Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Schnittpunkte mit den Achsen
    ... und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse). Schnittpunkt mit der Y-Achse Y-Achsenabschnitt Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) Nullstelle
  2. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstellen
    Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0). Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle. Quadratische Funktion mit Nullstelle Berechnung der Nullstelle Die Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt. f(x)=x²-4=00=x0²-4    /+4x0²=4       ...
  3. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Klassifizierung der Nullstellen
    ... in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen).  Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem Grad Alle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen. Kubische Funktion mit einer Nullstelle Kubische Funktion mit zwei Nullstellen Kubische Funktion mit drei Nullstellen f(x)=3$x^5$-4x²Die ...
  4. Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    ... Ableitung Bei allen Diagrammen, die auf der x-Achse die Zeit abgetragen haben, ist die Steigung also die Ableitung des Graphen gleichbedeutend mit einer Geschwindigkeit. Ableitung = momentane Steigung = Tangentensteigung = Geschwindigkeit = momentane Änderungsrate (Zunahme- oder Abnahmerate)
  5. Extrempunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Extrempunkte graphisch
    Extrempunkte graphisch
    ... Nullstelle einfache Nullstelle (schneidet die x-Achse) Vorzeichenwechsel der Steigung (Ableitung) von negativ zu positiv (VZW - +) die notwendige Bedingung für eine Extremstelle f´(x)=0 hinreichende Bedingung f´´(x) > 0, da die Steigung von f´(x), also f´´(x), positiv ist. Minimum graphisch ableiten Gerne könnt Ihr Euch auch nochmals das Video auf der vorhergehenden Seite ansehen! Andreas erklärt das im Video ganz ausführlich!
  6. Vergleich der Wendepunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte
    Vergleich der Wendepunkte
    ... (Sattelpunke), liegt das Minimum auf der x-Achse bei 0. Ist am Wendepunkt eine negative Steigung, liegt das Minimum im Negativen. Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung Rechts-Links-Sattelpunkt Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer Steigung Alle Links-Rechts-Wendepunkte, zu denen auch die L-R-Sattelpunkte gehören, finden Sie in Graphenabschnitten, welche zuerst linksgekrümmt und dann rechtsgekrümmt sind. Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, ...
  7. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Graphen ableiten
    ... Funktion, ein Koordinatensystem, so dass die x-Achsen genau untereinander sind, bezeichnen Sie die besonderen Punkte Maximum, Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt und ziehen Sie dann senkrechte Linien nach unten. Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragen Alle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT´s) wie Maximum und Sattelpunkt enden auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat. 2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und ...
  8. Graph
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
    Graph
    ... ist eine Einteilung von -5 bis 5 auf der x-Achse und auf der f(x)-Achse ausreichend. Es kann aber auch vorkommen, dass diese Einteilung zu groß oder zu klein ist, d.h. das die markanten Punkte nicht zu erkennen sind oder nicht mehr draufpassen. Daher ist es am sinnvollsten sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben. Ist ...
  9. Fläche im Intervall
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche im Intervall
    Fläche im Intervall
    ... d.h. ob du nur Flächen über oder unter der x-Achse hast oder ob du Flächen über und unter der x-Achse hast. Bestimmtes Integral über der x-Achse Bestimmtes Integral über und unter der x-Achse Gibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden. Fläche nur über der x-Achse 1. Flächen nur über der x-Achse f(x)=x²+1 A=$\int_{-2}^{2}(x²+1)dx =[\frac{x³}{3}+x]^2_{-2}$ A$=\frac{2^3}{3}+2-(\frac{(-2)^3}{3}+(-2))=\frac{8}{3}+2+\frac{8}{3}+2$ A$=\frac{16}{3}+4=\frac{16}{3}+\frac{12}{3}$ A$=\frac{28}{3}=9,3$ 1. ...
  10. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse. Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie (verändere b oder a, wenn b nicht 0 ist). Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden. Berechnung der Ortslinie Die Berechnung der Ortslinie erfolgt immer ausgehend vom Extrem- oder Wendepunkt der Kurvenschar. An den Koordinaten der Kurvenschar lässt sich auch erkennen, welcher der drei Fälle auftritt. weder im x- noch im y-Wert ist der Parameter enthalten ( TP (3/5)) im x-Wert ...
  11. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    ... eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber es gibt auch Asymptoten parallel zur x-Achse. Beispiele von e-Funktionen Eigenschaften bei e-Funktionen Diese Eigenschaft der e-Funktion macht sich beim Globalverhalten bemerkbar. Bei e-Funktionen ohne einen Bruch oder eine Summe wie z.B. $f(x)= x²\cdot e^{k\cdot x³}$ gibt es nur waagerechte Asymptoten. Extrempunkte und Wendepunkte gibt es nur, wenn die e-Funktion mit einer ganzrationalen Funktion verknüpft ist bzw. im Exponent ...
  12. Asymptoten
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten
    ... ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an. Asymptoten bei e-Funktionen Bestimmung von Asymptoten Asymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich. Bei e-Funktionen kann der Grenzwert der einen Seite unendlich sein (wie bei der grünen Funktion, ...
  13. Das bestimmte Integral
    Einführung in die Integralrechnung > Das bestimmte Integral
    Das bestimmte Integral
    ... ist die Fläche zwischen der Kurve, der x-Achse, der Grenze a und der Grenze b. Bestimmtes Integral Das bestimmte Integral wird mit dem Hautsatz der Integral- und Differentialrechung berechnet: $$\int_{a}^{b}{ f(x) dx }=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$ 1. Stammfunktion ausrechnen $$\int_{2}^{3}{ x²-1 dx }=[\frac{x^3}{3}-x]_2^3=F(3)-F(2)$$ 2. beide Grenzen in Stammfunktion einsetzen und voneinander subtrahieren $$=\frac{3^3}{3}-3-(\frac{2^3}{3}-2)=\frac{27}{3}-3-\frac{8}{3}+2=\frac{19}{3}-1=5,33$$ In ...
  14. Flächenberechnung
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung
    Flächenberechnung
    ... zwar die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse bestimmt, aber Flächen unter der x-Achse werden negativ berechnet. D.h. bei einer Funktion bei der es eine Fläche über der x-Achse gibt und eine Fläche unter der x-Achse und diese beiden Flächen sind gleich groß ist das Integral 0. Umgangssprachlich werden Flächen über der x-Achse oft als positive Flächen und Flächen unter der x-Achse als negative Flächen bezeichnet. Das ist mathematisch aber nicht korrekt. Eine Fläche kann ...
  15. Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen gehst du ähnlich der Intervallrechnung vor. Der einzige Unterschied besteht darin, dass du die Intervallgrenzen hier nicht gegeben hast. Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt. Bei Flächen unter der x-Achse ...
  16. Fläche zwischen zwei Graphen
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen zwei Graphen
    Fläche zwischen zwei Graphen
    ... Differenzfunktion Flächen über und unter der x-Achse hat, musst du diese wieder seperat berechnen. Die Nullstellen der Differenzfunktion f(x) sind die Schnittpunkte der Funktionen g(x) und h(x) miteinander.
  17. Die Integralrechung im Abitur
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Die Integralrechung im Abitur
    Die Integralrechung im Abitur
    ... Graph von f' befindet sich also unterhalb der x-Achse. Nur an der Stelle x=0 muss ja auch f'(0)=0 gelten (siehe Teil (2)), der Graph berührt dort also die x-Achse und hat dort deshalb ein lokales Maximum!
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Stochastik

  1. Dichtefunktion der Normalverteilung
    Normalverteilung > Dichtefunktion der Normalverteilung
    Dichtefunktion der Normalverteilung
    ... und haben für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse als Asymptote. Mit zunehmender Standardabweichung $\sigma$ werden ihre Graphen flacher und breiter, umso kleiner $\sigma$ wird umso höher und schmaler werden die Graphen. Standard-Normalverteilung Ist $X \sim N (0 ; 1 )$-verteilt, so nennt man $X$ standardnormalverteilt die Dichte der Standard-Normalverteilung wird mit einem $ \large \bf \varphi $ bezeichnet und sieht so aus: $\Large \bf \varphi (t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{ ...
  2. Darstellung von statistischen Daten
    Beschreibende Statistik > Darstellung von statistischen Daten
    Darstellung von statistischen Daten
    ... im Koordinatensystem an, bei denen auf der x-Achse das Merkmal (z.B. die Körpergröße) und auf y-Achse die absolute oder die relative Häufigkeit des Vorkommens abgetragen wird. Punktdiagramme Histogramm Histogramme gehören auch in diese Kategorie. Dabei unterscheidet man verschiedene Typen. Normalisiertes Histogramm Bei einem normalisierten Histogramm werden über den einzelnen Klassen des betrachteten Merkmals Rechtecke gezeichnet, deren Flächeninhalt ihrer relativen Häufigkeit ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. waagerechte und schiefe Asymptoten
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen > waagerechte und schiefe Asymptoten
    waagerechte und schiefe Asymptoten
    ... Grad des Zählers < Grad des Nenners Die x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote. 1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners $f(x)= \frac{x^2-1}{x^3+2}$ Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 3  2<3 -> x-Achse ist waagerechte Asymptote waagerechte Asymptote Grad des Zählers entspricht Grad des Nenners 2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners Die waagerechte Asymptote hat die Form f(x)=c. Dies ist eine konstante Funktion. Die Konstante ...
  2. Rotationsvolumen
    Integralrechnung > Rotationsvolumen
    Rotationsvolumen
    ... Lässt sich die Rotationsachse auf die x-Achse bringen, so dass die Kurve die den Rand oberhalb derselben beschreibt, eine Funktion f ist, kann die Formel für das Volumen einfach hergeleitet werden: Schneidet man an der Stelle $x_0$ durch den Rotationskörper entsteht eine Kreisfläche und die Formel für diesen Flächeninhalt ist bekanntermaßen $A=\pi r^2$. Die Funktion f gibt dabei den Radius an, d.h. es gilt: $f(x_0)=r \Rightarrow A(x)=\pi (f(x))^2$. Führt man sich nun vor Augen, ...
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Elektromagnetismus

  1. Grundbegriffe für Wellen
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Das Phänomen Welle > Grundbegriffe für Wellen
    Grundbegriffe für Wellen
    ... dargestellte Welle. Der Abstand entlang der x-Achse werde in m gemessen. Dann beträgt die Wellenlänge $\lambda$, die man dem x-y-Diagramm entnehmen kann, $\lambda=2 m$ Wenn nun ein Schwinger der Welle mit der Frequenz $f=4$ Hz oszilliert, dann ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ $v=\lambda\cdot f=(2m)\cdot (4 Hz)=8 ms^{-1}$
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    ... - also die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse - zu bestimmen (y=0) und den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden (x=0 einsetzen). Im räumlichen Fall gehen wir ebenso vor: Für alle Punkte auf der x1-Achse gilt, dass ihre x2- und x3-Koordinaten den Wert Null haben. Um die Spurpunkte einer Ebene zu berechnen, setzen wir also in der Ebenengleichung (hier in Koordinatenform) die entsprechenden Koordinaten gleich Null. Gegeben ist die Ebene E mit E: $2x_1+x_2+2x_3=4$. Bestimme ...
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Ökologie

  1. Vegetationsaufnahmen
    terrestrisches Ökosystem > Vegetationsaufnahmen
    Vegetationsaufnahmen
    ... (dürr-frisch-nass) betrachtet. Auf der x-Achse der pH-Wert des Bodens (sehr sauer - mäßig sauer - basisch). Links ist die physiologische Potenz unter diesen abiotischen Umweltfaktoren gezeigt. Was ist der maximale/minimale Wert der "Bodenfeuchtigkeit" bzw. des pH-Werts an dem diese Baumart gedeihen kann. Wo kann dieser Baum nicht wachsen? Rechts ist die Konkurrenz anderer Baumarten miteinbezogen. Kann die Buche noch an einem bestimmten Standort wachsen, wenn eine Eiche oder Erle dort ...
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