoren sind hier Forschungsschwerpunkte.Historische BetrachtungVerfolgt man die Entwicklung von Wildpflanzen zu Kulturpflanzen, so wird schon seit Jahrtausenden manipuliert und optimiert. DNA wurde mehr durch Zufall und kluge Kombination als durch gezielte Manipulation verändert, aber manipulierte DNA gab es in der Landwirtschaft mit Sicherheit schon vor 5.000 Jahren.Was neu ist, ist die Kombination von Genen unterschiedlicher Organismen zur ...
Ladungen und Felder
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Elektrische Ströme und magnetische Felder
Elektrische Ströme und magnetische Felder
... beschreibt man das magnetische Feld durch eine vektorielle Feldgröße.Die vektorielle Feldgröße $\vec{B}$Das Magnetfeld wird durch die so genannte magnetische Flussdichte $\vec{B}$ beschrieben. Die Einheit, in der diese Größe üblicherweise angegeben wird, ist Tesla (T):$1 T=1\frac{Wb}{m^2}=1\frac{Vs}{m^2}$Man sagt auch, dass 1 Tesla (T) der Flächendichte eines homogenen magnetischen Flusses der Stärke 1 Weber (Wb) entspricht. Da die Einheit Weber ... -
Elektrische Ladungen und Felder
Elektrische Ladungen und Felder
... lässt sich durch eine Größe (Vektor) in Abhängigkeit von Raum und Zeit beschreiben, die man als Feldstärke bezeichnet. Jenes Kraftfeld führt dann dazu, dass ein entsprechender Probekörper im Raum eine Kraft verspürt.Die zum elektrischen Feld gehörige elektrische Feldstärke wird per Konvention mit $\vec{E}$ bezeichnet.Es zeigt sich, dass die auf einen Körper ausgeübte elektrische Kraft $\vec{F}$ mit der elektrischen Ladung $q$ zusammenhängt, ... -
Radialsymmetrisches Feld
Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Radialsymmetrisches Feld
... sich die Ladungen befinden.Man kann auch die vektorielle Form des Coulombschen Gesetzes herleiten: Lässt man die Ladung $Q$ zum Beispiel im Punkt $(0,0,0)$ des Raumes fest und bewegt nur die Ladung $q$ entlang eines konstanten Abstandes $r$, so bleibt auch die Kraft betragsmässig konstant. Die Kraft muss dabei in Richtung der Verbindungslinie der beiden Ladungen wirken. Die Richtung jener Verbindungslinie wird aber gerade durch den Vektor $\vec{r}$ beschrieben, den man so darstellen ... -
Elektrische Feldkonfigurationen
Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen
Da das elektrische Feld durch einen Vektor $\vec{E}$ beschrieben wird, hat es bekanntlich sowohl einen Betrag als auch eine Richtung. Zwei besonders relevante Feldkonfigurationen wollen wir in den folgenden Abschnitten betrachten; es handelt sich um das radialsymmetrische und das homogene elektrische Feld. Aufgrund des vektoriellen Charakters der Feldgröße lassen sich Feldlinienbilder skizzieren, die einen Eindruck vom Verlauf des Feldes vermitteln.Durch diese Betrachtung lässt sich ... -
Feldkonzept- allgemeiner Überblick
Feldkonzept- allgemeiner Überblick
... ein Skalar (Zahlenwert) oder auch durch einen Vektor dargestellt werden.Je nach dieser Zuordnung spricht man dann von Skalarfeld bzw. Vektorfeld.Mathematische PräzisierungNehmen wir an, dass eine physikalische Größe $A$ in Abhängigkeit von Raum- und Zeitkoordinaten beschreibbar ist. Dann nennen wir sie Feldgröße und schreiben$A=\Phi(x,y,z,t)$.Klassifikation der FeldgrößeWobei $\Phi$ ein Skalarfeld darstellt, wenn $A$ richtungsunabhängig ist. $\Phi$ ...
Elektromagnetismus
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Induktion- Magnetischer Fluss
Elektromagnetische Induktion > Induktion- Magnetischer Fluss
... Fluss $\Phi$ ist das Skalarprodukt aus dem Vektor der magnetischen Flussdichte $\vec{B}$ und dem Vektor $\vec{A}$.$\Phi=\vec{B}\cdot \vec{A}=B\cdot A\cdot \cos{\alpha}$Der Vektor $\vec{A}$ steht dabei senkrecht auf der Leiterschleife und sein Betrag ist genau gleich der Fläche $A$ der Leiterschleife.Die Einheit des magnetischen Flusses ist$[\Phi]=1 Tm^2=1 Wb$, $T$ steht für Tesla und $Wb$ für Weber.Es ist für bestimmte Rechungen empfehlenswert das Skalarprodukt mit Hilfe ... -
Polarisation
Elektromagnetische Wellen > Eigenschaften elektromagnetischer Wellen > Polarisation
... nur wenn es eine parallele Komponente des Feldvektors $\vec{E}$ zum Empfangsdipol gibt, kommt es zu Schwingungen von Ladungen und damit zu einem von Null verschiedenen Empfang im Dipol. In paralleler Stellung beider Dipole ist dies vollständig der Fall und der Empfangsdipol wird voll angeregt. In senkrechter Stellung scheint es gar keine parallele Komponente des E-Feldes zu geben.Die Erscheinung deutet auf einen ganz bestimmten Verlauf des elektrischen Feldvektors $\vec{E}$.Definition Lineare ...
Webinare
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Analytische Geometrie und Vektorrechnung - perfekt vorbereitet für dein Mathe-Abi!
...ytische Geometrie und Vektorrechnung für dein Mathe-Abi! Auf folgende Themen werden wir hierbei eingehen: Lineare Gleichungssysteme Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Orts- und Lagebeziehungen Skalarprodukt, Kreuzprodukt Parameterform, Koordinatenform, Geraden- und Ebenengleichungen Neben vielen hilfreichen Übungen, Hinweisen und Tipps kannst du natürlich auch Fragen&nb... -
Analysis - perfekt vorbereitet für dein Mathe-Abi!
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Analytische Geometrie und Vektorrechnung - perfekt vorbereitet für dein Mathe-Abi!
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Crashkurs Geometrie: Vektorrechnung - für dein Mathe-Abitur!
... die Vektorrechnung! Kevin geht mit dir detailliert auf die wichtigsten Themen aus der Analytische Geometrie und der Lineare Algebra ein, insbesondere: Lineare Gleichungssysteme lösen Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte, insbesondere die Anwendung von Vektorrechnung Lagebeziehungen Skalarprodukt Zu allen Themen werden die besonders ... -
Geraden - Gegenseitige Lage bestimmen, Schnitt von Geraden, Anwendungsaufgaben
...as Arbeiten mit Geraden. Durch Kombination zweier Vektoren (Stütz- und Richtungsvektor) lassen sich Geraden im Raum beschreiben. Und damit rechnen! So können wir ohne eine Zeichnung anzufertigen rechnerisch klären, ob Geraden parallel zueinander sind, sich schneiden oder gar „windschief“ im Raum liegen. Die Rechenmethoden dazu werden erläutert, die Aufgaben im Detail betrachtet und Lösungsstrategien zum „Knacken“ der Aufg... -
Arbeiten mit Vektoren - Abstände und Winkel
...en wir uns mit den Grundlagen und Anwendungen der Vektorrechnung, beschreiben und arbeiten mit Geraden und Ebenen und stellen die wichtigsten Aufgabentypen mit den entsprechenden Lösungsstrategien für das Abitur vor. Das Erarbeitete wird direkt im Webinar vertieft und geübt, Fragen können natürlich jederzeit im Online-Chat gestellt werden. Jetzt anmelden!... -
Arbeiten mit Vektoren - Abstände und Winkel
...en wir uns mit den Grundlagen und Anwendungen der Vektorrechnung, beschreiben und arbeiten mit Geraden und Ebenen und stellen die wichtigsten Aufgabentypen mit den entsprechenden Lösungsstrategien für das Abitur vor. Das Erarbeitete wird direkt im Webinar vertieft und geübt, Fragen können natürlich jederzeit im Online-Chat gestellt werden. Jetzt anmelden!... -
Vektoren und Geraden
...den" ausgewählt. Ein kurze Wiederholung der Grundlagen führt in das Seminar ein. Anhand von ausgewählten Abituraufgaben zeigt er Euch Lösungsstrategien und Herangehensweisen für diesen Aufgabentyp. Ihr könnt Eure Fragen per Chatfenster stellen oder auch direkt mit Andreas während des Seminars reden und Matheproblem klären. Wir freuen uns auf Eure Teilnahme!...
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