Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Y-Achsen-Abschnitt
    ... und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle
  2. Flächenberechnung
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung
    Integral
    ... zwar die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse bestimmt, aber Flächen unter der x-Achse werden negativ berechnet. D.h. bei einer Funktion bei der es eine Fläche über der x-Achse gibt und eine Fläche unter der x-Achse und diese beiden Flächen sind gleich groß ist das Integral 0.Umgangssprachlich werden Flächen über der x-Achse oft als positive Flächen und Flächen unter der x-Achse als negative Flächen bezeichnet. Das ist mathematisch ...
  3. Fläche im Intervall
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche im Intervall
    Bestimmtes Integral
    ... ob du nur Flächen über oder unter der x-Achse hast oder ob du Flächen über und unter der x-Achse hast.Bestimmtes Integral über der x-AchseBestimmtes Integral über und unter der x-AchseGibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.Fläche nur über der x-Achse1. Flächen nur über der x-Achsef(x)=x²+1A=$\int_{-2}^{2}(x²+1)dx =[\frac{x³}{3}+x]^2_{-2}$A$=\frac{2^3}{3}+2-(\frac{(-2)^3}{3}+(-2))=\frac{8}{3}+2+\frac{8}{3}+2$A$=\frac{16}{3}+4=\frac{16}{3}+\frac{12}{3}$A$=\frac{28}{3}=9,3$1. ...
  4. Symmetrie
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Symmetrie
    Minimum fr die Funktion f(x)=x2
    Bei der Betrachtung der Symmetrie unterscheiden wir zwei Arten, die Symmetrie zur y-Achse, kurz Achsensymmetrie, und die Drehsymmetrie zum Ursprung (0/0) mit dem Drehwinkel 180°, kurz Punktsymmetrie.AchsensymmetriePunktsymmetrieAchsensymmetrie zur y-AchseAchsensymmetrie bedeutet, dass der Graph spiegelsymmetrisch bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse ist.Um die Achsensymmetrie bei einer Funktion zu überprüfen muss festgestellt werden ob:f(-x)=f(x). (Sie wissen nicht wie man auf diese Bedingung ...
  5. Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Flche unter einer Kurve
    Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen gehst du ähnlich der Intervallrechnung vor. Der einzige Unterschied besteht darin, dass du die Intervallgrenzen hier nicht gegeben hast.Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt.Bei ...
  6. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragen
    ... Koordinatensystem, so dass die x-Achsen genau untereinander sind, bezeichnen Sie die besonderen Punkte Maximum, Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt und ziehen Sie dann senkrechte Linien nach unten.Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragenAlle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT´s) wieMaximum undSattelpunktenden auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's ...
  7. y-Achsenabschnitt
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > y-Achsenabschnitt
    Y-Achsen-Abschnitt
    Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet. Alle Werte, die auf der y-Achse liegen, habe den x-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der y-Achse hat die Koordinaten (0/y0).Jede ganzrationale Funktion hat einen y-Achsenabschnitt y0. Dieser liegt beim Punkt (0/y0).Y-AchsenabschnittDer y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in der Funktion x Null gesetzt wird, d.h. es wird f(0) berechnet.Bei ganzrationalen Funktionen ist der y-Achsenabschnitt die Konstante am Ende der Funktion.f(x)=-x³+2x-1f(0)=-0³+2$\cdot$0-1=-1f(x)=4x²+2xf(0)=4$\cdot$0²+2$\cdot$0=0Ist ...
  8. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstelle
    Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    ...
  9. Graph
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Graph
    Mastab 1
    ... ist eine Einteilung von -5 bis 5 auf der x-Achse und auf der f(x)-Achse ausreichend. Es kann aber auch vorkommen, dass diese Einteilung zu groß oder zu klein ist, d.h. das die markanten Punkte nicht zu erkennen sind oder nicht mehr draufpassen.Daher ist es am sinnvollsten sich die markanten Punkte, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Extrempunkte und Wendestellen vorher anzusehen und daran seine Achseneinteilung anzupassen. x- und y-Achse können auch unterschiedliche Einteilungen haben.Ist ...
  10. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Beispiele von e-Funktionen
    ... eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber es gibt auch Asymptoten parallel zur x-Achse.Beispiele von e-FunktionenEigenschaften bei e-FunktionenDiese Eigenschaft der e-Funktion macht sich beim Globalverhalten bemerkbar. Bei e-Funktionen ohne einen Bruch oder eine Summe wie z.B. $f(x)= x²\cdot e^{k\cdot x³}$ gibt es nur waagerechte Asymptoten.Extrempunkte und Wendepunkte gibt es nur, wenn die e-Funktion mit einer ganzrationalen Funktion verknüpft ist bzw. im Exponent ...
  11. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Skizze Beispiel 1
    Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache dir auch eine Skizze von der Funktion.Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion $\ f(x)=(x+2)²-4=x²+4x=x(x+4) $ sagen:Die Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel.(Begründung: x² ist positiv)Die Funktion hat bei (-2/-4) ihren Scheitelpunkt, ...
  12. Vergleich der Wendepunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    ... (Sattelpunke), liegt das Minimum auf der x-Achse bei 0.Ist am Wendepunkt eine negative Steigung, liegt das Minimum im Negativen.Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver SteigungRechts-Links-SattelpunktRechts-Links-Wendepunkt mit negativer SteigungAlle Links-Rechts-Wendepunkte, zu denen auch die L-R-Sattelpunkte gehören, finden Sie in Graphenabschnitten, welche zuerst linksgekrümmt und dann rechtsgekrümmt sind.Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, da die ...
  13. Die Integralrechung im Abitur
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Die Integralrechung im Abitur
    Abituraufgabe zur graphischen Ableitung
    ... Graph von f' befindet sich also unterhalb der x-Achse. Nur an der Stelle x=0 muss ja auch f'(0)=0 gelten (siehe Teil (2)), der Graph berührt dort also die x-Achse und hat dort deshalb ein lokales Maximum!
  14. Asymptoten
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten bei e-Funktionen
    ... ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an.Asymptoten bei e-FunktionenBestimmung von AsymptotenAsymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich.Bei e-Funktionen kann der Grenzwert der einen Seite unendlich sein (wie bei der grünen ...
  15. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie (verändere b oder a, wenn b nicht 0 ist).Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.Berechnung der OrtslinieDie Berechnung der Ortslinie erfolgt immer ausgehend vom Extrem- oder Wendepunkt der Kurvenschar. An den Koordinaten der Kurvenschar lässt sich auch erkennen, welcher der drei Fälle auftritt.weder im x- noch im y-Wert ist der Parameter enthalten ( TP (3/5))im x-Wert ist ...
  16. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Kubische Funktion mit einer Nullstelle
    ... in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen). Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen.Kubische Funktion mit einer NullstelleKubische Funktion mit zwei NullstellenKubische Funktion mit drei Nullstellenf(x)=3$x^5$-4x²Die ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
  • 99 Texte mit 116 Bildern
  • 174 Übungsaufgaben
  • und 29 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Koordinatensystem
    Einleitung und Grundlagen > Koordinatensystem
    Koordinatensystem
    Das bekannte kartesische Koordinatensystem, in dem sich die x- und die y-Achse senkrecht im Ursprung O(0|0) schneiden, wird um eine dritte Koordinatenachse erweitert. Diese steht ebenfalls orthogonal auf den beiden anderen und wird mit z bezeichnet.Reihenfolge und BezeichnungStatt von x-, y- und z-Achse spricht man in der Analytischen Geometrie häufiger von x1-,  x2- und x3-Achse.Wenn wir ein Blatt vor uns haben und ein Koordinatensystem darauf zeichnen, so zeigt die x3-Achse nach oben, ...
  2. Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Ebene im Koordinatensystem
    ... - also die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse - zu bestimmen (y=0) und den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden (x=0 einsetzen). Im räumlichen Fall gehen wir ebenso vor: Für alle Punkte auf der x1-Achse gilt, dass ihre x2- und x3-Koordinaten den Wert Null haben.Um die Spurpunkte einer Ebene zu berechnen, setzen wir also in der Ebenengleichung (hier in Koordinatenform) die entsprechenden Koordinaten gleich Null.Gegeben ist die Ebene E mit E: $2x_1+x_2+2x_3=4$. Bestimme ...
Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
  • 69 Texte mit 44 Bildern
  • 196 Übungsaufgaben
  • und 23 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Ökologie

  1. Vegetationsaufnahmen
    terrestrisches Ökosystem > Vegetationsaufnahmen
    kogramm der Schwarzerle: Die Schwarzerle hat ein ganz bevorzugtes Optimum was ihre Ansprche an Feuchtigkeit und pH-Wert angeht. Sie wird jedoch von Konkurrenten in Nischen
    ... (dürr-frisch-nass) betrachtet. Auf der x-Achse der pH-Wert des Bodens (sehr sauer - mäßig sauer - basisch).Links ist die physiologische Potenz unter diesen abiotischen Umweltfaktoren gezeigt. Was ist der maximale/minimale Wert der "Bodenfeuchtigkeit" bzw. des pH-Werts an dem diese Baumart gedeihen kann. Wo kann dieser Baum nicht wachsen?Rechts ist die Konkurrenz anderer Baumarten miteinbezogen. Kann die Buche noch an einem bestimmten Standort wachsen, wenn eine Eiche oder Erle ...
kologie
  • 65 Texte mit 73 Bildern
  • 290 Übungsaufgaben
  • und 16 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Stochastik

  1. Darstellung von statistischen Daten
    Beschreibende Statistik > Darstellung von statistischen Daten
    Beispiel fr ein Kreis- und ein Sulendiagramm
    ... im Koordinatensystem an, bei denen auf der x-Achse das Merkmal (z.B. die Körpergröße) und auf y-Achse die absolute oder die relative Häufigkeit des Vorkommens abgetragen wird.PunktdiagrammeHistogrammHistogramme gehören auch in diese Kategorie. Dabei unterscheidet man verschiedene Typen.Normalisiertes HistogrammBei einem normalisierten Histogramm werden über den einzelnen Klassen des betrachteten Merkmals Rechtecke gezeichnet, deren Flächeninhalt ihrer relativen ...
Stochastik
  • 29 Texte mit 35 Bildern
  • 106 Übungsaufgaben
  • und 13 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. waagerechte und schiefe Asymptoten
    Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen > waagerechte und schiefe Asymptoten
    waagerechte Asymptote
    ... Grad des Zählers < Grad des NennersDie x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote.1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners$f(x)= \frac{x^2-1}{x^3+2}$Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 3 2 x-Achse ist waagerechte Asymptotewaagerechte AsymptoteGrad des Zählers entspricht Grad des Nenners2. Fall Grad des Zählers = Grad des NennersDie waagerechte Asymptote hat die Form f(x)=c. Dies ist eine konstante Funktion.Die Konstante c kann durch die Grenzwertbildung ...
Weiterfhrende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
  • 43 Texte mit 28 Bildern
  • 56 Übungsaufgaben
  • und 13 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Welle-Teilchen-Dualismus > Photoeffekt - Die Gegenfeldmethode - quantitative Analyse > Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums
    Abhngigkeit der kinetischen Energie der Elektronen von der Lichtfrequenz
    Mit Hilfe der Gegenfeldmethode haben wir die Gleichung$E_{kin}=eU$erhalten.Diese Gleichung liefert uns im Prinzip die Antwort darauf, wie man im weiteren Experiment vorgehen muss.Abhängigkeit der kinetischen Energie $E_{kin}$ der Elektronen von der Frequenz $f$ des Lichts Aus der Besprechung der Gegenfeldmethode in der Photozelle wissen wir, dass die gemessene Gegenspannung $U$, bei der kein mehr Strom fliesst, ein Maß für die kinetische Energie der Elektronen ist.Der Versuch ...
Quanteneffekte & Struktur der Materie
  • 11 Texte mit 20 Bildern
  • 18 Übungsaufgaben
  • und 6 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Relativitätstheorie

  1. Relativistischer Impuls
    Relativistische Dynamik > Relativistische Messgrößen > Relativistischer Impuls
    Die Formel für den relativistischen Impuls $\vec{p}$ eines Objekts hatten wir im vorigen Abschnitt in der Form$\vec{p}=m(u)\vec{u}$notiert. Darin ist $m(u)$ die relativistische Masse und $\vec{u}$ die Geschwindigkeit des Objekts in einem Inertialsystem $S$. Benutzt man explizit die Massenformel, so lässt sich dieser Ausdruck in der Form$\vec{p}=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\vec{u}$schreiben.Die Formel lässt sich vereinfachen, falls der Geschwindigkeitsvektor $\vec{u}$ in Richtung ...
Relativittstheorie
  • 21 Texte mit 19 Bildern
  • 17 Übungsaufgaben
  • und 6 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG