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Die perfekte Abiturvorbereitung

Musterlösung a

Vorüberlegung

Man überlegt sich, dass die Schwingung durch die Gewichtskraft auf die überstehende Wassersäule zustandekommt. Diese Gewichtskraft ist gerade die rücktreibende Kraft $F_R$ der Schwingung. Zeigt diese Kraft nach unten, so erfolgt die Elongation im anderen Schenkel nach oben (also in umgekehrter Richtung) mit der Kraft $F$ (beschleunigende Kraft). Wegen des Kräftegleichgewichts folgt

$F_R+F=0$

Hinweis: Diese Vorüberlegung, obwohl nicht obligatorisch für die eigentliche Lösung, erleichtert einem das Verständnis und hilft die noch folgenden Aufgaben zu lösen.

Beweis

Masse der überstehenden Wassersäule: $\rho_{H_2O}\cdot V=\rho_{H_2O}\cdot A\cdot (2s)$

$F_R=\underbrace{(\rho_{H_2O}\cdot A\cdot 2s)}_{Masse}\cdot g$ (ist gerade die Gewichtskraft $m\cdot g$ auf die Säule).

Daraus kann man nun den Quotienten aus $F_R$ und Elongation $s$ bilden

$\frac{F_R}{s}=2\rho_{H_2O}\cdot A\cdot g$ (Proportionalitätsfaktor).

Dass die Schwingung harmonisch erfolgt, sieht man wie folgt:

  • $F_R+F=0$ (Kräftegleichgewicht)
  • $F_R\sim s$ (Rücktreibende Kraft proportional zur Elongation)

Hinweis: Man sollte sich diese mathematischen Eigenschaften einer harmonischen Schwingung gut einprägen, weil man dadurch harmonische Schwingungen klassifizieren kann. D.h. man erkennt sofort, ob eine Schwingung harmonisch ist oder nicht.