Musterlösung b
Differentialgleichung
Genau hier erweist sich die Überlegung aus Teilaufgabe a als nützlich. Der Ansatz ist nämlich
$F+F_R=0$.
$F_R=2\rho_{H_2O}\cdot A\cdot g\cdot s$ und
$F=m\cdot a=m\cdot \ddot s$.
$F$ wirkt natürlich auf die gesamte Wassersäule der Länge $l$ und daher ist $m=\rho_{H_2O}\cdot A\cdot l$. Eingesetzt in die obige Gleichung gelangt man zu
$\rho_{H_2O}\cdot A\cdot l\cdot \ddot s+2\rho_{H_2O}\cdot A\cdot g\cdot s=0$
$\Rightarrow \ddot s+\frac{2g}{l}s=0$ (1)
Lösungsansatz: $s(t)=s_0\cos{(\omega t)}$
$\Rightarrow \ddot s+\omega^2s=0$ (2)
Hinweis:
Bei Differentialgleichungen der obigen Form kann immer der Kosinus-oder Sinus-Ansatz als Lösung gewählt werden.
Schwingungsdauer
Vergleicht man die Gleichungen (1) und (2), so kommt man auf
$\omega^2=\frac{2g}{l}$.
$\Rightarrow \omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{2g}{l}}$
$\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$.