Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Extrempunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Extrempunkte komplexe e-Funktion
    ... xE3=-$\sqrt{0,75}$=-0,87b) y-Werte berechnenEinsetzen der Extremstellen in die AusgangsfunktionyE1=f(xE1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =yE1=0yE2=f(xE2)=f($\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,75})^2+1}$ =-1,18yE2=-1,18yE3=f(xE3)=f($-\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (-\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{0,75})^2+1}$ =1,18yE3=1,18c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitungf´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$Berechnung ...
  2. Extrempunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Extrempunkte kubische Schar
    ... das die Extremstellen auseinander wandern.b) y-Werte berechnenyE1-WertyE1=f(xE1)=f($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-2t$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$)³+3t²$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$)Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise.yE1=-2t$\cdot \sqrt{\frac{1}{2^3}}\cdot t^\frac{3}{2}$+3t²$\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot ...
  3. Wendepunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Wendepunkte kubische Schar
    ... t $\neq0$.Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$b) y-Werte berechnenEinsetzen der Extremstellen in die AusgangsfunktionyW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0Ergebnis: yW1=0c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte mit der 3. Ableitungf´´´(x)=-12tf´´´(xW1)=f´´´(0)=-12t  (Da wir nichts in f´´´einsetzen können, weil kein x vorhanden ist, bleibt die Funktion so stehen.)Die Art der Wendepunkte ergibt ...
  4. Grundaufgaben der Analysis
    Grundaufgaben der Analysis
    ... vier Fragestellungen häufig im Abitur vor:y-Wert berechnen zu einem gegebenen x-Wertx-Wert berechnen zu einem gegebenen y-WertSteigung berechnen zu einem gegebenen x-WertPunkt berechnen zu einer gegebenen SteigungAlle vier Punkte werden in den folgenden Kapitel nacheinander behandelt.
  5. y-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > y-Wert berechnen
    Die Berechnung des y-Wertes bei gegebenen x-Wert ist die einfachste Aufgabe.Hier muss der x-Wert in die gegebene Funktion eingesetzt werden.f(x)=$x^3-2x+1$Aufgabe: Berechne den Wert an der Stelle -3.Die -3 wird für x in die gesamte Funktion eingesetzt, also auch bei f(x)f(-3)=$(-3)^3-2(-3)+1=-27+6+1=-20$f(-3) wird gesprochen f von -3 oder f an der Stelle 3.Mit Wert ist immer der y-Wert gemeint, deshalb heißt der y-Bereich auch Wertebereich.Mit Stelle ist immer der x-Wert gemeint.Die Schwierigkeit ...
  6. x-Wert berechnen
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    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    Die Berechnung des x-Wertes bei gegebenen y-Wert ist schon schwieriger.Hier muss der y-Wert bzw. f(x) mit der gegebenen Funktion gleichgesetzt  und die entstehende Gleichung nach x aufgelöst werden.(Auf die verschiedenen Methoden zum Auflösen von Gleichungen wird im Modul "Analysis Grundlagen" eingegangen.)f(x)=$x^2-6x+9$Aufgabe: Berechne die x-Koordinate für f(x)=41. Die 4 wird mit der gesamten Funktion gleichgesetzt4=$x^2-6x+9$2. Die Gleichung wird nach x aufgelöst. Da ...
  7. Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    Grundaufgaben der Analysis > Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    ... ist so ähnlich wie die Aufgabe zu den y-Wert zu berechnen.Hier muss der x-Wert in die Ableitungsfunktion eingesetzt werden, da die Ableitungsfunktion die Tangentensteigungsfunktion ist und die Ableitung an einer Stelle = der Steigung an der Stelle ist.f(x)=$x^3-2x+1$      f´(x)=$3x^2-2$Aufgabe: Berechne die Steigung an der Stelle -3.Die -3 wird für x in die gesamte Ableitungsfunktion eingesetzt, also auch bei f´(x)f´(-3)=$3\cdot (-3)^2-2=27-2=25$f´(-3) ...
  8. Wendepunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Wendepunkte der e-Schar
    ... ist es kein Wendepunkt.mit f(xW)=yW den y-Wert des Wendepunktes berechnen.Wendepunkt aufschreiben (xW/yW) z.B LR-WP (2/3)$f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ $f´_t(x)4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})$,$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t^2\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t^2\cdot(e^{tx}+e^{-tx})=0$Durch die Konstruktion der Gleichung kann man erkennen, dass es dort keine Lösung gibt, da die Terme mit e nicht 0 werden können.Hier gibt es keine ...
  9. Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte
    Maximum bei f(x)=-x2
    Unter Extrempunkten versteht man Punkte, deren y-Werte minimal am kleinsten oder maximal am größten sind. Dazu gehört der Hochpunkt (Maximum) und der Tiefpunkt (Minimum).Hochpunkt (Maximum) für die Funktion f(x)=-x2Tiefpunkt (Minimum) für die Funktion f(x)=x2Um Extrempunkte berechnen zu können, brauchen Sie folgende grundlegende rechnerischen Fähigkeiten:Nullstellen berechnen (p-q-Formel, Polynomdivision)von einer gegebenen Funktion den y-Wert mit dem x-Wert au...
  10. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    ... xW5=-$\sqrt{0,25}$=-0,5b) y-Werte berechnenEinsetzen der Extremstellen in die AusgangsfunktionyW1=f(xW1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =yW1=0yW2=f(xW2)=f($\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{1,5})^2+1}$ =-0,75yW2=-0,75yW3=f(xE3)=f($-\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (-\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{1,5})^2+1}$ =0,75yW3=0,75yW4=f(xW2)=f($\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,25})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,25})^2+1}$ =-0,62yW4=-0,62yW5=f(xE3)=f($-\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot ...
  11. Asymptoten
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten bei e-Funktionen
    ... Funktion, wo bei x gegen + unendlich der y-Wert gegen + unendlich läuft) und der Grenzwert der anderen Seite eine Zahl (wie bei der grünen Funktion, wo bei x gegen - unendlich der y-Wert gegen -1 läuft, d.h die Asymptote y=-1 ist).Oder wie bei der blauen Funktion, können auch beide Grenzwerte ( für x gegen - unendlich und für x gegen + unendlich) eine Zahl sein (die Asymptote ist hier y=1).Das asymptotische Verhalten der e-Funktion ergibt sich aus der Tatsache, ...
  12. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... drei Fälle auftritt.weder im x- noch im y-Wert ist der Parameter enthalten ( TP (3/5))im x-Wert ist kein Parameter, aber im y-Wert ( HP (3/2t), die Ortslinie hat dann die Gleichung x=3.im y-Wert ist kein Parameter, aber im x-Wert ( WP (3t/2), die Ortslinie hat dann die Gleichung y=2.im x-Wert und im y-Wert ist ein Parameter (HP (4t/2t)), die Ortslinie ist dann eine Funktion und muss durch umstellen des x-Wertes nach t und Einsetzen des t´s in die Ausgangsgleichung berechnet werden.Ortslinie ...
  13. Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
    ... Berechnung des x-Wertes und die Berechnung des y-Wertes.Berechnung des x-Wertes zur vorgegebenen Steigung, d.h die Ableitungsfunktion wird mit der gegebenen Steigung gleichgesetzt und nach x aufgelöst.Berechnung des y-Wertes mit dem berechneten x-Wert, d.h. der x-Wert wird in die Ausgangsfunktion eingesetzt.$f(x)=x^3-2x+1$      $f´(x)=3x^2-2$Aufgabe: Berechne den Punkt mit der Steigung 101. Die 10 wird mit der Ableitungsfunktion gleichgesetzt und nach x aufgelöst.$10=3x^2-2$  ...
  14. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    ... mit den Achseny-Achsenabschnitt (y-Wert bei x=0)$f_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$Nullstellen (x-Wert bei y=0)Die Gleichung $f_t(x)=0=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ muss nach x aufgelöst werden.Da aber $e^{tx}$ und $e^{-tx}$ beide immer größer als Null sind, kann die Gleichung niemals Null werden, d.h es gibt keine Nullstellen.
  15. Extrempunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Extrempunkte der e-Schar
    Berechnung des Extrempunktes mit dem Casio Classpad
    ... sondern ein Sattelpunkt.mit f(xE)=yE den y-Wert des Extrempunktes berechnen.Extrempunkt aufschreiben (xE/yE) z.B HP (2/3)Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen:$f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ mit Kettenregel ableiten$f´_t(x)=4\cdot(t\cdot e^{tx}+-t\cdot e^{-tx})=4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})$f´(x) mit Kettenregel und Produktregel ableiten$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t\cdot(t\cdot e^{tx}--t\cdot e^{-tx})$$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t^2\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$$f´_t=4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})=0$$x_E=0$ ...
  16. Globalverhalten
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    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Globalverhalten
    nach unten geffnete Parabel
    Beim Globalverlauf wird das Verhalten der y-Werte betrachtet, wenn die x-Werte positiv oder negativ unendlich groß werden (x->$\infty$ und x->$-\infty$).Das Globalverhalten wird auch Verhalten im Unendlichen genannt, da betrachtet wird, wie sich die Funktion f(x) im Unendlichen (d.h. für unendlich große x-Werte) verhält.Bei ganzrationalen Funktionen gibt es nur vier unterschiedliche Globalverläufe. Zwischenden beiden "Enden" der Funktion können beliebig viele ...
  17. Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung
    ... von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver SteigungLinks-Rechts-Wendepunkt mit positiver SteigungBesonderheiten am L-R-WP mit positiver Steigung in f(x)Steigung nimmt zum WP hin zuSteigung nimmt nach dem WP abmaximale positiver Steigung am WP treten immer zwischen einem TPmit folgendem HP aufDaraus ergibt sich: Der Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat  ein Maximum im PositivenLinks-Rechts-Wendepunkt ...
  18. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... xE=-2b) y-Wert berechnenyE=f(xE)=f(-2)=(-2)²+4 $\cdot $ (-2)=4-8=-4yE=-4c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitungf´´(x)=2>0 -> TiefpunktErgebnis: TP (-2/-4)WendepunkteBedingung: f``(x)=0                 f``(x)=2 $\neq$ 0 -> es gibt keine WendepunkteGlobalverhaltenDa die Funktion positiv ist und der höchste Exponent gerade ...
  19. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    ... ist es kein Wendepunkt.mit f(xW)=yW den y-Wert des Wendepunktes berechnen.Wendepunkt aufschreiben (xW|yW) z.B LR-WP (2|3)f(x)=-3x³+12x+3f(x)=-3x³+12x+3f'(x)=-9x²+12, f''(x)=-18x, f'''(x)=-180=-18x Gleichung auflösen: xE=0f'''(xW)=f'''(0)=-18, -18 ist kleiner als 0, also ist es ein LR-Wendepunktf(xW)=f(0)=-3$\cdot$0³+12$\cdot$0+3=3LR-WP (0|3)f(x)=2x³+6x²-5f(x)=2x³+6x²-5f'(x)=6x²+12x, f''(x)=12x+12, f'''(x)=120=12x+12 Gleichung auflösen: ...
  20. Kurvenschar Wurzel 2
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Wurzel 2
    Funktion der Diskriminante
    ... D = 0, D < 0 und D > 0 ist. D ist der y-Wert und t der x-Wert.für t =x= 0 und t=x = 4 ist D= y= 0für 0 < t < 4 ist D < 0für t < 0 und t > 4 ist D > 0Daraus ergibt sich jetzt die Klassifizierung der Nullstellen:für t = 0 und t = 4    gibt es eine Nullstelle bei x0=-$\frac{t}{2}$für 0 < t < 4             gibt es keine Nullstellefür t < 0 und t > 4     gibt es zwei ...
  21. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Skizze Beispiel 1
    ... 0 werden, so dass es keinen Extrempunkt gibt.b) y-Wert berechnen und c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung entfällt.Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte.WendepunkteBedingung: f``(x)=0                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ ...
  22. Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung
    ... von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.WP = WendepunktRechts-Links-Wendepunkt mit negativer SteigungRechts-Links-Wendepunkt mit negativer SteigungBesonderheiten am R-L-WP mit negativer Steigung in f(x)Steigung nimmt zum WP hin zuSteigung nimmt nach dem WP abmaximale negative Steigung am WPWP tritt immer zwischen einem HPmit folgendem TP aufDaraus ergibt sich: Der Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat ein Minimum im Negativen.Rechts-Links-Wendepunkt ...
  23. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Berechnung der Nulstelle
    ... Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    /+4x0²=4       /$\surd$x0=$\pm\sqrt4$x0=$\pm$2x01=+2x02=-2Die ...
  24. Berechnung der Extrempunkte
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Berechnung der Extrempunkte
    ... ein sogenannter Flachpunkt.mit $f(x_E)=y_E$ den y-Wert des Extrempunktes berechnen.Extrempunkt aufschreiben $(x_E | y_E)$ z.B HP $(2|3)$Mit zwei Beispielen wollen wir einige Fälle kurz verdeutlichen:1. Beispiel: $f(x)=-3x^2+12x$$f'(x)=-6x+12$ und $f ''(x)=-6$$0=-6x+12$  Gleichung auflösen: $x_E =2$$f''(x_E)=f''(2)=-6$f(x_E)=f(2)=-3 \cdot 2^2 +12 \cdot 2=12$HP $(2|12)$2. Beispiel: $f(x)=0,5x^3+1$$f'(x)=1,5x^2$ und $f''(x)=3x$$0=1,5x^2$ Gleichung auflösen: $x_E=0$$f''(0)=0$ -> ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. exponentielles Wachstum
    Wachstums- und Zerfallsprozesse > exponentielles Wachstum
    exponentieller Zerfall
    ... Halbwertszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die Menge an Uran c, um die Hälfte sinkt c/2.Wenn $u(t)=c e^{-k t}$, dann gilt für die Halbwertszeit $\frac{c}{2}=c \cdot e^{-k \cdot t_H}$.Das kann vereinfacht werden zu:$\frac{1}{2}=0,5=e^{-k \cdot t_H}$.Wenn wir jetzt nach $t_H$ umstellen dann ist $t_H=\frac{ln 0,5}{-k}$.Beachte: Hier ist k positiv, da das Vorzeichen von k negativ ist!Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die die Menge an Algen c, sich ...
  2. lineares Wachstum
    Wachstums- und Zerfallsprozesse > lineares Wachstum
    lineares Wachstum
    ... t, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.u(10)=30+1200=1230mm=1,23mAufgabe: t=-20, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.u(-20)=-60+1200=1140mm=1,14msiehe untenAufgabe: Länge=1,5m=1500mm, d.h. y-Wert, ist gegeben t, d.h. x-Wert ist gesucht.1500=3t+1200, t=100 JahreAufgabe: Berechnung der Nullstelle0=3t+1200, t=-400 Jahrelineares Wachstum eines Stalagmiten
  3. Regression und Interplolation
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Regression und Interplolation
    Regression mit e-Funktion
    ... durchgeführt. Die x- und die y-Werte werden in zwei Listen im Statistikmenü des Taschenrechners eingegeben. Dann wird die Regressionsfunktion, die verwendet werden soll (linear, quadratisch, exponentiell, e-Funktion, 3. Grades, 4. Grades, logistisch) ausgewählt.Es wird der Typ der Funktionsgleichung angezeigt und die Zahlen für die entsprechenden Parameter.Regression mit dem Classpad 330Dabei sind r der Korrelationskoeffizient, r² das Bestimmheitsmass, MSe ...
  4. Wachstums- und Zerfallsprozesse
    Wachstums- und Zerfallsprozesse
    ... findet ihr die typischen Mathematikaufgaben:y-Wert berechnen, bei gegebenen x-Wertx-Wert berechnen, bei gegebenen y-WertNullstellen berechnenExtrempunkte und Wendepunkte berechnenSchnittpunkte berechnenSteigungen berechnenGraph zeichnenZusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor.Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden.Gleichungen für ...
  5. Logarithmusfunktionen
    Funktionsklassen > Logarithmusfunktionen
    Logarithmus
    ... erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$.Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestelltentsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis 10 $y=10^x$. Die dazugehörigen Logarithmusfunktionen heißen $y=log_e ...
  6. Beispiel einer Trassierung
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    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Beispiel einer Trassierung
    Beispiel einer Trassierung
    ... bzw. 3 sind die y-Werte der Punkte P und Q.           ohne Knick                        g´(0)=0=f´(0) und h´(2)=0,5=f´(2)                 0 bzw. 0,5 sind die Steigungen der Tangente an den Punkten P und Q   ohne Krümmungsruck     ...
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    ... eines x-Wertes zu gegebenen y-WertSchnittpunktberechnung von zwei FunktionenNullstellenNullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.x-WertBerechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.SchnittpunktSchnittpunktberechnung von zwei Funktionen$f(x)=-5x²   g(x)=9x²-4x$$-5x²=9x²-4x$Diese ...
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Geraden
    Geraden
    ... (linearen) Zusammenhangs zwischen x- und y-Wert. Jetzt wollen wir einen Schritt weitergehen und Geraden in den dreidimensionalen Raum übertragen. Hierbei stellen wir uns in diesem Kapitel folgende Fragen:Wie gehen wir jetzt mit Geraden im Dreidimensionalen um? Wie "sehen" solche Geraden denn "aus"?Wie können wir eine solche Gerade mathematisch beschreiben? Gibt es vielleicht mehrere Möglichkeiten?Welche Lage können Geraden im Dreidimensonalen zueinander einnehmen?Was ...
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