Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Einleitung und Grundlagen
    Einleitung und Grundlagen
    ... Algebra beschäftigt sich (ganz allgemein) mit Vektoren, Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen. Wir werden hieraus besonders die Regeln für das Rechnen mit Vektoren und das Aufstellen und Lösen Linearer Gleichungssysteme benötigen. In der Analytischen Geometrie versuchen wir geometrische Fragestellungen mithilfe von Rechenverfahren – oft aus der Linearen Algebra – zu beantworten. So können wir die Aufgaben meistens ohne Anschauung (Zeichnung) rein rechnerisch lösen. Die ...
  2. Was sind Vektoren?
    Einleitung und Grundlagen > Was sind Vektoren?
    Was sind Vektoren?
    Was ist das, ein Vektor?Ein Vektor entspricht einer Verschiebung im Raum und kann durch einen Pfeil dargestellt werden. Vektoren im Zweidimensionalen Im 2-Dimensionalen bedeutet der Vektor $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\end{array}\right)$ eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und um 1 Einheit in y-Richtung (also „2 nach rechts, 1 nach oben“). Vom Punkt P(1|3) aus landet man mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ also bei P’(3|4). Von einem Punkt Q(-2|2) beim Punkt ...
  3. Begriff des Vektorraums
    Einleitung und Grundlagen > Begriff des Vektorraums
    Begriff des Vektorraums
    ... In der linearen Algebra arbeiten wir mit Vektorräumen (oder auch linearen Räumen). Darunter verstehen wir nicht zwangsläufig ein kartesisches dreidimensionales Koordinatensystem, wie man umgangsprachlich mit dem Begriff "Raum" vielleicht verknüpfen möchte. Vielmehr ist ein Vektorraum einfach eine algebraische Struktur, die bestimmten Regeln gehorcht. Vektoren sind die grundlegenden Elemente eines Vektorraumes. Die Einträge eines Vektors stammen wieder aus einem (mathematischen) ...
  4. Vektorraum - Basis und Dimension
    Einleitung und Grundlagen > Vektorraum - Basis und Dimension
    Vektorraum - Basis und Dimension
    Wichtiger für uns (beim Thema Vektorraum) sind die Begriffe Basis und Dimension. Als Basis eines linearen Vektorraumes bezeichnen wir die Elemente (Vektoren), aus denen durch Linearkombination alle Elemente des Raumes gebildet werden können. Im Dreidimensionalen besteht eine mögliche (und die einfachste dazu) Basis aus den Einheitsvektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$. Man ...
  5. Rechnen mit Vektoren
    Rechnen mit Vektoren
    Rechnen mit Vektoren
    ... Abschnitten damit auseinandergesetzt haben was Vektoren eigentlich sind, lernen wir nun mit ihnen umzugehen. Wir werden Vektoren addieren und subtrahieren, sie strecken und stauchen. Ihren Betrag bestimmen oder sie auf eine vorgegebene Länge bringen. Wir werden sie kombinieren, einen durch andere ersetzen und sie in Verhältnisse zueinander stellen. Wir werden uns also genau die Fertigkeiten aneignen, die wir dann brauchen, um einfache Figuren im Raum beschreiben und mit ihnen arbeiten zu können. Zur ...
  6. Addition und Subtraktion von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Addition und Subtraktion von Vektoren
    Addition und Subtraktion von Vektoren
    Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln. Addition von Vektoren Wir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - ...
  7. Vektor zwischen zwei Punkten
    Rechnen mit Vektoren > Vektor zwischen zwei Punkten
    Vektor zwischen zwei Punkten
    Wie können wir einen Vektor angeben, der von einem Punkt zum nächsten zeigt? Das ist jetzt kein Problem mehr. Wir betrachten wieder einzeln die Koordinaten der Punkte und schauen uns deren Differenz an. Vektor zwischen zwei Punkten Von Punkt P(3|1|4) zu Punkt Q(4|4|3). In x1-Richtung: von 3 zu 4 entspricht 4-3=1 (1 nach vorne). In x2-Richtung: von 1 zu 4 entspricht 4-1=3 (3 nach rechts) und in x3-Richtung: von 4 zu 3 entspricht 3-4=-1 (1 nach unten). Mathematisch korrekt beschreiben ...
  8. Betrag eines Vektors berechnen
    Rechnen mit Vektoren > Betrag eines Vektors berechnen
    Betrag eines Vektors berechnen
    ... einer gewissen Wichtigkeit ist der Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles. So hat ein Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ logischerweise den Betrag 1, der Vektor $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ den Betrag 2 usw. Der Vektor $\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ allerdings hat nicht die Länge 2+1+2=5 Längeneinheiten (LE). Die Einträge „zeigen“ ja in unterschiedliche Richtungen! Wie lang ist aber nun der „resultierende Pfeil“? Die Länge im Zweidimensionalen... Unternehmen ...
  9. Vielfache von Vektoren bilden
    Rechnen mit Vektoren > Vielfache von Vektoren bilden
    Vielfache von Vektoren bilden
    Wenn wir mit dem Vielfachen eines Vektors zu tun haben, so bedeutet das nichts anderes als eine mehrfach ausgeführte Verschiebung. $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}$ bedeutet eine Verschiebung von $3 \cdot 2$ in x1-Richtung, $3 \cdot 1$ in x2-Richtung und $3 \cdot 5$ in x3-Richtung. Es gilt also $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\3\\15\end{pmatrix}$. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn ...
  10. Linearkombination von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Linearkombination von Vektoren
    Linearkombination von Vektoren
    ... bezeichnen wir eine Addition von Vektoren und/oder Vielfachen davon. So wäre eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zum Beispiel $3\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{b} + 3\cdot\vec{c}$. Eine andere ist $\vec{a} – 3\cdot\vec{b} + 5\cdot\vec{c}$. Allgemein gilt: $r\cdot\vec{a} + s\cdot\vec{b} + t\cdot\vec{c}$. Wenn als Vektoren zum Beispiel $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}$ ...
  11. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
    Rechnen mit Vektoren > Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
    Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
    Ist ein Vektor durch eine Linearkombination zweier anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss. Beispiel des Nachweises einer linearen Abhängigkeit Sind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ linear ...
  12. Geraden
    Geraden
    ... Um mit Geraden umzugehen, benötigen wir Vektoren und das Wissen darüber, wie wir mit ihnen rechnen können.
  13. Aufstellen einer Geradengleichung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
    Aufstellen einer Geradengleichung
    ... einer Geradengleichung aus Stütz- und Richtungsvektor Um eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt. Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors kommen wir zu jedem beliebigen ...
  14. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... natürlich auch jedes Vielfache des Richtungsvektors als Richtungsvektor der Geraden dienen. Die Geradengleichung $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$ beschreibt dieselbe Gerade wie $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3\\6\\3 \end{pmatrix}$ oder $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$.
  15. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Lage von Geraden
    ... wir wie folgt vorgehen:Sind ihre Richtungsvektoren kollinear?a) Ja: Die Geraden sind parallel oder identisch.b) Nein: Die Geraden sind windschief zueinander oder sie schneiden sich. Im Fall a) überprüfen wir, ob ein beliebiger Punkt (zum Beispiel der Aufpunkt) der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt (siehe Stichwort „Punktprobe“ im Kapitel „Punkte und Geraden“). Ist dies der Fall, so sind sie identisch, ansonsten sind sie parallel. Im Fall b) schauen wir, ob es ...
  16. Schnitte von Geraden
    Geraden > Schnitte von Geraden
    ... – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält als Lösung also jeweils einen Wert für den Parameter t. Achtung: dieser Wert kann, muss aber ...
  17. Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    ... benötigen wir noch weitere Eigenschaften der Vektoren bzw. brauchen wir mehr Möglichkeiten, wie man mit Vektoren arbeiten kann. Bisher haben wir Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen. Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, also eine normierte Standardeinheit. Nachdem wir bereits den ...
  18. Normierung eines Vektors
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Normierung eines Vektors
    Normierung eines Vektors
    Um später mit Vektoren Messungen anstellen zu können, müssen wir über ihren Betrag Bescheid wissen. Den Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles ermittelt man durch $|\vec{v}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$. Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn $|\vec{v}|=1$. Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die „Länge“ seines Pfeiles. ...
  19. Skalarprodukt zweier Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Skalarprodukt zweier Vektoren
    Skalarprodukt zweier Vektoren
    Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt. Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik benötigt. Mit ihr ...
  20. Vektoren und Winkel
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel
    Vektoren und Winkel
    ... man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander.  Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt: $\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $.  Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ gilt: $\cos{\alpha} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot \sqrt{4^2+0^2+3^2}} ...
  21. Vektorprodukt / Kreuzprodukt
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektorprodukt / Kreuzprodukt
    Vektorprodukt / Kreuzprodukt
    Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird. Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$. Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ist wieder ...
  22. Ebenen in der analytischen Geometrie
    Ebenen in der analytischen Geometrie
    ... die einen Punkt der Ebene und zwei Richtungsvektoren benötigt die Normalenform, die - wie der Name schon sagt - mit einem zur Ebene orthogonalen Vektor arbeitet die Koordinatenform, die in ihrer Darstellung am ehesten an die Analysis erinnert. Da jede Darstellungsform ihre Stärken in anderen Aufgabenbereichen hat können wir sie natürlich auch ineinander umformen und uns so das jeweils nötige mathematische Rüstzeug bereitstellen. Zwar ist nicht in jedem Bundesland zwingend auch jede ...
  23. Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    ... von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen. Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor legt fest, wo die Ebene ...
  24. Normalenform einer Ebene
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Normalenform einer Ebene
    Normalenform einer Ebene
    ... Überlegung: Zu jeder Ebene gibt es einen Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Diesen Vektor nennen wir „Normalenvektor“ der Ebene. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, von welcher Stelle auf der Ebene aus man das betrachtet. Nur die Richtung zählt! Überlegung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die orthogonal zueinander stehen, ist Null. Überlegung: Jeder Vektor, der in der Ebene liegt, ist senkrecht zu obigem Normalenvektor. Und jeder Vektor zwischen zwei beliebigen ...
  25. Ebenengleichungen umwandeln
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Ebenengleichungen umwandeln
    ... für die Normalengleichung. Zu den beiden Spannvektoren suchen wir einen orthogonalen Vektor, den wir als Normalenvektor in die Gleichung schreiben. Den Normalenvektor erhalten wir entweder durch Lösen des Gleichungssystems, das sich aus den Skalarprodukten ergibt, oder direkt durch Anwenden des Vektorprodukts. Im folgenden Beispiel sind beide Wege dargestellt. Unsere Ebene E soll die Punkte A(0|0|-2), B(1|1|3) und C(2|0|2) enthalten. Eine mögliche Angabe in Parameterform ist dann $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r ...
  26. Hessesche Normalenform
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Hessesche Normalenform
    ... diese Form zu bringen, normiert man den Normalenvektor in der Normalenform. Klar ist: der Normalenvektor bleibt senkrecht zur beschriebenen Ebene, er wird nur in seiner Länge verändert (normieren = stauchen/strecken auf die Länge 1!). Wählt man als Normalenvektor einer Ebene E einen Vektor der Länge 1, so bekommt man die Hesse’sche Normalenform $E:\quad (\vec{x}-\vec{p}) \cdot \vec{n_0} = 0$. Da $\vec{n_0}=\frac{1}{\left|\vec{n}\right|}\vec{n}$ ergibt sich für die Darstellung in Koordinatenform ...
  27. Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    ... wir die Fälle durch Betrachten der Richtungsvektoren und dem Versuch eines Schnittes (vgl. Kapitel Geraden). Gerade – Ebene Eine Gerade kann in einer Ebene liegen, parallel zu einer Ebene verlaufen oder aber die Ebene in einem Punkt S schneiden. Um die Fälle unterscheiden zu können, setzt man Geraden- und Ebenengleichung gleich und betrachtet die Lösungsmengen: Bei genau einer Lösung gibt es genau einen Schnittpunkt* (Fall 3), hat die Gleichung bzw. das Gleichungssystem keine Lösung ...
  28. Abstände von Punkten
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Punkten
    ... entspricht dem Betrag ihres Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$. Die Punkte P(2|3|1) und Q(4|4|3) haben den Abstand $d=\left|\overrightarrow{PQ}\right| = \left| \begin{pmatrix}2\\1\\2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ Längeneinheiten. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g Hier benötigen wir eine kleine Hilfskonstruktion: Wir legen eine Ebene H durch den Punkt P, die zusätzlich senkrecht zur Geraden g ausgerichtet sein soll. Dies geht am ...
  29. Abstände von Geraden
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden
    ... Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden. Abstand zweier windschiefer Geraden g und h Der anspruchsvollste (und am seltensten gefragte) Fall. Hierbei müssen wir die Punkte G auf g und H auf h suchen, an denen sich die Geraden am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Verbindungsvektor $\overrightarrow{GH}$ ...
  30. Abstände von Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Ebenen
    ... identisch sind. Ersteres zeigen uns die Normalenvektoren $\vec{n_E}= \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}$ und $\vec{n_H}= \begin{pmatrix} -2\\4\\-4 \end{pmatrix}$, die kollinear sind, denn es gilt $\vec{n_H} = -2 \cdot \vec{n_E}$.Wählt man ein Punkt auf E, zum Beispiel P(3|0|0), sieht man leicht, dass P nicht auch auf H liegt, denn $-2 \cdot 3 = -6 \neq -42$. Wir wählen einen Punkt auf E - zum Beispiel P(3|0|0) - und bestimmen seinen Abstand zur Ebene H. Hierzu nutzen wir die Hessesche Normalenform ...
  31. Schnitte
    Schnitte
    ... liegen? Oder anders ausgedrückt: Welche Vektoren $\vec{x}$ erfüllen die eine und die andere Gleichungsbedingung? Mathematisch gesehen entspricht das einem Gleichsetzen der Bedingungen und je nach vorliegenden Gleichungen geht man entsprechend vor. Bleibt uns letztlich, das Ergebnis noch zu deuten: Exakt eine Lösung bedeutet immer Schnittpunkt (und liefert dessen Koordinaten), keine Lösung heißt auch kein Schnitt und unendlich viele Lösungen weisen auf eine Identität hin (beim Schnitt ...
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Ladungen und Felder

  1. Feldkonzept- allgemeiner Überblick
    Feldkonzept- allgemeiner Überblick
    ... ein Skalar (Zahlenwert) oder auch durch einen Vektor dargestellt werden. Je nach dieser Zuordnung spricht man dann von Skalarfeld bzw. Vektorfeld. Mathematische Präzisierung Nehmen wir an, dass eine physikalische Größe $A$ in Abhängigkeit von Raum- und Zeitkoordinaten beschreibbar ist. Dann nennen wir sie Feldgröße und schreiben $A=\Phi(x,y,z,t)$. Klassifikation der Feldgröße Wobei $\Phi$ ein Skalarfeld darstellt, wenn $A$ richtungsunabhängig ist. $\Phi$ liefert dann skalare ...
  2. Elektrische Ladungen und Felder
    Elektrische Ladungen und Felder
    Elektrische Ladungen und Felder
    ... Kraftfeld lässt sich durch eine Größe (Vektor) in Abhängigkeit von Raum und Zeit beschreiben, die man als Feldstärke bezeichnet. Jenes Kraftfeld führt dann dazu, dass ein entsprechender Probekörper im Raum eine Kraft verspürt. Die zum elektrischen Feld gehörige elektrische Feldstärke wird per Konvention mit $\vec{E}$ bezeichnet. Es zeigt sich, dass die auf einen Körper ausgeübte elektrische Kraft $\vec{F}$ mit der elektrischen Ladung $q$ zusammenhängt, welche der Körper ...
  3. Elektrische Feldkonfigurationen
    Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen
    Da das elektrische Feld durch einen Vektor $\vec{E}$ beschrieben wird, hat es bekanntlich sowohl einen Betrag als auch eine Richtung. Zwei besonders relevante Feldkonfigurationen wollen wir in den folgenden Abschnitten betrachten; es handelt sich um das radialsymmetrische und das homogene elektrische Feld. Aufgrund des vektoriellen Charakters der Feldgröße lassen sich Feldlinienbilder skizzieren, die einen Eindruck vom Verlauf des Feldes vermitteln. Durch diese Betrachtung lässt sich auch die ...
  4. Radialsymmetrisches Feld
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Radialsymmetrisches Feld
    Radialsymmetrisches Feld
    ... die Ladungen befinden. Man kann auch die vektorielle Form des Coulombschen Gesetzes herleiten: Lässt man die Ladung $Q$ zum Beispiel im Punkt $(0,0,0)$ des Raumes fest und bewegt nur die Ladung $q$ entlang eines konstanten Abstandes $r$, so bleibt auch die Kraft betragsmässig konstant. Die Kraft muss dabei in Richtung der Verbindungslinie der beiden Ladungen wirken. Die Richtung jener Verbindungslinie wird aber gerade durch den Vektor $\vec{r}$ beschrieben, den man so darstellen kann: $\vec{r}=\left(\begin{array}{c} ...
  5. Arbeit im elektrischen Feld
    Elektrische Ladungen und Felder > Arbeit im elektrischen Feld
    ... der Länge $s$ des Weges: Zeigen nämlich Kraftvektor $\vec{F}$ und Wegvektor $\vec{s}$ in die gleiche Richtung und ist die Kraft längs des Weges konstant, so gilt: $W=F\cdot s$ Es stellt sich die Frage, wie sich die Beziehung verändert, falls die obigen Voraussetzungen in einem bestimmten Fall nicht zutreffen sollten. Nehmen wir an, dass die Kraft zwar betraglich konstant ist, aber in eine andere Richtung als der Wegvektor $\vec{s}$ zeigt. Dann ist die gesamte aufgebrachte Arbeit das Skalarprodukt ...
  6. Elektrische Ströme und magnetische Felder
    Elektrische Ströme und magnetische Felder
    Elektrische Ströme und magnetische Felder
    ... beschreibt man das magnetische Feld durch eine vektorielle Feldgröße. Die vektorielle Feldgröße $\vec{B}$ Das Magnetfeld wird durch die so genannte magnetische Flussdichte $\vec{B}$ beschrieben. Die Einheit, in der diese Größe üblicherweise angegeben wird, ist Tesla (T): $1 T=1\frac{Wb}{m^2}=1\frac{Vs}{m^2}$ Man sagt auch, dass 1 Tesla (T) der Flächendichte eines homogenen magnetischen Flusses der Stärke 1 Weber (Wb) entspricht. Da die Einheit Weber selten verwendet wird, ist es ...
  7. Vektorfeld
    Feldkonzept- allgemeiner Überblick > Vektorfeld
    Die sogenannten Vektorfelder werden uns in den folgenden Kapiteln häufig begegnen. Es wird sich um elektromagnetische Kraftfelder handeln, die das zentrale Thema dieses Kurses bilden. Um einen leichteren Einstieg in die Behandlung elektromagnetischer Felder zu ermöglichen, sollte man Vektorfelder betrachten, die einem schon länger bekannt sein dürften. Dazu gehen wir von dem Newtonschen Gravitationsgesetz aus $F_G=G\frac{m_1m_2}{r^2}$, welches die Anziehungskraft $F_G$ zweier Massen $m_1$ ...
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Molekularbiologie / Genetik

  1. Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik
    ... Methoden. Klonierung von DNA in einen Vektor Einsatz von Restriktionsenzymen Prinzip des Gentransfers Polymerase-Kettenreaktion (PCR) genetischer Fingerabdruck Gelelektrophorese (Agarosegel) Diagnose einer Erbkrankheit mittels molekularbiologischer Techniken
  2. Klonierung
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung
    Klonierung
    ... einer DNA-Information in einen bakteriellen Vektor.
  3. Restriktionsenzyme
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Restriktionsenzyme
    Restriktionsenzyme
    ... Sichelzellanämie) Klonierung von Genen in Vektoren Kartierung von DNA Das Video wird geladen ...
  4. Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
    Klonierung von Fremd-DNA und Transformation
    ... eines DNA-Fragments (Insert) in einen Vektor (oder Plasmid). Schema einer Klonierung. Insert und Vektor müssen Restriktionsverdau, Dephosphorylierung und Ligation erfolgreich überstehen um ein neues Insert-Vektor-Konstrukt zu bilden. DNA-Fragment = Insert Vektor oder Plasmid: zirkuläre extrachromosomale DNA, in der Regel in Bakterien zu finden, aber auch für Eukaryoten (z. B. Hefen) verfügbar. Der Vektor oder das Plasmid kann im Klonierungsprozess DNA eines anderen Lebewesens ...
  5. Transformation
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > Transformation
    Transformation
    ... Damit die Bakterienzellen den Vektor aufnehmen können, muss eine Transformation durchgeführt werden. Sie kennen diesen Begriff bereits von den Experimenten, die Griffith durchgeführt hatte. Transformation steht für verändern. Durch das Einbringen des Vektors wird die Bakterienzelle verändert, also transformiert. Das Video wird geladen ... Transformation = Veränderung Erinnern Sie sich nochmals an das Experiment von Griffith. Auch er hat den Begriff Transformation ...
  6. cDNA
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Klonierung > cDNA
    ... der A- und B-Peptide in E.coli (jeweils ein Vektor für ein Peptid). 3. Schritt: Transformation von E. coli Bakterien mit den jeweiligen Vektoren (A- oder B-Vektor) 4. Schritt: Expression von A- bzw. B-Peptid in den Bakterien 5. Schritt: Lyse der Bakterien, aufreinigen der Peptide (separat) 6. Schritt Mischen des A- und B-Peptid unter "Disulfid-Brücken-bildenden" Bedingungen. Insulineinheiten finden sich zum funktionellen Insulin zusammen!
  7. Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
    Methoden der Gen- und Reproduktionstechnik > Bedeutung von Gentechnik in Biologie, Landwirtschaft und Medizin
    ... gewählt. Gentherapie und Einsatz viraler Vektoren sind hier Forschungsschwerpunkte. Historische Betrachtung Verfolgt man die Entwicklung von Wildpflanzen zu Kulturpflanzen, so wird schon seit Jahrtausenden manipuliert und optimiert. DNA wurde mehr durch Zufall und kluge Kombination als durch gezielte Manipulation verändert, aber manipulierte DNA gab es in der Landwirtschaft mit Sicherheit schon vor 5.000 Jahren. Was neu ist, ist die Kombination von Genen unterschiedlicher Organismen ...
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Elektromagnetismus

  1. Induktion- Magnetischer Fluss
    Elektromagnetische Induktion > Induktion- Magnetischer Fluss
    Induktion- Magnetischer Fluss
    ... Fluss $\Phi$ ist das Skalarprodukt aus dem Vektor der magnetischen Flussdichte $\vec{B}$ und dem Vektor $\vec{A}$. $\Phi=\vec{B}\cdot \vec{A}=B\cdot A\cdot \cos{\alpha}$ Der Vektor $\vec{A}$ steht dabei senkrecht auf der Leiterschleife und sein Betrag ist genau gleich der Fläche $A$ der Leiterschleife. Die Einheit des magnetischen Flusses ist $[\Phi]=1 Tm^2=1 Wb$, $T$ steht für Tesla und $Wb$ für Weber. Es ist für bestimmte Rechungen empfehlenswert das Skalarprodukt mit Hilfe ...
  2. Wellenausbreitung eines strahlenden Dipols
    Elektromagnetische Wellen > Hertzscher Dipol > Wellenausbreitung eines strahlenden Dipols
    Wellenausbreitung eines strahlenden Dipols
    ... (siehe unterer Teil der Abbildung): Die Vektoren $\vec{E}$ (blauer Pfeil) und $\vec{B}$ (roter Pfeil) der elektrischen und magnetischen Feldstärke sind diejenigen Größen, welche eine Schwingung ausführen. Dieser Schwingungszustand pflanzt sich dann im Raum fort. Und dies ist ja gerade nach Definition das Charakteristikum einer Welle. Da die schwingenden Größen bei einer elektromagnetischen Welle $\vec{E}$ bzw. $\vec{B}$ und damit nicht materiell sind, braucht es kein Ausbreitungsmedium ...
  3. Polarisation
    Elektromagnetische Wellen > Eigenschaften elektromagnetischer Wellen > Polarisation
    Polarisation
    ... nur wenn es eine parallele Komponente des Feldvektors $\vec{E}$ zum Empfangsdipol gibt, kommt es zu Schwingungen von Ladungen und damit zu einem von Null verschiedenen Empfang im Dipol. In paralleler Stellung beider Dipole ist dies vollständig der Fall und der Empfangsdipol wird voll angeregt. In senkrechter Stellung scheint es gar keine parallele Komponente des E-Feldes zu geben. Die Erscheinung deutet auf einen ganz bestimmten Verlauf des elektrischen Feldvektors $\vec{E}$. Definition Lineare ...
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Relativitätstheorie

  1. Relativistischer Impuls
    Relativistische Dynamik > Relativistische Messgrößen > Relativistischer Impuls
    ... sich vereinfachen, falls der Geschwindigkeitsvektor $\vec{u}$ in Richtung der $x$-Achse zeigt; dann gilt schlicht $p=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}u$. In den meisten Fällen werden wir auch diese vereinfachte Formel benutzen. Wie bereits erwähnt, gilt auch in der Relativitätstheorie der Impulserhaltungssatz. Impulserhaltungssatz Seien $\vec{p}_{a1},\dotsc,\vec{p}_{an}$ die Impulse von $n$ Teilchen vor einem Stoß in einem Inertialsystem $S$. Darüber hinaus seien $\vec{p}_{b1},\dotsc,\vec{p}_{bm}$ ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Herleitung der Compton-Formel
    Welle-Teilchen-Dualismus > Compton-Effekt > Herleitung der Compton-Formel
    Herleitung der Compton-Formel
    ... für das Skalarprodukt beliebiger Vektoren mit eingeschlossenem Winkel $\Theta$ folgende Herleitung $\vec{p}_{\gamma}-\vec{p}_{\gamma^{'}}=\vec{p^{'}_{e}}\quad \Rightarrow (\vec{p}_{\gamma}-\vec{p}_{\gamma^{'}})^2=\vec{p}^2_{\gamma}-2\vert \vec{p}_{\gamma}\vert \vert\vec{p}_{\gamma^{'}}\vert\cos\Theta+\vec{p}^2_{\gamma^{'}}=\vec{p^{'}_{e}}^2$, wobei man nun die Energie-Impuls-Relation $E=\vert\vec{p}\vert c$ für Photonen und die in der Tabelle aufgeführte Formel $E^{'}_{e}=\sqrt{m_{e}^2c^4+c^2\vec{p^{'}_{e}}^2}$ ...
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