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Musterlösung b

Wasserschwingungen im U-Rohr
Differentialgleichung und Schwingungsdauer

Differentialgleichung

Genau hier erweist sich die Überlegung aus Teilaufgabe a als nützlich. Der Ansatz ist nämlich

$F+F_R=0$.

$F_R=2\rho_{H_2O}\cdot A\cdot g\cdot s$ und

$F=m\cdot a=m\cdot \ddot s$.

$F$ wirkt natürlich auf die gesamte Wassersäule der Länge $l$ und daher ist $m=\rho_{H_2O}\cdot A\cdot l$. Eingesetzt in die obige Gleichung gelangt man zu

$\rho_{H_2O}\cdot A\cdot l\cdot \ddot s+2\rho_{H_2O}\cdot A\cdot g\cdot s=0$

$\Rightarrow \ddot s+\frac{2g}{l}s=0$       (1)

Lösungsansatz: $s(t)=s_0\cos{(\omega t)}$

$\Rightarrow \ddot s+\omega^2s=0$        (2)

Hinweis:

Bei Differentialgleichungen der obigen Form kann immer der Kosinus-oder Sinus-Ansatz als Lösung gewählt werden.

Schwingungsdauer

Vergleicht man die Gleichungen (1) und (2), so kommt man auf

$\omega^2=\frac{2g}{l}$.

$\Rightarrow \omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{2g}{l}}$

$\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$.

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