Musterlösung c

Vorbemerkung

Man macht auch hier eine Einteilung

• Bereich A: homogenes Magnetfeld
• Bereich B: elektrisches Feld im zylindrischen Kondensator

Berechnung

Geschwindigkeitsbetrag $v$

Im Bereich A ist die Lorentzkraft $e\cdot v\cdot B$ genau so groß wie die Zentralkraft $m\frac{v^2}{r}$

$m\frac{v^2}{r}=e\cdot v\cdot B$

$\Rightarrow v=\frac{e\cdot r\cdot B}{m}$    (1)

Nun soll man ja das Ergebnis in Abhängigkeit von den Größen $r$, $R$, $B$ und $E$ ausdrücken.

Daher müssen wir die Situation im Bereich B betrachten:

Hier wirkt ja die elektrische Kraft $e\cdot E$, die der Zentralkraft $m\frac{v^2}{R}$ auf der Kreisbahn im zylindrischen Kondensator entgegengesetzt, aber betraglich gleich ist.

$m\frac{v^2}{R}=e\cdot E$

Hier macht es Sinn die Gleichung nach $m$ aufzulösen, um sie mit der obigen Gleichung zu verknüpfen.

$\Rightarrow m=\frac{e\cdot E\cdot R}{v^2}$    (2)

Wir setzen jetzt (2) in (1) ein

$v=\frac{e\cdot r\cdot B}{\frac{e\cdot E\cdot R}{v^2}}=\frac{r\cdot B\cdot v^2}{E\cdot R}$

Teilt man nun auf beiden Seiten durch $v$ und bringt die Geschwindigkeit auf eine Seite, so folgt

$v=\frac{E\cdot R}{r\cdot B}$.   (3) (Lösung)

Masse $m$

Am einfachsten ist es, die Gleichung (1) nach $m$ umzuformen

$m=\frac{e\cdot r\cdot B}{v}$

und dann die Gleichung (3) einzusetzen

$\Rightarrow m=\frac{e\cdot r\cdot B}{\frac{E\cdot R}{r\cdot B}}=\frac{e\cdot (r\cdot B)^2}{E\cdot R}$