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Musterlösung e

Vorüberlegung

Es wird hier davon ausgegangen, dass man den Atomkern als unendlich hohen Potentialtopf betrachten kann, in dessem Innern sich Elektronen befinden. Diese Hypothese soll mit einigen Rechnungen überprüft werden.

Die Formel für die Energieniveaus kann man der Teilaufgabe d entnehmen. Auf diesen Fall bezogen hat man

$E_n=\frac{h^2}{8md^2}n^2$,

wobei $d$ den Durchmesser eines Atomkerns repräsentiert.

Energie im Grundzustand

Würde sich nun laut Hypothese ein Elektron im Kern aufhalten, so wäre seine Energie im Grundzustand (n=1)

$E_1=\frac{h^2}{8md^2}$.

Daten: $h=6,63\cdot 10^{-34} Js$, $m=9,1\cdot 10^{-31} kg$, $d=1,5\cdot 10^{-14} m$

$\Rightarrow E_1\approx 2,7\cdot 10^{-10} J$

Masse des Elektrons aufgrund von $E_1$

Es ist nun danach gefragt, welche Masse das Elektron aufgrund dieser Energie hätte. Hier kommt die Relativitätstheorie ins Spiel, wonach man einer Energie $E$ eine (äquivalente) Masse $m$ zuordnen kann.

$E=mc^2$

Die zu erwartende Masse des Elektrons aufgrund von $E_1$ ist dann

$m=\frac{E_1}{c^2}=\frac{2,7\cdot 10^{-10} J}{(3\cdot 10^8 m/s)^2}\approx 3\cdot 10^{-27} kg$

Folgerung

Die zu erwartende Masse des Elektrons wäre 3296-mal größer als die Ruhemasse eine Elektrons. Dies übersteigt sogar die Masse eines Protons! 

Damit wären derartig gebaute Wasserstoffkerne, Heliumkerne etc. deutlich schwerer als dies tatsächlich der Fall ist. Dies widerspricht eindeutig der Hypothese.

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