Musterlösung c
1. Bestimmung der Schwingungsdauer aus dem Diagramm
Einer Schwingungsdauer entspricht auf der t-Achse der Abstand zweier aufeinanderfolgenden Maxima. Also ergibt sich
$T_{exp}\approx 2,1 s$.
2. $s(t)$-Gesetz und Dämpfungsfaktor $k$
Eine gedämpfte Schwingung liegt genau dann vor, wenn das $s(t)$-Gesetz folgende Form hat
$s(t)=s_0e^{-kt}\cos{(\omega t)}$.
Um nun den Nachweis zu erbringen ist es sinnvoll und zeitsparend, wenn man Messwerte betrachtet, in denen $\cos{(\omega t)}$ einen einfachen Wert annimmt. Für Maxima hat er den Wert +1 und für Minima -1. Daher ist die Elongation an diesen Stellen vom Betrag gleich
$s_{max}(t)=s_0e^{-kt} $
$ \Rightarrow \frac{1}{t}\ln{\frac{s_0}{s_{max}}}=k$
Diese Formel lässt sich nun zur Auswertung des Experiments nutzen. Es bietet sich an folgende Tabelle zu verwenden: ($s_0=10 cm$)
| $t$ (Zeit) | $\frac{T_{exp}}{2}$ | $T_{exp}$ | $\frac{3T_{exp}}{2}$ | $2T_{exp}$ |
| $s_{max}$ (cm) | 3,5 | 1,2 | 0,4 | 0,15 |
| $k=\frac{1}{t}\ln{\frac{s_0}{s_{max}}}$ (1/s) | 0,99 | 1,01 | 1,02 | 0,99 |
Folgerung: der Wert für $k$ ist nahezu konstant und daher liegt eine gedämpfte Schwingung vor. Der Mittelwert der Dämpfungskonstante ist
$k\approx 1,00 s^{-1}$.
und das $s(t)$-Gesetz
$s(t)\approx 10 cm\cdot e^{-1,00s^{-1}\cdot t}\cos{(2,99 s^{-1}\cdot t)}$
3. Vergleich mit dem theoretischen Wert $T$
In der vorigen Teilaufgabe hat man gezeigt $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$. Im Experiment ist $l=2 m$.
$T=2\pi\sqrt{\frac{2m}{2\cdot 9,81 m/s^2}}\approx 2,01 s$
$T_{exp}=2,1 s$ weicht um 0,09 s nach oben vom theoretischen Wert ab. Die Abweichung ergibt sich daraus, dass es sich um eine gedämpfte Schwingung handelt und der theoretische Wert $T$ für eine ungedämpfte Schwingung gilt.
