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Musterlösung c

1. Bestimmung der Schwingungsdauer aus dem Diagramm

Einer Schwingungsdauer entspricht auf der t-Achse der Abstand zweier aufeinanderfolgenden Maxima. Also ergibt sich

$T_{exp}\approx 2,1 s$.

2. $s(t)$-Gesetz und Dämpfungsfaktor $k$

Eine gedämpfte Schwingung liegt genau dann vor, wenn das $s(t)$-Gesetz folgende Form hat

$s(t)=s_0e^{-kt}\cos{(\omega t)}$.

Um nun den Nachweis zu erbringen ist es sinnvoll und zeitsparend, wenn man Messwerte betrachtet, in denen $\cos{(\omega t)}$ einen einfachen Wert annimmt. Für Maxima hat er den Wert +1 und für Minima -1. Daher ist die Elongation an diesen Stellen vom Betrag gleich

$s_{max}(t)=s_0e^{-kt} $

$ \Rightarrow \frac{1}{t}\ln{\frac{s_0}{s_{max}}}=k$

Diese Formel lässt sich nun zur Auswertung des Experiments nutzen. Es bietet sich an folgende Tabelle zu verwenden: ($s_0=10 cm$)

$t$ (Zeit) $\frac{T_{exp}}{2}$ $T_{exp}$ $\frac{3T_{exp}}{2}$ $2T_{exp}$
$s_{max}$ (cm) 3,5 1,2 0,4 0,15
$k=\frac{1}{t}\ln{\frac{s_0}{s_{max}}}$ (1/s) 0,99 1,01 1,02 0,99

Folgerung: der Wert für $k$ ist nahezu konstant und daher liegt eine gedämpfte Schwingung vor. Der Mittelwert der Dämpfungskonstante ist

$k\approx 1,00 s^{-1}$.

und das $s(t)$-Gesetz

$s(t)\approx 10 cm\cdot e^{-1,00s^{-1}\cdot t}\cos{(2,99 s^{-1}\cdot t)}$

3. Vergleich mit dem theoretischen Wert $T$

In der vorigen Teilaufgabe hat man gezeigt $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$. Im Experiment ist $l=2 m$.

$T=2\pi\sqrt{\frac{2m}{2\cdot 9,81 m/s^2}}\approx 2,01 s$

$T_{exp}=2,1 s$ weicht um 0,09 s nach oben vom theoretischen Wert ab. Die Abweichung ergibt sich daraus, dass es sich um eine gedämpfte Schwingung handelt und der theoretische Wert $T$ für eine ungedämpfte Schwingung gilt.

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