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Musterlösung e

Vorüberlegung

Zunächst mal stellt sich die Frage, welche Mittel zur Lösung der Aufgabe benötigt werden. Die 2 entscheidenden Mittel sind:

  • $s(t)$-bzw. $v(t)$-Gesetz der harmonischen Schwingung (Kosinus- oder Sinusform)
  • Dopplereffekt (ruhender Wellenerreger- bewegter Beobachter)

Aufstellen des $s(t)$-Gesetzes und $v(t)$-Gesetzes für das oszillierende Mikrofon

Das $s(t)$-Gesetz einer harmonischen Schwingung kann entweder in der Kosinus- oder auch Sinusform aufgestellt werden. In diesem Fall ist zum Zeitpunkt $t=0$ die Auslenkung betraglich maximal, daher ist eher die Kosinusform am günstigsten.

$s(t)=s_0\cos{(\omega t)}$, $s_0=-0,32 m$

$\omega=\frac{2\pi}{T}$.

Um $v(t)$ zu erhalten, leitet man $s(t)$ nach der Zeit ab.

$\Rightarrow v(t)=\dot s(t)=\underbrace{-s_0\cdot \omega}_{v_0}\sin{(\omega t)}$

Für ein Federpendel kennt man die Formel für die Kreisfrequenz $\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$. Aus den Daten der Aufgabe folgt

$\omega=3,14 s^{-1}$

$v(t)=v_0\cdot \sin{(\omega t)}$,       $v_0=-s_0\cdot \omega=1,00 m/s$

Hinweis: Man kann die Formeln auch direkt einer Formelsammlung entnehmen, falls man sich nicht genau erinnert oder Zeit sparen möchte.

Dopplereffekt: Ruhender Wellenerreger- bewegter Beobachter

Der Lautsprecher ist als ruhender Wellenerreger zu verstehen. Das Mikrofon, dass die Frequenzen $f^{'}$ registriert, ist dann als bewegter Beobachter zu interpretieren. Die entsprechende Formel für die registrierte Frequenz ist

$f^{'}=f(1-\frac{v}{v_s})$

In der Aufgabe ist $f_3=f=8500 Hz$. $v_s=343 m/s$ ist die Schallgeschwindigkeit.

Es ist am bequemsten die Lösungen in Form einer Tabelle zu notieren.

Zeitpunkt $t$ Geschwindigkeit $v(t)$ Frequenz $f^{'}$
0 0 m/s 8500 Hz
$\frac{1}{4}T$ 1,00 m/s 8475 Hz
$\frac{1}{2}T$ 0 m/s 8500 Hz
$\frac{3}{4}T$ -1,00 m/s 8525 Hz

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