Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Berechnung der Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Berechnung der Extrempunkte
    ... sondern ein Sattelpunkt. mit $f(x_E)=y_E$ den y-Wert des Extrempunktes berechnen. Extrempunkt aufschreiben $(x_E | y_E)$ z.B HP $(2|3)$ Mit drei Beispielen wollen wir diese drei Fälle kurz verdeutlichen: 1. Beispiel: $f(x)=-3x^2+12x$ $f'(x)=-6x+12$ und $f ''(x)=-6$ $0=-6x+12$  Gleichung auflösen: $x_E =2$ $f''(x_E)=f''(2)=-6<0$, also ist der Extrempunkt ein HP $f(x_E)=f(2)=-3 \cdot 2^2 +12 \cdot 2=12$ HP $(2|12)$ 2. Beispiel: $f(x)=2x^3+6x^2-5$ $f'(x)=6x^2+12x$ und ...
  2. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Einfache e-Funktion
    ... werden, so dass es keinen Extrempunkt gibt. b) y-Wert berechnen und c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung entfällt. Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte. Wendepunkte Bedingung: f``(x)=0                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden. Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte. Globalverhalten Da die Funktion fallend ist gilt: wenn x-> $\infty$, ...
  3. Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    ... Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion. WP = Wendepunkt Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer Steigung Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer Steigung Besonderheiten am R-L-WP mit negativer Steigung in f(x) Steigung nimmt zum WP hin zu Steigung nimmt nach dem WP ab maximale negative Steigung am WP WP tritt immer zwischen einem HP mit folgendem TP auf Daraus ergibt sich: Der Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat ein Minimum im Negativen. Rechts-Links-Wendepunkt ...
  4. Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    ... Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion. Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung Besonderheiten am L-R-WP mit positiver Steigung in f(x) Steigung nimmt zum WP hin zu Steigung nimmt nach dem WP ab maximale positiver Steigung am WP  treten immer zwischen einem TP mit folgendem HP auf Daraus ergibt sich: Der Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat  ein Maximum im Positiven Links-Rechts-Wendepunkt ...
  5. Grundaufgaben der Analysis
    Grundaufgaben der Analysis
    ... vier Fragestellungen häufig im Abitur vor: y-Wert berechnen zu einem gegebenen x-Wert x-Wert berechnen zu einem gegebenen y-Wert Steigung berechnen zu einem gegebenen x-Wert Punkt berechnen zu einer gegebenen Steigung Alle vier Punkte werden in den folgenden Kapitel nacheinander behandelt.
  6. y-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > y-Wert berechnen
    y-Wert berechnen
    Die Berechnung des y-Wertes bei gegebenen x-Wert ist die einfachste Aufgabe. Hier muss der x-Wert in die gegebene Funktion eingesetzt werden. f(x)=$x^3-2x+1$ Aufgabe: Berechne den Wert an der Stelle -3. Die -3 wird für x in die gesamte Funktion eingesetzt, also auch bei f(x) f(-3)=$(-3)^3-2(-3)+1=-27+6+1=-20$ f(-3) wird gesprochen f von -3 oder f an der Stelle 3. Mit Wert ist immer der y-Wert gemeint, deshalb heißt der y-Bereich auch Wertebereich. Mit Stelle ist immer der x-Wert ...
  7. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    x-Wert berechnen
    Die Berechnung des x-Wertes bei gegebenen y-Wert ist schon schwieriger. Hier muss der y-Wert bzw. f(x) mit der gegebenen Funktion gleichgesetzt  und die entstehende Gleichung nach x aufgelöst werden.(Auf die verschiedenen Methoden zum Auflösen von Gleichungen wird im Modul "Analysis Grundlagen" eingegangen.) f(x)=$x^2-6x+9$ Aufgabe: Berechne die x-Koordinate für f(x)=4 1. Die 4 wird mit der gesamten Funktion gleichgesetzt 4=$x^2-6x+9$ 2. Die Gleichung wird nach x aufgelöst. Da es ...
  8. Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    Grundaufgaben der Analysis > Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    ... x-Wert ist so ähnlich wie die Aufgabe zu den y-Wert zu berechnen. Hier muss der x-Wert in die Ableitungsfunktion eingesetzt werden, da die Ableitungsfunktion die Tangentensteigungsfunktion ist und die Ableitung an einer Stelle = der Steigung an der Stelle ist. f(x)=$x^3-2x+1$      f´(x)=$3x^2-2$ Aufgabe: Berechne die Steigung an der Stelle -3. Die -3 wird für x in die gesamte Ableitungsfunktion eingesetzt, also auch bei f´(x) f´(-3)=$3\cdot (-3)^2-2=27-2=25$ f´(-3) ...
  9. Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
    ... Berechnung des x-Wertes und die Berechnung des y-Wertes. Berechnung des x-Wertes zur vorgegebenen Steigung, d.h die Ableitungsfunktion wird mit der gegebenen Steigung gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Berechnung des y-Wertes mit dem berechneten x-Wert, d.h. der x-Wert wird in die Ausgangsfunktion eingesetzt. $f(x)=x^3-2x+1$      $f´(x)=3x^2-2$ Aufgabe: Berechne den Punkt mit der Steigung 10 1. Die 10 wird mit der Ableitungsfunktion gleichgesetzt und nach x aufgelöst. $10=3x^2-2$  ...
  10. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstellen
    ... Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0). Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle. Quadratische Funktion mit Nullstelle Berechnung der Nullstelle Die Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt. f(x)=x²-4=00=x0²-4    /+4x0²=4       /$\surd$x0=$\pm\sqrt4$x0=$\pm$2x01=+2x02=-2 Die Berechnung der Nullstellen ...
  11. Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte
    Extrempunkte
    Unter Extrempunkten versteht man Punkte, deren y-Werte minimal am kleinsten oder maximal am größten sind. Dazu gehört der Hochpunkt (Maximum) und der Tiefpunkt (Minimum). Hochpunkt (Maximum) für die Funktion f(x)=-x2 Tiefpunkt (Minimum) für die Funktion f(x)=x2 Um Extrempunkte berechnen zu können, brauchen Sie folgende grundlegende rechnerischen Fähigkeiten: Nullstellen berechnen (p-q-Formel, Polynomdivision) von einer gegebenen Funktion den y-Wert mit dem x-Wert ausrech...
  12. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    Berechnung von Wendepunkten
    ... ist es kein Wendepunkt. mit f(xW)=yW den y-Wert des Wendepunktes berechnen. Wendepunkt aufschreiben (xW|yW) z.B LR-WP (2|3) f(x)=-3x³+12x+3 f(x)=-3x³+12x+3 f'(x)=-9x²+12, f''(x)=-18x, f'''(x)=-18 0=-18x Gleichung auflösen: xE=0 f'''(xW)=f'''(0)=-18, -18 ist kleiner als 0, also ist es ein LR-Wendepunkt f(xW)=f(0)=-3$\cdot$0³+12$\cdot$0+3=3 LR-WP (0|3) f(x)=2x³+6x²-5 f(x)=2x³+6x²-5 f'(x)=6x²+12x, f''(x)=12x+12, f'''(x)=12 0=12x+12 Gleichung auflösen: xw=-1 f'''(-1)=12 ...
  13. Globalverhalten
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    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Globalverhalten
    Globalverhalten
    Beim Globalverlauf wird das Verhalten der y-Werte betrachtet, wenn die x-Werte positiv oder negativ unendlich groß werden (x->$\infty$ und x->$-\infty$). Das Globalverhalten wird auch Verhalten im Unendlichen genannt, da betrachtet wird, wie sich die Funktion f(x) im Unendlichen (d.h. für unendlich große x-Werte) verhält. Bei ganzrationalen Funktionen gibt es nur vier unterschiedliche Globalverläufe. Zwischenden beiden "Enden" der Funktion können beliebig viele Maxima, Minima und Wendepunkte ...
  14. Wertebereich
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Wertebereich
    Wertebereich
    ... definiert ist, d. h. der Bereich, in dem alle y-Werte liegen. Der Wertebereich kann aus dem Graphen bestimmt werden, aber auch, wenn die Extrempunkte und das Verhalten im Unendlichen (Globalverlauf) bekannt sind.Bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei Möglichkeiten, je nachdem ob der höchste Exponent ungerade oder gerade ist. Funktionen mit einem ungeraden höchsten Exponenten Da bei Funktionen mit einem ungeraden höchsten Exponenten wie z.B. $x^3$+$x^2$ oder $x^5$ der Graph der Funktion ...
  15. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    ... xE=-2 b) y-Wert berechnen yE=f(xE)=f(-2)=(-2)²+4 $\cdot $ (-2)=4-8=-4yE=-4 c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung f´´(x)=2>0 -> Tiefpunkt Ergebnis: TP (-2/-4) Wendepunkte Bedingung: f``(x)=0                 f``(x)=2 $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte Globalverhalten Da die Funktion positiv ist und der höchste Exponent gerade gilt: wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $\infty$ wenn x-> $-\infty$, ...
  16. Kurvenschar Wurzel 2
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Klassifizierung von Kurvenscharen > Kurvenschar Wurzel 2
    Kurvenschar Wurzel 2
    ... D = 0, D < 0 und D > 0 ist. D ist der y-Wert und t der x-Wert. für t =x= 0 und t=x = 4 ist D= y= 0für 0 < t < 4 ist D < 0für t < 0 und t > 4 ist D > 0 Daraus ergibt sich jetzt die Klassifizierung der Nullstellen: für t = 0 und t = 4    gibt es eine Nullstelle bei x0=-$\frac{t}{2}$für 0 < t < 4             gibt es keine Nullstellefür t < 0 und t > 4     gibt es zwei Nullstellen bei $x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$ In ...
  17. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... drei Fälle auftritt. weder im x- noch im y-Wert ist der Parameter enthalten ( TP (3/5)) im x-Wert ist kein Parameter, aber im y-Wert ( HP (3/2t), die Ortslinie hat dann die Gleichung x=3. im y-Wert ist kein Parameter, aber im x-Wert ( WP (3t/2), die Ortslinie hat dann die Gleichung y=2. im x-Wert und im y-Wert ist ein Parameter (HP (4t/2t)), die Ortslinie ist dann eine Funktion und muss durch umstellen des x-Wertes nach t und Einsetzen des t´s in die Ausgangsgleichung berechnet werden. Ortslinie ...
  18. Extrempunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Extrempunkte kubische Schar
    ... das die Extremstellen auseinander wandern. b) y-Werte berechnen yE1-Wert yE1=f(xE1)=f($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-2t$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$)³+3t²$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$) Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise.yE1=-2t$\cdot \sqrt{\frac{1}{2^3}}\cdot t^\frac{3}{2}$+3t²$\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot t^{\frac{1}{2}}$ Jetzt ...
  19. Wendepunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Wendepunkte kubische Schar
    ... t $\neq0$. Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$ b) y-Werte berechnen Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion yW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0 Ergebnis: yW1=0 c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte mit der 3. Ableitung f´´´(x)=-12tf´´´(xW1)=f´´´(0)=-12t  (Da wir nichts in f´´´einsetzen können, weil kein x vorhanden ist, bleibt die Funktion so stehen.) Die Art der Wendepunkte ergibt sich aus dem Wert der 3. Ableitung in Abhängigkeit von t. für t > ...
  20. Asymptoten
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten
    ... Funktion, wo bei x gegen + unendlich der y-Wert gegen + unendlich läuft) und der Grenzwert der anderen Seite eine Zahl (wie bei der grünen Funktion, wo bei x gegen - unendlich der y-Wert gegen -1 läuft, d.h die Asymptote y=-1 ist). Oder wie bei der blauen Funktion, können auch beide Grenzwerte ( für x gegen - unendlich und für x gegen + unendlich) eine Zahl sein (die Asymptote ist hier y=1). Das asymptotische Verhalten der e-Funktion ergibt sich aus der Tatsache, dass $e^{-\infty}$ ...
  21. Extrempunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Extrempunkte komplexe e-Funktion
    ... xE3=-$\sqrt{0,75}$=-0,87 b) y-Werte berechnen Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion yE1=f(xE1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =yE1=0 yE2=f(xE2)=f($\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,75})^2+1}$ =-1,18yE2=-1,18 yE3=f(xE3)=f($-\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (-\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{0,75})^2+1}$ =1,18yE3=1,18 c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitung f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$ Berechnung ...
  22. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    ... xW5=-$\sqrt{0,25}$=-0,5 b) y-Werte berechnen Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion yW1=f(xW1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =yW1=0 yW2=f(xW2)=f($\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{1,5})^2+1}$ =-0,75yW2=-0,75 yW3=f(xE3)=f($-\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (-\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{1,5})^2+1}$ =0,75yW3=0,75 yW4=f(xW2)=f($\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,25})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,25})^2+1}$ =-0,62yW4=-0,62 yW5=f(xE3)=f($-\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot ...
  23. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    ... mit den Achsen y-Achsenabschnitt (y-Wert bei x=0) $f_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$ Nullstellen (x-Wert bei y=0) Die Gleichung $f_t(x)=0=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ muss nach x aufgelöst werden. Da aber $e^{tx}$ und $e^{-tx}$ beide immer größer als Null sind, kann die Gleichung niemals Null werden, d.h es gibt keine Nullstellen.
  24. Extrempunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Extrempunkte der e-Schar
    Extrempunkte der e-Schar
    ... sondern ein Sattelpunkt. mit f(xE)=yE den y-Wert des Extrempunktes berechnen. Extrempunkt aufschreiben (xE/yE) z.B HP (2/3) Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen: $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ mit Kettenregel ableiten$f´_t(x)=4\cdot(t\cdot e^{tx}+-t\cdot e^{-tx})=4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})$f´(x) mit Kettenregel und Produktregel ableiten$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t\cdot(t\cdot e^{tx}--t\cdot e^{-tx})$$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t^2\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ $f´_t=4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})=0$$x_E=0$ ...
  25. Wendepunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Wendepunkte der e-Schar
    ... ist es kein Wendepunkt. mit f(xW)=yW den y-Wert des Wendepunktes berechnen. Wendepunkt aufschreiben (xW/yW) z.B LR-WP (2/3) $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ $f´_t(x)4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})$,$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t^2\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ $f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t^2\cdot(e^{tx}+e^{-tx})=0$Durch die Konstruktion der Gleichung kann man erkennen, dass es dort keine Lösung gibt, da die Terme mit e nicht 0 werden können.Hier gibt es keine Lösung also auch keine ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Logarithmusfunktionen
    Funktionsklassen > Logarithmusfunktionen
    Logarithmusfunktionen
    ... erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird. Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$. Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestellt entsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b) Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis 10 $y=10^x$. Die dazugehörigen Logarithmusfunktionen heißen $y=log_e ...
  2. Regression und Interplolation
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Regression und Interplolation
    Regression und Interplolation
    ... Taschenrechner durchgeführt. Die x- und die y-Werte werden in zwei Listen im Statistikmenü des Taschenrechners eingegeben. Dann wird die Regressionsfunktion, die verwendet werden soll (linear, quadratisch, exponentiell, e-Funktion, 3. Grades, 4. Grades, logistisch) ausgewählt. Es wird der Typ der Funktionsgleichung angezeigt und die Zahlen für die entsprechenden Parameter. Regression mit dem Classpad 330 Dabei sind r der Korrelationskoeffizient, r² das Bestimmheitsmass, MSe der Mittlerer ...
  3. Beispiel einer Trassierung
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    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Beispiel einer Trassierung
    Beispiel einer Trassierung
    ... h(2)=3=f(2)         0 bzw. 3 sind die y-Werte der Punkte P und Q.            ohne Knick                        g´(0)=0=f´(0) und h´(2)=0,5=f´(2)                  0 bzw. 0,5 sind die Steigungen der Tangente an den Punkten P und Q    ohne Krümmungsruck     g´´(0)=0=f´´(0) und h´´(2)=0=f´´(0)   g(x) und h(x) sind lineare Funktionen, daher ist die Krümmung überall 0. Aufstellung der Bedingungsgleichungen Durch Einsetzen ...
  4. Wachstums- und Zerfallsprozesse
    Wachstums- und Zerfallsprozesse
    ... findet ihr die typischen Mathematikaufgaben: y-Wert berechnen, bei gegebenen x-Wert x-Wert berechnen, bei gegebenen y-Wert Nullstellen berechnen Extrempunkte und Wendepunkte berechnen Schnittpunkte berechnen Steigungen berechnen Graph zeichnen Zusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor. Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden. Gleichungen ...
  5. lineares Wachstum
    Wachstums- und Zerfallsprozesse > lineares Wachstum
    lineares Wachstum
    ... t, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.u(10)=30+1200=1230mm=1,23m Aufgabe: t=-20, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.u(-20)=-60+1200=1140mm=1,14m siehe unten Aufgabe: Länge=1,5m=1500mm, d.h. y-Wert, ist gegeben t, d.h. x-Wert ist gesucht.1500=3t+1200, t=100 Jahre Aufgabe: Berechnung der Nullstelle0=3t+1200, t=-400 Jahre lineares Wachstum eines Stalagmiten
  6. exponentielles Wachstum
    Wachstums- und Zerfallsprozesse > exponentielles Wachstum
    exponentielles Wachstum
    ... Die Halbwertszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die Menge an Uran c, um die Hälfte sinkt c/2. Wenn $u(t)=c e^{-k t}$, dann gilt für die Halbwertszeit $\frac{c}{2}=c \cdot e^{-k \cdot t_H}$. Das kann vereinfacht werden zu:$\frac{1}{2}=0,5=e^{-k \cdot t_H}$. Wenn wir jetzt nach $t_H$ umstellen dann ist $t_H=\frac{ln 0,5}{-k}$. Beachte: Hier ist k positiv, da das Vorzeichen von k negativ ist! Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die die Menge an Algen c, ...
Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Geraden
    Geraden
    ... (linearen) Zusammenhangs zwischen x- und y-Wert. Jetzt wollen wir einen Schritt weitergehen und Geraden in den dreidimensionalen Raum übertragen. Hierbei stellen wir uns in diesem Kapitel folgende Fragen: Wie gehen wir jetzt mit Geraden im Dreidimensionalen um? Wie "sehen" solche Geraden denn "aus"? Wie können wir eine solche Gerade mathematisch beschreiben? Gibt es vielleicht mehrere Möglichkeiten? Welche Lage können Geraden im Dreidimensonalen zueinander einnehmen? Was müssen ...
Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    ... Berechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-Wert Schnittpunktberechnung von zwei Funktionen Nullstellen Nullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden. x-Wert Berechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden. Schnittpunkt Schnittpunktberechnung von zwei Funktionen$f(x)=-5x²   g(x)=9x²-4x$$-5x²=9x²-4x$Diese quadratische ...
Vorkenntnisse zur Analysis
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