Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Einleitung und Grundlagen
    Einleitung und Grundlagen
    ... beschäftigt sich (ganz allgemein) mit Vektoren, Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen. Wir werden hieraus besonders die Regeln für das Rechnen mit Vektoren und das Aufstellen und Lösen Linearer Gleichungssysteme benötigen.In der Analytischen Geometrie versuchen wir geometrische Fragestellungen mithilfe von Rechenverfahren – oft aus der Linearen Algebra – zu beantworten. So können wir die Aufgaben meistens ohne Anschauung (Zeichnung) ...
  2. Was sind Vektoren?
    Einleitung und Grundlagen > Was sind Vektoren?
    Vektor als Verschiebung
    Was ist das, ein Vektor?Ein Vektor entspricht einer Verschiebung im Raum und kann durch einen Pfeil dargestellt werden.Vektoren im ZweidimensionalenIm 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“). Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim ...
  3. Begriff des Vektorraums
    Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums
    ... bei.In der linearen Algebra arbeiten wir mit Vektorräumen (oder auch linearen Räumen). Darunter verstehen wir nicht zwangsläufig ein kartesisches dreidimensionales Koordinatensystem, wie man umgangsprachlich mit dem Begriff "Raum" vielleicht verknüpfen möchte. Vielmehr ist ein Vektorraum einfach eine algebraische Struktur, die bestimmten Regeln gehorcht.Vektoren sind die grundlegenden Elemente eines Vektorraumes. Die Einträge eines Vektors stammen wieder aus einem ...
  4. Vektorraum - Basis und Dimension
    Einleitung und Grundlagen > Vektorraum - Basis und Dimension
    Wichtiger für uns (beim Thema Vektorraum) sind die Begriffe Basis und Dimension.Als Basis eines linearen Vektorraumes bezeichnen wir die Elemente (Vektoren), aus denen durch Linearkombination alle Elemente des Raumes gebildet werden können.Im Dreidimensionalen besteht eine mögliche (und die einfachste dazu) Basis aus den Einheitsvektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$. ...
  5. Rechnen mit Vektoren
    Rechnen mit Vektoren
    ... Abschnitten damit auseinandergesetzt haben was Vektoren eigentlich sind, lernen wir nun mit ihnen umzugehen.Wir werden Vektoren addieren und subtrahieren, sie strecken und stauchen. Ihren Betrag bestimmen oder sie auf eine vorgegebene Länge bringen. Wir werden sie kombinieren, einen durch andere ersetzen und sie in Verhältnisse zueinander stellen.Wir werden uns also genau die Fertigkeiten aneignen, die wir dann brauchen, um einfache Figuren im Raum beschreiben und mit ihnen arbeiten ...
  6. Addition und Subtraktion von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Addition und Subtraktion von Vektoren
    Addition zweier Vektoren
    Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln.Addition von VektorenWir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 ...
  7. Vektor zwischen zwei Punkten
    Rechnen mit Vektoren > Vektor zwischen zwei Punkten
    Vektor zwischen zwei Punkten P und Q
    Wie können wir einen Vektor angeben, der von einem Punkt zum nächsten zeigt? Das ist jetzt kein Problem mehr. Wir betrachten wieder einzeln die Koordinaten der Punkte und schauen uns deren Differenz an.Vektor zwischen zwei PunktenVon Punkt P(3|1|4) zu Punkt Q(4|4|3).In x1-Richtung: von 3 zu 4 entspricht 4-3=1 (1 nach vorne).In x2-Richtung: von 1 zu 4 entspricht 4-1=3 (3 nach rechts) undin x3-Richtung: von 4 zu 3 entspricht 3-4=-1 (1 nach unten).Mathematisch korrekt beschreiben wir diese ...
  8. Betrag eines Vektors berechnen
    Rechnen mit Vektoren > Betrag eines Vektors berechnen
    ... einer gewissen Wichtigkeit ist der Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles. So hat ein Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ logischerweise den Betrag 1, der Vektor $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ den Betrag 2 usw. Der Vektor $\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ allerdings hat nicht die Länge 2+1+2=5 Längeneinheiten (LE). Die Einträge „zeigen“ ja in unterschiedliche Richtungen! Wie lang ist aber nun der „resultierende ...
  9. Vielfache von Vektoren bilden
    Rechnen mit Vektoren > Vielfache von Vektoren bilden
    Vielfache eines Vektors
    Wenn wir mit dem Vielfachen eines Vektors zu tun haben, so bedeutet das nichts anderes als eine mehrfach ausgeführte Verschiebung.$3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}$ bedeutet eine Verschiebung von $3 \cdot 2$ in x1-Richtung, $3 \cdot 1$ in x2-Richtung und $3 \cdot 5$ in x3-Richtung.Es gilt also $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\3\\15\end{pmatrix}$.Dasselbe gilt natürlich auch, wenn ...
  10. Linearkombination von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Linearkombination von Vektoren
    ... bezeichnen wir eine Addition von Vektoren und/oder Vielfachen davon.So wäre eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zum Beispiel $3\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{b} + 3\cdot\vec{c}$. Eine andere ist $\vec{a} – 3\cdot\vec{b} + 5\cdot\vec{c}$.Allgemein gilt: $r\cdot\vec{a} + s\cdot\vec{b} + t\cdot\vec{c}$.Wenn als Vektoren zum Beispiel $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}$ ...
  11. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
    Ist ein Vektor durch eine Linearkombination zweier anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss.Beispiel des Nachweises einer linearen AbhängigkeitSind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ ...
  12. Geraden
    Geraden
    ... mit Geraden umzugehen, benötigen wir Vektoren und das Wissen darüber, wie wir mit ihnen rechnen können.
  13. Aufstellen einer Geradengleichung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
    Gerade aus Punkt und Richtungsvektor
    ... Geradengleichung aus Stütz- und RichtungsvektorUm eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt.Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors kommen ...
  14. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... auch jedes Vielfache des Richtungsvektors als Richtungsvektor der Geraden dienen.Die Geradengleichung $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$ beschreibt dieselbe Gerade wie $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3\\6\\3 \end{pmatrix}$ oder $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$.
  15. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Fallunterscheidung Geraden
    ... wir wie folgt vorgehen:Sind ihre Richtungsvektoren kollinear?a) Ja: Die Geraden sind parallel oder identisch.b) Nein: Die Geraden sind windschief zueinander oder sie schneiden sich.Im Fall a) überprüfen wir, ob ein beliebiger Punkt (zum Beispiel der Aufpunkt) der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt (siehe Stichwort „Punktprobe“ im Kapitel „Punkte und Geraden“). Ist dies der Fall, so sind sie identisch, ansonsten sind sie parallel.Im Fall b) schauen ...
  16. Schnitte von Geraden
    Geraden > Schnitte von Geraden
    ... – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält als Lösung also jeweils einen Wert für den Parameter t.Achtung: dieser ...
  17. Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    ... wir noch weitere Eigenschaften der Vektoren bzw. brauchen wir mehr Möglichkeiten, wie man mit Vektoren arbeiten kann.Bisher haben wir Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen.Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, also eine normierte Standardeinheit. ...
  18. Normierung eines Vektors
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Normierung eines Vektors
    Um später mit Vektoren Messungen anstellen zu können, müssen wir über ihren Betrag Bescheid wissen.Den Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles ermittelt man durch $|\vec{v}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn $|\vec{v}|=1$.Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die „Länge“ ...
  19. Skalarprodukt zweier Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Skalarprodukt zweier Vektoren
    Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik ...
  20. Vektoren und Winkel
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel
    ... man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander. Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:$\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $. Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ gilt:$\cos{\alpha} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot ...
  21. Vektorprodukt / Kreuzprodukt
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektorprodukt / Kreuzprodukt
    Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird.Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$.Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ...
  22. Ebenen in der analytischen Geometrie
    Ebenen in der analytischen Geometrie
    ... die einen Punkt der Ebene und zwei Richtungsvektoren benötigtdie Normalenform, die - wie der Name schon sagt - mit einem zur Ebene orthogonalen Vektor arbeitetdie Koordinatenform, die in ihrer Darstellung am ehesten an die Analysis erinnert.Da jede Darstellungsform ihre Stärken in anderen Aufgabenbereichen hat können wir sie natürlich auch ineinander umformen und uns so das jeweils nötige mathematische Rüstzeug bereitstellen.Zwar ist nicht in jedem Bundesland zwingend ...
  23. Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Ebene mit Sttz- und Spannvektoren
    ... von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen.Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor ...
  24. Normalenform einer Ebene
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Normalenform einer Ebene
    Ebene in Normalenform
    ... Zu jeder Ebene gibt es einen Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Diesen Vektor nennen wir „Normalenvektor“ der Ebene. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, von welcher Stelle auf der Ebene aus man das betrachtet. Nur die Richtung zählt!Überlegung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die orthogonal zueinander stehen, ist Null.Überlegung: Jeder Vektor, der in der Ebene liegt, ist senkrecht zu obigem Normalenvektor. Und jeder Vektor zwischen ...
  25. Ebenengleichungen umwandeln
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Ebenengleichungen umwandeln
    ... die Normalengleichung. Zu den beiden Spannvektoren suchen wir einen orthogonalen Vektor, den wir als Normalenvektor in die Gleichung schreiben.Den Normalenvektor erhalten wir entweder durch Lösen des Gleichungssystems, das sich aus den Skalarprodukten ergibt, oder direkt durch Anwenden des Vektorprodukts. Im folgenden Beispiel sind beide Wege dargestellt.Unsere Ebene E soll die Punkte A(0|0|-2), B(1|1|3) und C(2|0|2) enthalten. Eine mögliche Angabe in Parameterform ist dann $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r ...
  26. Hessesche Normalenform
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Hessesche Normalenform
    ... diese Form zu bringen, normiert man den Normalenvektor in der Normalenform. Klar ist: der Normalenvektor bleibt senkrecht zur beschriebenen Ebene, er wird nur in seiner Länge verändert (normieren = stauchen/strecken auf die Länge 1!).Wählt man als Normalenvektor einer Ebene E einen Vektor der Länge 1, so bekommt man die Hesse’sche Normalenform $E:\quad (\vec{x}-\vec{p}) \cdot \vec{n_0} = 0$.Da $\vec{n_0}=\frac{1}{\left|\vec{n}\right|}\vec{n}$ ergibt sich für ...
  27. Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    ... die Fälle durch Betrachten der Richtungsvektoren und dem Versuch eines Schnittes (vgl. Kapitel Geraden).Gerade – EbeneEine Gerade kann in einer Ebene liegen, parallel zu einer Ebene verlaufen oder aber die Ebene in einem Punkt S schneiden. Um die Fälle unterscheiden zu können, setzt man Geraden- und Ebenengleichung gleich und betrachtet die Lösungsmengen: Bei genau einer Lösung gibt es genau einen Schnittpunkt* (Fall 3), hat die Gleichung bzw. das Gleichungssystem ...
  28. Abstände von Punkten
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Punkten
    ... entspricht dem Betrag ihres Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$.Die Punkte P(2|3|1) und Q(4|4|3) haben den Abstand $d=\left|\overrightarrow{PQ}\right| = \left| \begin{pmatrix}2\\1\\2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ Längeneinheiten.Abstand eines Punktes P von einer Geraden gHier benötigen wir eine kleine Hilfskonstruktion: Wir legen eine Ebene H durch den Punkt P, die zusätzlich senkrecht zur Geraden g ausgerichtet sein soll. Dies geht ...
  29. Abstände von Geraden
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden
    ... Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden.Abstand zweier windschiefer Geraden g und hDer anspruchsvollste (und am seltensten gefragte) Fall. Hierbei müssen wir die Punkte G auf g und H auf h suchen, an denen sich die Geraden am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Verbindungsvektor ...
  30. Abstände von Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Ebenen
    ... identisch sind. Ersteres zeigen uns die Normalenvektoren $\vec{n_E}= \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}$ und $\vec{n_H}= \begin{pmatrix} -2\\4\\-4 \end{pmatrix}$, die kollinear sind, denn es gilt $\vec{n_H} = -2 \cdot \vec{n_E}$.Wählt man ein Punkt auf E, zum Beispiel P(3|0|0), sieht man leicht, dass P nicht auch auf H liegt, denn $-2 \cdot 3 = -6 \neq -42$.Wir wählen einen Punkt auf E - zum Beispiel P(3|0|0) - und bestimmen seinen Abstand zur Ebene H. Hierzu nutzen wir die Hessesche ...
  31. Schnitte
    Schnitte
    ... liegen? Oder anders ausgedrückt: Welche Vektoren $\vec{x}$ erfüllen die eine und die andere Gleichungsbedingung? Mathematisch gesehen entspricht das einem Gleichsetzen der Bedingungen und je nach vorliegenden Gleichungen geht man entsprechend vor. Bleibt uns letztlich, das Ergebnis noch zu deuten: Exakt eine Lösung bedeutet immer Schnittpunkt (und liefert dessen Koordinaten), keine Lösung heißt auch kein Schnitt und unendlich viele Lösungen weisen auf eine Identität ...
  32. Schnitt Ebene-Gerade
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnitte > Schnitt Ebene-Gerade
    ... vorliegt. Dann setzen wir einfach für den Vektor $\vec{x}$ in der Ebenengleichung den Vektor $\vec{x}$ aus der Geradengleichung ein und lösen die entstehende Gleichung nach unserem Parameter auf. Ein kleines Beispiel mag dies verdeutlichen:Berechne den Schnittpunkt der Geraden g mit $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1\\-2\\1 \end{pmatrix}$ und der Ebene E, gegeben durch $3x_1+5x_2-2x_3={-1}$. Der ...
  33. Schnitt Ebene-Ebene
    Schnitte > Schnitt Ebene-Ebene
    ... 11 + t \cdot (-7) \end{align}$, was sich in Vektorschreibweise auch wie folgt schreiben lässt: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\8\\11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}$ und unserer gesuchten Geradengleichung entspricht.Das Schneiden zweier Ebenen ist auch Bestandteil einer Abituraufgabe, die im folgenden Video ausführlich gelöst wird:Das Video wird geladen ...
  34. Spiegelungen
    Spiegelungen
    ... eines zu einer gegebenen Ebene orthogonalen Vektors.
  35. Spiegelung an einem Punkt
    Spiegelungen > Spiegelung an einem Punkt
    ... werden, so brauchen wir lediglich den Vektor $\overrightarrow{PS}$. Mit diesem gelangen wir vom Punkt P zum Punkt S. Um in derselben Richtung dieselbe Strecke auf der anderen Seite von S zurückzulegen, gehen wir einfach noch einmal diesen Vektor und landen dann beim gesuchten Punkt P'. Für den Punkt P' gilt also:Ortsvektor von P' = Ortsvektor von P + 2mal Verbindungsvektor von P nach S oder mathematisch $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS}$.Der ...
  36. Spiegelung an einer Geraden
    Spiegelungen > Spiegelung an einer Geraden
    ... ist orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Das hilft uns schon ein Stück weiter, aber S haben wir damit noch nicht bestimmt. Wir greifen hier zu einem kleinen Trick...und konstruieren eine Ebene, die orthogonal zur Geraden liegt und den Punkt P enthält. Hier bietet sich das Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform an, den Richtungsvektor der Geraden benutzen wir als Normalenvektor unserer Hilfsebene.Der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden ist unser ...
  37. Spiegelung an einer Ebene
    Spiegelungen > Spiegelung an einer Ebene
    ... muss können wir einfach den Richtungsvektor der ursprünglichen Geraden übernehmen.Wenn die Gerade die Spiegelebene schneidet wird es ein bisschen anspruchsvoller. Zuerst bestimmt man den Schnittpunkt S der Geraden mit der Ebene. Dann wählt man sich einen beliebigen anderen Punkt P der Geraden. Anschließend spiegeln wir diesen Punkt an der Ebene und nehmen den Bildpunkt P' als Aufpunkt der gespiegelten Geraden. Da ursprüngliche und gespiegelte Gerade ja denselben ...
  38. Matrizen
    Matrizen
    ... m = n gilt, so heißt sie quadratisch.Auch Vektoren sind Matrizen!So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.
  39. Vervielfachen von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Vervielfachen von Matrizen
    Von Vektoren kennen wir bereits die Möglichkeit, diese zu vervielfachen, ohne dass sie in ihrer grundsätzlichen Bedeutung geändert werden. Hierbei ändert sich lediglich ihr Betrag, nicht aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie  zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht.Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert ...
  40. Multiplikation von Matrizen
    Rechenregeln für Matrizen > Multiplikation von Matrizen
    Matrizenmultiplikation
    ... durch die Skalarmultiplikation des i-ten Zeilenvektors von A mit dem k-ten Spaltenvektor von B.Es soll das Produkt $ A \cdot B$ aus den beiden Matrizen $A= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ gebildet werden. Die Anzahl der Spalten von A und der Zeilen von B sind identisch, das bedeutet eine Multiplikation ist möglich. Zur Berechnung des Produktes ordnen wir die ...
  41. Verflechtungsmatrizen
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen
    ... diese benötigt.Gesucht ist also der Input(-vektor), der aus dem Output(-vektor) und der zugehörigen Verflechtungsmatrix durch Multiplikation berechnet werden kann.Ist R der Inputvektor, P der Outputvektor und B die Verflechtungsmatrix, gilt $R = B \cdot P$.Die größte (und eigentlich einzige) Schwierigkeit liegt darin, die Verflechtungs- bzw. Bedarfsmatrix richtig aufzustellen. Das wollen wir im folgenden Kapitel üben.
  42. Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
    Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
    Diagramm
    ... produzierenden Regale schreiben wir als Outputvektor $\begin{pmatrix} 15 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}$. Um den Inputvektor bzw. die benötigten Rohstoffe herauszufinden müssen wir nur noch die Bedarfsmatrix mit dem Outputvektor multiplizieren: $B= \begin{pmatrix} 6 & 4 & 6 \\ 12 & 12 & 14 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 15 + 4 \cdot 9 + 6 \cdot 6 \\ 12 \cdot 15 + 12 \cdot 9 + 14 \cdot 6 \\ 2 \cdot ...
Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Molekularbiologie / Genetik

  1. Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
    ... Methoden.Klonierung von DNA in einen VektorEinsatz von RestriktionsenzymenPrinzip des GentransfersPolymerase-Kettenreaktion (PCR)genetischer FingerabdruckGelelektrophorese (Agarosegel)Diagnose einer Erbkrankheit mittels molekularbiologischer Techniken
  2. Klonierung
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung
    Klonierung einer DNA-Information in einen bakteriellen Vektor.
    ... einer DNA-Information in einen bakteriellen Vektor.
  3. Restriktionsenzyme
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Restriktionsenzyme
    ... Sichelzellanämie)Klonierung von Genen in VektorenKartierung von DNADas Video wird geladen...(molekularbiologie-restriktionsenzyme)
  4. Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
    Klonierung einer DNA-Information in einen bakteriellen Vektor.
    ... eines DNA-Fragments (Insert) in einen Vektor (oder Plasmid).Schema einer Klonierung. Insert und Vektor müssen Restriktionsverdau, Dephosphorylierung und Ligation erfolgreich überstehen um ein neues Insert-Vektor-Konstrukt zu bilden.DNA-Fragment = InsertVektor oder Plasmid: zirkuläre extrachromosomale DNA, in der Regel in Bakterien zu finden, aber auch für Eukaryoten (z. B. Hefen) verfügbar. Der Vektor oder das Plasmid kann im Klonierungsprozess DNA eines ...
  5. Transformation
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Transformation
    Nachweis einer gelungenen Transformation: auf dem Vektor kodierte Antibiotikaresistenzen werden durch Antibiotikazugabe im Medium sichtbar gemacht. Nur erfolgreich transformierte Bakterienzellen knnen wachsen.
    ... E.-coli-BakterienDamit die Bakterienzellen den Vektor aufnehmen können, muss eine Transformation durchgeführt werden. Sie kennen diesen Begriff bereits von den Experimenten, die Griffith durchgeführt hatte.Transformation steht für verändern. Durch das Einbringen des Vektors wird die Bakterienzelle verändert, also transformiert.Das Video wird geladen...(molekularbiologie-transformation)Transformation = VeränderungErinnern Sie sich nochmals an das Experiment von ...
  6. cDNA
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > cDNA
    ... der A- und B-Peptide in E.coli (jeweils ein Vektor für ein Peptid).3. Schritt:Transformation von E. coli Bakterien mit den jeweiligen Vektoren (A- oder B-Vektor)4. Schritt:Expression von A- bzw. B-Peptid in den Bakterien5. Schritt:Lyse der Bakterien, aufreinigen der Peptide (separat)6. SchrittMischen des A- und B-Peptid unter "Disulfid-Brücken-bildenden" Bedingungen. Insulineinheiten finden sich zum funktionellen Insulin zusammen!
  7. Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
    ... gewählt. Gentherapie und Einsatz viraler Vektoren sind hier Forschungsschwerpunkte.Historische BetrachtungVerfolgt man die Entwicklung von Wildpflanzen zu Kulturpflanzen, so wird schon seit Jahrtausenden manipuliert und optimiert. DNA wurde mehr durch Zufall und kluge Kombination als durch gezielte Manipulation verändert, aber manipulierte DNA gab es in der Landwirtschaft mit Sicherheit schon vor 5.000 Jahren.Was neu ist, ist die Kombination von Genen unterschiedlicher Organismen zur ...
Molekularbiologie / Genetik
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Ladungen und Felder

  1. Vektorfeld
    Feldkonzept- allgemeiner Überblick > Vektorfeld
    Die sogenannten Vektorfelder werden uns in den folgenden Kapiteln häufig begegnen. Es wird sich um elektromagnetische Kraftfelder handeln, die das zentrale Thema dieses Kurses bilden.Um einen leichteren Einstieg in die Behandlung elektromagnetischer Felder zu ermöglichen, sollte man Vektorfelder betrachten, die einem schon länger bekannt sein dürften.Dazu gehen wir von dem Newtonschen Gravitationsgesetz aus$F_G=G\frac{m_1m_2}{r^2}$,welches die Anziehungskraft $F_G$ zweier Massen ...
Ladungen und Felder
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Webinare

  1. Geraden - Gegenseitige Lage bestimmen, Schnitt von Geraden, Anwendungsaufgaben
    ...as Arbeiten mit Geraden. Durch Kombination zweier Vektoren (Stütz- und Richtungsvektor) lassen sich Geraden im Raum beschreiben. Und damit rechnen! So können wir ohne eine Zeichnung anzufertigen rechnerisch klären, ob Geraden parallel zueinander sind, sich schneiden oder gar „windschief“ im Raum liegen. Die Rechenmethoden dazu werden erläutert, die Aufgaben im Detail betrachtet und Lösungsstrategien zum „Knacken“ der Aufg...
  2. Arbeiten mit Vektoren - Abstände und Winkel
    ...en wir uns mit den Grundlagen und Anwendungen der Vektorrechnung, beschreiben und arbeiten mit Geraden und Ebenen und stellen die wichtigsten Aufgabentypen mit den entsprechenden Lösungsstrategien für das Abitur vor. Das Erarbeitete wird direkt im Webinar vertieft und geübt, Fragen können natürlich jederzeit im Online-Chat gestellt werden. Jetzt anmelden!...
  3. Arbeiten mit Vektoren - Abstände und Winkel
    ...en wir uns mit den Grundlagen und Anwendungen der Vektorrechnung, beschreiben und arbeiten mit Geraden und Ebenen und stellen die wichtigsten Aufgabentypen mit den entsprechenden Lösungsstrategien für das Abitur vor. Das Erarbeitete wird direkt im Webinar vertieft und geübt, Fragen können natürlich jederzeit im Online-Chat gestellt werden. Jetzt anmelden!...
  4. Vektoren und Geraden
    ...den" ausgewählt. Ein kurze Wiederholung der Grundlagen führt in das Seminar ein. Anhand von ausgewählten Abituraufgaben zeigt er Euch Lösungsstrategien und Herangehensweisen für diesen Aufgabentyp. Ihr könnt Eure Fragen per Chatfenster stellen oder auch direkt mit Andreas während des Seminars reden und Matheproblem klären. Wir freuen uns auf Eure Teilnahme!...