Stochastik
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Definition und Beispiele
Bedingte Wahrscheinlichkeit > Definition und Beispiele
... eingetreten ist, hat das einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse. Sind die Ereignisse A und B unvereinbar, so ist mit dem Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A schlagartig auf $P_B(A) = 0$ gesunken. Haben die Ereignisse einen nicht leeren Schnitt ist also $P(A \cap B ) > 0 $ so ergibt sich die neue (bedingte) Wahrscheinlichkeit aus dem Anteil den $P(A \cap B )$ an $P( B )$ ausmacht.Definition bedingte Wahrscheinlichkeit$A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$ und ... -
Formel von Bernoulli
Binomialverteilung > Formel von Bernoulli
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette der Länge n genau k Erfolge zu erzielen ?Das Video wird geladen...(stochastik-binomialverteilung)Baumdiagramm Bernoulli-Kette der Länge 3Betrachtet man das zugehörige Baumdiagramm stellt man fest, dass man dazu die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade aufsummieren muss, die k Kanten mit der Wahrscheinlichkeit p und $ n-k$ Kanten mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$ aufweisen.Jeder ... -
Satz von Bayes
Bedingte Wahrscheinlichkeit > Satz von Bayes
Totale WahrscheinlichkeitWenn man den Multiplikationssatz auf eine disjunkte Zerlegung $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ des Ergebnismenge anwendet kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A=(A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \dots \cup (A \cap B_n) $ über den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen.Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit$\large \bf P(A) = P(B_1) \cdot P_{B_1}(A) + \cdots + P(B_n) \cdot P_{B_n}(A)$AutofabrikenEin Autohersteller produziert ... -
Wahrscheinlichkeitsraum
Wahrscheinlichkeit > Wahrscheinlichkeitsraum
WahrscheinlichkeitsfunktionUm mit Wahrscheinlichkeiten rechnen zu können, benötigt man noch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die Ereignissen A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zuordnet. In der Praxis ist diese Zuordnung meist nicht ohne weiteres möglich. Für einige einfache Zufallsexperimente kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch theoretische Überlegung gewinnen (Würfel, Urne mit gleichartigen Kugeln u.ä.)Münzwurf$P(\emptyset) = 0 \;\;\; , ...Laplace-Experiment
Wahrscheinlichkeit > Laplace-Experiment
... bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben heißt gleichverteilt oder Laplace-Experiment. Für solche Experimente kann man die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen durch Abzählen der Elementarereignisse, die zu einem Ereignis gehören berechnen.Das Video wird geladen...(stochastik-laplace-experiment)$\large P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{ Anzahl\, der\, günstigen\, Ergebnisse }{Anzahl\, der\, möglichen\, Ergebnisse}$ (Laplace-Wahrscheinlichkeit)In ...Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
Zufallsgrößen > Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
![Dichte der Gleichverteilung über dem Intervall [1,4]](https://examio-mediafiles.s3.eu-west-1.amazonaws.com/dichte-gleichverteilung3-ca.png "Dichte der Gleichverteilung über [1,4]")
... x_n \}$, dann kann man jedem Wert von $X$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.Wahrscheinlichkeitsfunktion$\large \bf f : W_X \rightarrow [ 0 ; 1 ]$$\bf f(x_i)=P(X = x_i)$mit$ f(x_i) \geq 0$ und $\sum_{i=1}^n f(x_i) = 1$Stetige ZufallsgrößenIst die Wertemenge der Zufallsvariable $X$ eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen z.B. ein Intervall $[a ; b] \in \mathbb{R}$, dann kann man nicht mehr jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. In der Regel genügt ...Einführung beurteilende Statistik
Beurteilende Statistik > Einführung beurteilende Statistik
... Vermutungen (Hypothesen) über die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens eines bestimmten Merkmals in einer Grundgesamtheit (z.B. $\frac{1}{7}$ aller Deutschen sind an einem Sonntag geboren) durch Untersuchungen von Stichproben entweder abzulehnen oder nicht. Ein Verfahren, das diese Entscheidung ermöglicht nennt man einen Test.Nullhypothese $\bf H_0$Die zu überprüfende Hypothese wird Nullhypothese $\bf H_0$ genannt. Die Negation der Nullhypothese wird Alternativhypothese ...Gütefunktion und Operationscharakteristik
Beurteilende Statistik > Gütefunktion und Operationscharakteristik
... g$ eines Test ordnet jedem Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von $H_0$, unter der Bedingung das $p$ die wirkliche Wahrscheinlichkeit ist zu.$\large \bf g: \; p \mapsto P_p(X \in \overline{A})$Es gilt : $g(p) = P( Fehler \; 1.Art)$ falls $p \in H_0$OperationscharakteristikDie Operationscharakteristik $\bf O$ ordnet jedem $p$ die Wahrscheinlichkeit der Annahme von $H_0$ zu.$\large \bf O: \; p \mapsto O(p)=1-g(p)$Es gilt: $O(p) ...Konfidenzintervalle
Beurteilende Statistik > Konfidenzintervalle
... Bernoulli-Kette der Länge n. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $\bf p$ ist unbekannt und soll anhand des Ergebnisses $\bf X=k$ eines Versuchs (Stichprobe) mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ geschätzt werden. Wir bilden dazu die Vereinigung aller Wahrscheinlichkeiten $\bf p_i$ die nicht mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ bei einem zweiseitigen Signifikanztest verworfen werden können. D.h. wir wählen nur solche Wahrscheinlichkeiten aus, die gut ...Sigma-Regeln
Binomialverteilung > Sigma-Regeln
... $X$ die $2 \sigma$-Umgebung und geben sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ in dieser Umgebung liegt.$\mu = 50 \cdot 0,3 = 15$$\sigma = \sqrt{50 \cdot 0,3 \cdot 0.7} = 3,24 \Rightarrow 2 \sigma = 6,48$Es ergibt sich das Intervall $ [8,52 ; 21,48] $. In diesem Intervall liegen die Werte 9, 10, … , 21von $X$. Man muss also die Wahrscheinlichkeit $ P ( 9 \leq X \leq 21)$ berechnen.$ P ( 9 \leq X \leq 21) = P ( X \leq 21) - P( X \leq 8 ) = \sum_{k=9}^{21} { 50 \choose k } 0,3^k ...Verteilungsfunktion
Zufallsgrößen > Verteilungsfunktion
... F einer Zufallsgröße $X$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur Werte bis zu einer bestimmten Größe angenommen werden.$ \large \bf F(x) = P( X \leq x ) = \sum_{x_i \leq x } f(x_i) $ (für endliche Zufallsgrößen)$ \large \bf F(x) = P ( X \leq x ) = \int_{- \infty}^x f(t) dt $ (für stetige Zufallsgrößen)Die Verteilungsfunktion F(k) summiert (kumuliert) dazu die Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$, ...Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Normalverteilung > Verteilungsfunktion der Normalverteilung
... $\mu= 50g$ und $\sigma = 2g$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A={Der Ball wiegt höchstens 45g}, B ={ Der Ball wiegt zwischen 48g und 50g }, C = {Der Ball wiegt mehr als 54g}.Lösung: $X$ = Gewicht des Golfballs (Zufallsgröße definieren)$P(A) = P( X \leq 45 ) = F_{N(50;2)}(45) = \Phi (\frac{45-50}{2}) = \Phi ( - \, 2,5) =\bf 0,0062$$P(B) = P( 48 \leq X \leq 50 ) = F_{N(50;2)}(50)-F_{N(50;2)}(48)$$= \Phi (\frac{50-50}{2})-\Phi ...Signifikanztest
Beurteilende Statistik > Signifikanztest
... treten nämlich nur mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit auf. Man ist deshalb eher geneigt die Nullhypothese anzuzweifeln, als zu glauben, dass die Stichprobe nur zufällig so stark abweicht.Bei einem Signifikanztest gibt man sich deshalb ein kleines Signifikanzniveau $\bf \alpha$ vor, um die Wahrscheinlichkeit für eine rein zufällige Abweichung klein zu halten.Einseitiger SignifikanztestSprechen nur besonders große oder nur besonders kleine Werte gegen die Nullhypothese, ...Bernoulli-Kette
Binomialverteilung > Bernoulli-Kette
... Ergebnis als Misserfolg (Niete) gewertet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird Erfolgswahrscheinlichkeit genannt und mit einem kleinen $\bf p$ bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist $\bf 1-p $ und wird oft mit $\bf q$ bezeichnet.Das Video wird geladen...(stochastik-bernoulli-experiment)Bernoulli-KetteFührt man ein Bernoulli-Experiment n-mal, mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit $\bf p$, durch entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge $\bf ...
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Physikalische Chemie
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Druck und Zerteilungsgrad
Kinetik: rund um die Reaktionsgeschwindigkeit > Reaktionsgeschwindigkeit: beinflussende Faktoren > Druck und Zerteilungsgrad
... nimmt die Konzentration zu und damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Teilchen aufeinandertreffen und miteinander reagieren. Zugleich steigt die Reaktionsgeschwindigkeit (je größer das Volumen bei konstanter Stoffmenge, desto geringer der Druck, die Konzentration und schließlich die Reaktionsgeschwindigkeit, und umgekehrt).Druck spielt auch im Verbrennungsmotor eine große Rolle: Durch die Verdichtung, die Kompression des Benzin – Luft – Gemisches, ...
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Organische Chemie
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Orbitalmodell
Grundlagen der Kohlenstoffchemie > Orbitalmodell
... Interaktion von ≥ 2 Teilchen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Raum. Einen Sonderfall dieser Wahrscheinlichkeitsräume stellen die Atomorbitale dar, welche nichts weiter sind als Räume in der Umgebung eines Atomkerns, in denen man mit besonders hoher Wahrscheinlichkeit ein Elektron „treffen“ könnte.Ein Orbital stellt also den Aufenthaltsraum eines Elektrons (oder von max. zwei Elektronen) dar, in dem es sich mit höchster Wahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung ...
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Evolution
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Variabilität – Herkunft und Nutzen
synthetische Evolutionsbiologie: das moderne Konzept der Evolutionsbiologie > Variabilität – Herkunft und Nutzen
... Genverlustes wäre der Organismus mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht mehr lebensfähig.Da Mutationen fortlaufend passieren, ist ein Zustand, in dem alle Individuen einer Population genetisch gleich sind, ausgeschlossen.Das Video wird geladen...(evolutionsfaktor-mutation)
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Molekularbiologie / Genetik
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Genetische Askpekte einer Krebserkrankung
Genetik der Zelle > Stammzellen > Differentielle Genaktivität > Genetische Askpekte einer Krebserkrankung
... Genprodukte dieser Gene senken die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus einer Zelle eine Tumorzelle entwickelt.Mutationen oder Deletion dieser Gene erhöhen die Wahrscheinlichkeit einer Tumorbildung!Beispiele sind:p16: verhindert einen Übertritt von der G1- zur S-Phase des Zellzyklus.p53: Zelle teilt sich nur, wenn ihr Erbgut intakt ist. Bei Tumorzellen ist dies nicht der Fall.Hauptwirkungen p53:Zellzyklus-Arrest und bei irreparablen Schäden die Einleitung des programmierten ...
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Immunologie
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Antikörpervielfalt
Vielfalt des Immunsystems > Antikörpervielfalt
... verschiedener B-Lymphozyten. Damit ist die Wahrscheinlichkeit ausreichend groß, gegen die allermeisten Eindringlinge (und deren molekularen Strukturen) einen passenden Antikörper zu besitzen.Doch woher kommt diese Antikörper-Vielfalt?Die DNA-Ebene der Antikörper verfügt lediglich über rund 1.000 Antikörpergene! Würden Antikörper allein durch Transkription und Translation der Erbinformation erzeugt, wiese der Mensch eben nur ca. 1.000 verschiedene ...
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Webinare
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Crashkurs: Stochastik - für dein Mathe-Abitur!
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Hypothesentests - Anwendungen und Lösungsstrategien
...in einer Stichprobe sein, um mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine Aussage treffen zu können? Was bedeuten statistische Aussagen im Bezug auf medizinische Untersuchungen? Diese und andere Fragestellungen sind (nicht nur) für das Mathe-Abitur von Bedeutung. Die mathematischen Grundlagen für die Durchführung von Tests werden Schritt für Schritt erarbeitet, die verschiedenen Testmöglichkeiten erläutert und mithilfe von orig... -
Die Binomialverteilung und ihre Anwendungen in Abituraufgaben
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