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Musterlösung b

Elektronen als Quantenobjekte
Wellenlänge, Impuls, Spaltabstand

Vorüberlegung

Die Elektronen werden nach Teilaufgabe a durch eine Materiewelle, sprich Welle mit einer bestimmten Wellenlänge $\lambda$, beschrieben. Es gilt die De-Broglie-Relation

$p=\frac{h}{\lambda}$,

wobei $p$ der Impuls des Teilchens und $h$ das Plancksche Wirkungsquantum ist.

Impuls und Wellenlänge

Durchlaufen die Elektronen eine Spannung $U$, so verrichtet das elektrische Feld die Arbeit $e\cdot U$ an ihnen. Dadurch gewinnen die Elektronen die kinetische Energie $E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$, die man mit Hilfe von $p=m\cdot v$ auch als $E_{kin}=\frac{p^2}{2m}$ schreiben kann.

Berechnung des Impulses

Aus dem Energieerhaltungssatz gewinnt man

$E_{kin}=\frac{p^2}{2m}=e\cdot U$

$\Rightarrow p=\sqrt{2m\cdot e\cdot U}$

Daten: $m=9,1\cdot 10^{-31} kg$, $e=1,6\cdot 10^{-19} C$, $U=150 V$

$\Rightarrow p\approx 6,6\cdot 10^{-24} kg\cdot m/s$

Berechnung der Wellenlänge

Mit $\lambda=\frac{h}{p}$ und $h=6,63\cdot 10^{-34} Js$ ergibt sich ganz einfach

$\lambda=\frac{6,63\cdot 10^{-34} Js}{6,6\cdot 10^{-24} kg\cdot m/s}\approx 1,0\cdot 10^{-10} m$

(Die Wellenlänge ist von der Größenordnung eines Atomradius.)

Größenordnung des Spaltabstandes

Damit Effekte beobachtet werden können, muss der Spaltabstand $d$ von der Größe der Wellenlänge sein. Also hier ungefähr $10^{-10} m$.

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