Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Einfache e-Funktion
    ... e^{1}-0,5$=4,94 Ergebniss: y0=4,94 Nullstellen Bedingung: f(x)=0 $0=2\cdot e^{-3x+1}-0,5$  |+0,5               $0,5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2              $0,25=e^{-3x+1}$ | die ganze Gleichung logaritmieren z.B. mit ln         $\ln (0,25)=\ln (e^{-3x+1})$ $\ln (0,25)=-3x+1$   |-1     $\ln (0,25) -1 = -3x$  |:(-3)          $x=\frac{\ln (0,25)-1}{-3}=0,80$        Ergebnis: X0=0,80 Extrempunkte a) x-Werte berechnen Bedingung: ...
  2. Punkte mit waagerechter Tangente
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    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente
    Punkte mit waagerechter Tangente
    ... Min, SP) ergebensich verschiedene Arten von Nullstellen, die auf den nächsten Seiten erläutert werden. Das folgende Lernvideo erläutert die Punkte mit waagerechter Tangente nochmals. Das Video wird geladen ...
  3. Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
    Ableiten > Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
    Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
    ... ' hat im Bereich $–3,5 \le x \le 3,5$ drei Nullstellen. (3)    $\int_{0}^{3}{ f´(x)  dx }=-1$ (4)    O (0 | 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f '. Bevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (2) und (4) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten. Lösung zur Aufgabe (2) 1. Teil Das Video wird geladen ... Lösung zur Aufgabe (2) 2. Teil Das Video wird geladen ... Lösung zur Aufgabe (4) Das Video ...
  4. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    x-Wert berechnen
    ... ist dasselbe, also y=f(x) Die Berechnung der Nullstellen (f(x)=0), der Extrempunkte (f´(x)=0) oder der Wendepunkte (f´´(x)=0) sind typische Aufgaben in diesem Bereich. Hier wird die Funktion oder die Ableitungen mit 0 gleichgesetzt. Auch in Abituraufgaben muss oft der x-Wert berechnet werden. Da x oft die Zeit ist müssen oft Zeitpunkte an denen etwas geschieht ausgerechnet werden. Ein Beispiel wird in dem folgenden Videos anhand einer Abituraufgabe vorgerechnet. Das Video wird geladen ...
  5. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    ... ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen gekonnt werden. Das Berechnen von Nullstellen gehört zum Lösen von Gleichungen und wird in einem extra Modul "Vorkenntnisse zur Analysis" behandelt.
  6. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstellen
    ... Die Berechnung der Nullstellen sollte aus der Mittelstufe bekannt sein. Bei Problemen bearbeite bitte zuerst das Kapitel Nullstellen aus dem Modul "Grundlagen der Analysis". Besitzt du einen CAS-Taschenrechner, kannst du die Nullstellen mit der Funktion solve lösen. Mit dem GTR kannst du die Funktion im Grafikmenü eingeben und mit zero oder root die Nullstellen berechnen. Quadratische Funktion ohne Nullstelle Funktion ohne Nullstelle Wir gehen bei der Berechnung ...
  7. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Klassifizierung der Nullstellen
    Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen).  Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem Grad Alle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. ...
  8. Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte
    Extrempunkte
    ... grundlegende rechnerischen Fähigkeiten: Nullstellen berechnen (p-q-Formel, Polynomdivision) von einer gegebenen Funktion den y-Wert mit dem x-Wert ausrechnen
  9. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    ... durch ausklammern umgeformt können auch die Nullstellen x=0 und x=-4 abgelesen werden.(Begründung: ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner beiden Faktoren Null ist. Das Produkt ist Null wenn x=0 oder wenn (x+4) gleich Null. x+4 ist Null wenn x=-4 ist.) Die Funktion hat keinen Wendepunkt, da es eine Parabel ist. Skizze Beispiel 1 Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen. Da wir bei dieser einfachen ...
  10. Fläche im Intervall
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche im Intervall
    Fläche im Intervall
    ... ob zwischen deinen beiden äußeren Grenzen Nullstellen liegen, d.h. ob du nur Flächen über oder unter der x-Achse hast oder ob du Flächen über und unter der x-Achse hast. Bestimmtes Integral über der x-Achse Bestimmtes Integral über und unter der x-Achse Gibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden. Fläche nur über der x-Achse 1. Flächen nur über der x-Achse f(x)=x²+1 A=$\int_{-2}^{2}(x²+1)dx =[\frac{x³}{3}+x]^2_{-2}$ A$=\frac{2^3}{3}+2-(\frac{(-2)^3}{3}+(-2))=\frac{8}{3}+2+\frac{8}{3}+2$ A$=\frac{16}{3}+4=\frac{16}{3}+\frac{12}{3}$ A$=\frac{28}{3}=9,3$ 1. ...
  11. Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Fläche zwischen Graph und x-Achse
    ... Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt. Bei Flächen unter der x-Achse musst du den Betrag der Fläche berechnen. Fläche unter einer Kurve 1. Fläche unter einer Kurve - negative Fläche f(x)=x²-1 Hier müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden. 0=x²-1 -> x01=-1, x02=1 Es ergibt sich eine Fläche ...
  12. Fläche zwischen zwei Graphen
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen zwei Graphen
    Fläche zwischen zwei Graphen
    ... f(x)=-x³+4x²-4x Jetzt erst wieder die Nullstellen berechnen:0=-x³+4x²-4x=$-x\cdot(x²-4x+4)$ x01=0, 0=x²-4x+4  -> x02=2 A=|$\int_{0}^{2}(-x³+4x²-4x)dx$| A$=|[\frac{-x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}+\frac{-4x^2}{2}]^{2}_{0}$| A$=|[-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-2x^2]^{2}_{0}$| A$=|-\frac{2^4}{4}+\frac{4\cdot 2^3}{3}-2\cdot 2^2-0$| A$=|-\frac{16}{4}+\frac{4\cdot 8}{3}-2\cdot 4$| A$=|-4+\frac{32}{3}-8|=|-12+\frac{32}{3}|=|-\frac{36}{3}+\frac{32}{3}|\\=|-\frac{4}{3}|=|-1,33|=\frac{4}{3}=1,33$ Wenn ...
  13. Die Integralrechung im Abitur
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Die Integralrechung im Abitur
    Die Integralrechung im Abitur
    ... f ' hat im Bereich $–3,5 \le x \le 3,5$ drei Nullstellen. $\int_{0}^{3}{ f´(x) dx }=-1$  O (0 | 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f '. Die Teilaufgaben 1 und 3 haben direkt mit der Integralrechnung zu tun, diese wollen wir hier deshalb auch näher behandeln. Lösungen der original Abituraufgabe Bevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (1) und (3) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Integrieren. Lösung ...
  14. Besonderheiten von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen
    ... mit den Achsen (y-Achsenabschnitt, Nullstellen) Extrempunkte, Wendepunkte Globalverhalten, Monotonie, Wertebereich Je nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert. Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen und der Wendestellen in Abhängigkeit von t ändern kann. Bitte Box anklicken, ...
  15. Klassifizierung von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen
    ... t keine und bei einem noch anderen t zwei Nullstellen existieren. Eine Kurvenschar kann nach ihren Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ist. Nicht alle Kurvenscharen müssen klassifiziert werden. Kurvenscharen müssen immer klassifiziert ...
  16. Kurvenschar Bruch
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Bruch
    ... Applet siehst du nochmal die Veränderung der Nullstellen bei Veränderung von k. Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
  17. Kurvenschar Wurzel 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Wurzel 1
    ... 1. Umformen zur Normalform (:-2)0=x²+2tx+4 Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=2t   q=4         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{2t}{2} \pm \sqrt {(\frac{2t}{2})^2-4)}$$x_{1,2}$=-t $\pm \sqrt {t²-4}$ Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen. Anhand dieser Nullstellen wird die Kurvenschar nun in Abhängigkeit von t klassifiziert. Bei jeder Wurzel gibt es drei Lösungsmöglichkeiten in Abhängigkeit der Diskriminante D (Term unter der Wurzel): D ...
  18. Kurvenschar Wurzel 2
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Wurzel 2
    Kurvenschar Wurzel 2
    Klassifizierung der Nullstellen der Funktion f(x)=x²+tx+t=0 Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=t   q=t         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{t}{2} \pm \sqrt {(\frac{t}{2})^2-t)}$$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$ Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen. Auch bei diesen Nullstellen ist wieder eine Wurzel vorhanden, so dass du die Nullstellen nach ihrer Anzahl klassifizieren musst. Wie bei jeder Wurzel gibt es auch hier drei Lösungsmöglichkeiten ...
  19. kubische Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar
    ... auch herauskommen. Ähnlich ist es bei den Nullstellen. Auch da gibt es Unterschiede bei t0. Bei t0 drei Nullstellen. Bei der Berechnung müssen also die Nullstellen und die Extremstellen in Abhängigkeit von t klassifiziert werden.
  20. Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    ... 0³+3t² \cdot 0$=0 Ergebniss: y0=0 Nullstellen Bedingung: f(x)=0                 0=-2tx³+3t²x,                  Bei dieser Form der kubischen Gleichung muss                  x ausgeklammert werden und die einzelnen Faktoren Null gesetzt werden.                 0=x(-2tx²+3t²)                0=x     -> x01=0                0=-2tx²+3t²  Umstellen nach x²                ...
  21. Graph kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar
    Graph kubische Schar
    ... oder -1 für t in die jeweiligen Terme für die Nullstellen und die Extremstellen eingesetzt werden. Berechnung Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte t=1 t=-1 y-Achsenabschnitt y0=0 y0=0 Nullstellen x01=0 x02=1,22$\sqrt{t}$=1,22 x03=-1,22$\sqrt{t}$=-1,22 x01=0 Extrempunkte HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) = ( 0,71 / 1,41 ) TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) = ( -0,71 / -1,41 ) Wendepunkte ( 0 / 0 ) Links-Rechts-Wendepunkt    ( ...
  22. Ableitung der e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Ableitung der e-Funktion
    Ableitung der e-Funktion
    ... ausklammern können, damit das Bestimmen der Nullstellen nachher einfacher wird. f´(x) = $e^{-5x} \cdot (8x -20x²)$ In dem nachfolgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe das Ableiten einer e-Funktion erklärt. Das Video wird geladen ...
  23. Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    ... 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0 Ergebniss: y0=0 Nullstellen Bedingung: f(x)=0                 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$   Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.   $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt sich aus diesem Faktor keine Nullstelle. -3x³=0, wenn x=0 ist. Da x als x³ auftritt ist x=0 eine dreifache Nullstelle.                       Ergebnis: X0=0 (dreifache Nullstelle = Sattelpunkt)
  24. Extrempunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Extrempunkte komplexe e-Funktion
    ... müssen wir nur die Nullstellen von $(-9x²+12x^4$) berechnen.                  $0=-9x²+12x^4$      / 3x² ausklammern                 0=$3x² \cdot (-3+4x²)$                  xE1=0                0=4x²-3    /+3                3=4x²       / :4                x²=$\frac{3}{4}$=0,75  / $\sqrt{}$                xE2=$\sqrt{0,75}$=0,87                ...
  25. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    ... niemals 0 werden kann, müssen wir nur die Nullstellen von $(-48x^5+84x^3-18x)$ berechnen. 0=$(-48x^5+84x^3-18x)$   / x ausklammern 0=$x \cdot (-48x^4+84x^2-18)$ xW1=0 0=$(-48x^4+84x^2-18)$ Das ist eine biquadratische Funktion, d.h. hier musst du x² mit z substituieren, d.h. x² als z ersetzen. 0=-48z²+84z-18 Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung. Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss die Gleichung in Normalform gebracht werden. 0=-48z²+84z-18     / : -48 0=z²-1,75z+0,375     ...
  26. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    ... 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$ Nullstellen (x-Wert bei y=0) Die Gleichung $f_t(x)=0=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ muss nach x aufgelöst werden. Da aber $e^{tx}$ und $e^{-tx}$ beide immer größer als Null sind, kann die Gleichung niemals Null werden, d.h es gibt keine Nullstellen.
  27. Graph komplexe e-Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Graph komplexe e-Funktionenschar
    Graph komplexe e-Funktionenschar
    ... Kurvenschar gab es keine Klassifizierungen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendestellen in Abhängigkeit von t. Man nimmt dann verschiedene Werte größer und kleiner Null. Es gab keine Nullstellen und keine Wendepunkte. Der Tiefpunkt lag bei (0/8) Wir zeichnen jetzt die Graphen für t=-3,-2,-1,1,2 und 3 Neben dem Extrempunkt ist es dann noch sinnvoll 2 Stützpunkte z.B f(0,5) und f(1) zu berechnen. Graph Funktionenschar einer e-Funktion
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Funktionsklassen
    Funktionsklassen
    ... Berechnen von Extrempunkten, Wendepunkten und Nullstellen ist für alle Funktionen gleich.
  2. gebrochenrationale Funktionen
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen
    ... genutzt wird, so z.B. das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden. Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen Da hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass nicht durch Null dividiert werden darf. Daraus ergibt sich die Besonderheit der gebrochenrationalen Funktionen. Gibt es eine Zahl, die den Nenner zu Null werden lässt, so heißt diese Zahl z.B. x=3 Definitionslücke ...
  3. senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen > senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
    senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
    ... der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare Definitionslücke existiert, sind die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken (genauer Polstellen) von der Funktion. Diese Polstelle wird auch senkrechte Asymptote genannt. Asymptoten sind Funktionen die von der Funktion im Grenzverhalten nicht erreicht werden. Berechnung am Beispiel $f(x)= \frac{x^2-1}{x+2}$ Nullstellen des Zählers: $0=x^2-1$ -> $x_1=1, x_2=-1$, das sind die Nullstellen der ...
  4. Wachstums- und Zerfallsprozesse
    Wachstums- und Zerfallsprozesse
    ... x-Wert x-Wert berechnen, bei gegebenen y-Wert Nullstellen berechnen Extrempunkte und Wendepunkte berechnen Schnittpunkte berechnen Steigungen berechnen Graph zeichnen Zusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor. Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden. Gleichungen für Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen ...
  5. Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur > Anzahl von Wendepunkten bestimmen
    ... geben. Wendepunkte werden über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet. Eine Funktion 4. Grades hat die Form: $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$. Die erste Ableitung lautet: $f´(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$ Die zweite Ableitung lautet: $f´´(x)=12ax^2+6bx+2c$ Das heißt die zweite Ableitung ist eine Funktion 2. Grades. Eine Funktion 2. Grades kann aber maximal nur 2 Nullstellen besitzen, so dass die Funktion 4. Grades maximal nur 2 Wendepunkte besitzen kann. Allgemein gilt folgendes: Die ...
Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... Anwendungsgebiet ist dabei das Berechnen der Nullstellen, d.h. eine Gleichung wird gleich Null gesetzt und nach x umgestellt. Das ist zugleich auch fast immer der einzig Erfolg versprechende Weg, um eine Gleichung tatsächlich zu lösen. Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf: Nullstellen einer Funktion Nullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte) Nullstellen der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)      $ 0=2x+5  \vert ...
  2. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    ... Funktion gleichsetzen. Dies tritt auf bei: Nullstellenberechnung Berechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-Wert Schnittpunktberechnung von zwei Funktionen Nullstellen Nullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden. x-Wert Berechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden. Schnittpunkt Schnittpunktberechnung von zwei Funktionen$f(x)=-5x²   ...
  3. Quadratische Funktionen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen lösen
    Quadratische Funktionen lösen
    ... können so aussehen: $ax²=-c$ $0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung) Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht. $ax²=-c  \vert :a$ $0=ax²+c    \vert  -c$ $-c=ax²      \vert :a$ $x²=\frac{-c}{a}$ Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, gezogen.$ x²=\frac{-c}{a}    /   \surd$    $ x= \pm \sqrt {\frac{-c}{a}}$ $x_1=\sqrt ...
  4. Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    ... so aussehen: $ax²=-bx$ $0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung) Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat. $ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$ $0=ax²+bx$ Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren. Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.$0=x\cdot (ax+b)$Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält eine Gleichung ...
  5. Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    ... $ax²=-bx-c, ax²+bx=-c$ $0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung) Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden. Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet. Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen. Normalform einer quadratischen Gleichung: 0=x²+px+q Normalform bedeutet ...
Vorkenntnisse zur Analysis
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    ... uns an die Aufgaben im Zweidimensionalen die Nullstellen von Funktionen - also die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse - zu bestimmen (y=0) und den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden (x=0 einsetzen). Im räumlichen Fall gehen wir ebenso vor: Für alle Punkte auf der x1-Achse gilt, dass ihre x2- und x3-Koordinaten den Wert Null haben. Um die Spurpunkte einer Ebene zu berechnen, setzen wir also in der Ebenengleichung (hier in Koordinatenform) die entsprechenden Koordinaten ...
Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Elektromagnetismus

  1. Schwingungen
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Schwingungen
    Schwingungen
    ... 11\omega-\frac{\pi}{2}=n\pi$ (allg. Nullstellen der Sinusfunktion) Nach 11 s hat man $n=3$ zu setzen (ergibt sich aus der Anzahl ganzer Schwingungen bis zum Erreichen der 11. Sekunde). Also $11\omega-\frac{\pi}{2}=3\pi$, woraus bei Berücksichtigung der Einheiten folgt $\Rightarrow \omega=\frac{7\pi}{22}s^{-1}\approx 1s^{-1}$.
Elektromagnetismus
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