Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    Praxisbeispiel Ableitung 1
    ... der AbleitungBei allen Diagrammen, die auf der x-Achse die Zeit abgetragen haben, ist die Steigung also die Ableitung des Graphen gleichbedeutend mit einer Geschwindigkeit.Ableitung = momentane Steigung = Tangentensteigung = Geschwindigkeit = momentane Änderungsrate (Zunahme- oder Abnahmerate)
  2. Extrempunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Extrempunkte graphisch
    Maximum graphisch ableiten
    ... Nullstelleeinfache Nullstelle (schneidet die x-Achse)Vorzeichenwechsel der Steigung (Ableitung) von negativ zu positiv (VZW - +)die notwendige Bedingung für eine Extremstelle f´(x)=0hinreichende Bedingung f´´(x) > 0, da die Steigung von f´(x), also f´´(x), positiv ist.Minimum graphisch ableitenGerne könnt Ihr Euch auch nochmals das Video auf der vorhergehenden Seite ansehen! Andreas erklärt das im Video ganz ausführlich!
  3. Vergleich der Wendepunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    ... (Sattelpunke), liegt das Minimum auf der x-Achse bei 0.Ist am Wendepunkt eine negative Steigung, liegt das Minimum im Negativen.Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver SteigungRechts-Links-SattelpunktRechts-Links-Wendepunkt mit negativer SteigungAlle Links-Rechts-Wendepunkte, zu denen auch die L-R-Sattelpunkte gehören, finden Sie in Graphenabschnitten, welche zuerst linksgekrümmt und dann rechtsgekrümmt sind.Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, da die ...
  4. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Ermittlung des Ableitungsgraphen
    ... Koordinatensystem, so dass die x-Achsen genau untereinander sind, bezeichnen Sie die besonderen Punkte Maximum, Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt und ziehen Sie dann senkrechte Linien nach unten.Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragenAlle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT´s) wieMaximum undSattelpunktenden auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's ...
  5. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Y-Achsen-Abschnitt
    ... und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle
  6. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstelle
    Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    ...
  7. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Quadratische Funktion ohne Nullstelle
    ... in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen). Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen.Kubische Funktion mit einer NullstelleKubische Funktion mit zwei NullstellenKubische Funktion mit drei Nullstellenf(x)=3$x^5$-4x²Die ...
  8. Graph
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
    Mastab 1
    ... ist eine Einteilung von -5 bis 5 auf der x-Achse und auf der f(x)-Achse ausreichend. Es kann aber auch vorkommen, dass diese Einteilung zu groß oder zu klein ist, d.h. das die markanten Punkte nicht zu erkennen sind oder nicht mehr draufpassen.Daher ist es am sinnvollsten sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben.Ist ...
  9. Das bestimmte Integral
    Einführung in die Integralrechnung > Das bestimmte Integral
    Bestimmtes Integral
    ... ist die Fläche zwischen der Kurve, der x-Achse, der Grenze a und der Grenze b.Bestimmtes IntegralDas bestimmte Integral wird mit dem Hautsatz der Integral- und Differentialrechung berechnet:$$\int_{a}^{b}{ f(x) dx }=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$1. Stammfunktion ausrechnen$$\int_{2}^{3}{ x²-1 dx }=[\frac{x^3}{3}-x]_2^3=F(3)-F(2)$$2. beide Grenzen in Stammfunktion einsetzen und voneinander subtrahieren$$=\frac{3^3}{3}-3-(\frac{2^3}{3}-2)=\frac{27}{3}-3-\frac{8}{3}+2=\frac{19}{3}-1=5,33$$In ...
  10. Flächenberechnung
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung
    Integral
    ... zwar die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse bestimmt, aber Flächen unter der x-Achse werden negativ berechnet. D.h. bei einer Funktion bei der es eine Fläche über der x-Achse gibt und eine Fläche unter der x-Achse und diese beiden Flächen sind gleich groß ist das Integral 0.Umgangssprachlich werden Flächen über der x-Achse oft als positive Flächen und Flächen unter der x-Achse als negative Flächen bezeichnet. Das ist mathematisch ...
  11. Fläche im Intervall
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche im Intervall
    2. Flchen ber und unter der x-Achse
    ... ob du nur Flächen über oder unter der x-Achse hast oder ob du Flächen über und unter der x-Achse hast.Bestimmtes Integral über der x-AchseBestimmtes Integral über und unter der x-AchseGibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.Fläche nur über der x-Achse1. Flächen nur über der x-Achsef(x)=x²+1A=$\int_{-2}^{2}(x²+1)dx =[\frac{x³}{3}+x]^2_{-2}$A$=\frac{2^3}{3}+2-(\frac{(-2)^3}{3}+(-2))=\frac{8}{3}+2+\frac{8}{3}+2$A$=\frac{16}{3}+4=\frac{16}{3}+\frac{12}{3}$A$=\frac{28}{3}=9,3$1. ...
  12. Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Flche unter einer Kurve
    Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen gehst du ähnlich der Intervallrechnung vor. Der einzige Unterschied besteht darin, dass du die Intervallgrenzen hier nicht gegeben hast.Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt.Bei ...
  13. Fläche zwischen zwei Graphen
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen zwei Graphen
    Flche zwischen zwei Graphen
    ... Flächen über und unter der x-Achse hat, musst du diese wieder seperat berechnen.Die Nullstellen der Differenzfunktion f(x) sind die Schnittpunkte der Funktionen g(x) und h(x) miteinander.
  14. Die Integralrechung im Abitur
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Die Integralrechung im Abitur
    Abituraufgabe zur graphischen Ableitung
    ... Graph von f' befindet sich also unterhalb der x-Achse. Nur an der Stelle x=0 muss ja auch f'(0)=0 gelten (siehe Teil (2)), der Graph berührt dort also die x-Achse und hat dort deshalb ein lokales Maximum!
  15. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie (verändere b oder a, wenn b nicht 0 ist).Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.Berechnung der OrtslinieDie Berechnung der Ortslinie erfolgt immer ausgehend vom Extrem- oder Wendepunkt der Kurvenschar. An den Koordinaten der Kurvenschar lässt sich auch erkennen, welcher der drei Fälle auftritt.weder im x- noch im y-Wert ist der Parameter enthalten ( TP (3/5))im x-Wert ist ...
  16. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Beispiele von e-Funktionen
    ... eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber es gibt auch Asymptoten parallel zur x-Achse.Beispiele von e-FunktionenEigenschaften bei e-FunktionenDiese Eigenschaft der e-Funktion macht sich beim Globalverhalten bemerkbar. Bei e-Funktionen ohne einen Bruch oder eine Summe wie z.B. $f(x)= x²\cdot e^{k\cdot x³}$ gibt es nur waagerechte Asymptoten.Extrempunkte und Wendepunkte gibt es nur, wenn die e-Funktion mit einer ganzrationalen Funktion verknüpft ist bzw. im Exponent ...
  17. Asymptoten
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten bei e-Funktionen
    ... ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an.Asymptoten bei e-FunktionenBestimmung von AsymptotenAsymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich.Bei e-Funktionen kann der Grenzwert der einen Seite unendlich sein (wie bei der grünen ...
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Stochastik

  1. Darstellung von statistischen Daten
    Beschreibende Statistik > Darstellung von statistischen Daten
    Beispiel fr ein Kreis- und ein Sulendiagramm
    ... im Koordinatensystem an, bei denen auf der x-Achse das Merkmal (z.B. die Körpergröße) und auf y-Achse die absolute oder die relative Häufigkeit des Vorkommens abgetragen wird.PunktdiagrammeHistogrammHistogramme gehören auch in diese Kategorie. Dabei unterscheidet man verschiedene Typen.Normalisiertes HistogrammBei einem normalisierten Histogramm werden über den einzelnen Klassen des betrachteten Merkmals Rechtecke gezeichnet, deren Flächeninhalt ihrer relativen ...
  2. Dichtefunktion der Normalverteilung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Normalverteilung > Dichtefunktion der Normalverteilung
    2 Graphen von Dichten von Normalverteilungen
    ... haben für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse als Asymptote. Mit zunehmender Standardabweichung $\sigma$ werden ihre Graphen flacher und breiter, umso kleiner $\sigma$ wird umso höher und schmaler werden die Graphen.Standard-NormalverteilungIst $X \sim N (0 ; 1 )$-verteilt, so nennt man $X$ standardnormalverteilt die Dichte der Standard-Normalverteilung wird mit einem $ \large \bf \varphi $ bezeichnet und sieht so aus:$\Large \bf \varphi (t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. waagerechte und schiefe Asymptoten
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen > waagerechte und schiefe Asymptoten
    waagerechte Asymptote
    ... Grad des Zählers < Grad des NennersDie x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote.1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners$f(x)= \frac{x^2-1}{x^3+2}$Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 3 2 x-Achse ist waagerechte Asymptotewaagerechte AsymptoteGrad des Zählers entspricht Grad des Nenners2. Fall Grad des Zählers = Grad des NennersDie waagerechte Asymptote hat die Form f(x)=c. Dies ist eine konstante Funktion.Die Konstante c kann durch die Grenzwertbildung ...
  2. Rotationsvolumen
    Integralrechnung > Rotationsvolumen
    ... Lässt sich die Rotationsachse auf die x-Achse bringen, so dass die Kurve die den Rand oberhalb derselben beschreibt, eine Funktion f ist, kann die Formel für das Volumen einfach hergeleitet werden:Schneidet man an der Stelle $x_0$ durch den Rotationskörper entsteht eine Kreisfläche und die Formel für diesen Flächeninhalt ist bekanntermaßen $A=\pi r^2$.Die Funktion f gibt dabei den Radius an, d.h. es gilt: $f(x_0)=r \Rightarrow A(x)=\pi (f(x))^2$. Führt ...
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Ökologie

  1. Vegetationsaufnahmen
    terrestrisches Ökosystem > Vegetationsaufnahmen
    kogramm einer Birke: Die Birke kann in sehr feuchten, aber auch in trockenen Regionen des Waldes wachsen. Auch breite pH-Bereiche scheinen dem Wachstum der Birke nicht im Wege zu stehen. Optimalerweise wchst die Birke aber in sauren bis alkalischen Bden bei durchschnittlich feuchten Bden (oranger Bereich). Die kologische Potenz ist nicht so breit, wie die physiologischen Mglichkeiten es vorgeben. In den untersuchten Waldgebieten wurde die Birke nur an ihren fr Sie optimalen Standorten gefunden (gner Bereich)!
    ... (dürr-frisch-nass) betrachtet. Auf der x-Achse der pH-Wert des Bodens (sehr sauer - mäßig sauer - basisch).Links ist die physiologische Potenz unter diesen abiotischen Umweltfaktoren gezeigt. Was ist der maximale/minimale Wert der "Bodenfeuchtigkeit" bzw. des pH-Werts an dem diese Baumart gedeihen kann. Wo kann dieser Baum nicht wachsen?Rechts ist die Konkurrenz anderer Baumarten miteinbezogen. Kann die Buche noch an einem bestimmten Standort wachsen, wenn eine Eiche oder Erle ...
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Ebene im Koordinatensystem
    ... - also die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse - zu bestimmen (y=0) und den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden (x=0 einsetzen). Im räumlichen Fall gehen wir ebenso vor: Für alle Punkte auf der x1-Achse gilt, dass ihre x2- und x3-Koordinaten den Wert Null haben.Um die Spurpunkte einer Ebene zu berechnen, setzen wir also in der Ebenengleichung (hier in Koordinatenform) die entsprechenden Koordinaten gleich Null.Gegeben ist die Ebene E mit E: $2x_1+x_2+2x_3=4$. Bestimme ...
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Elektromagnetismus

  1. Grundbegriffe für Wellen
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Das Phänomen Welle > Grundbegriffe für Wellen
    Bestimmung der Wellenlnge
    ... dargestellte Welle. Der Abstand entlang der x-Achse werde in m gemessen. Dann beträgt die Wellenlänge $\lambda$, die man dem x-y-Diagramm entnehmen kann,$\lambda=2 m$Wenn nun ein Schwinger der Welle mit der Frequenz $f=4$ Hz oszilliert, dann ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$$v=\lambda\cdot f=(2m)\cdot (4 Hz)=8 ms^{-1}$
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